新高考數(shù)學(xué)二輪專題《導(dǎo)數(shù)》第26講 含參多變量消元(解析版)_第1頁
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1、第26講 含參多變量消元一解答題(共10小題)1已知函數(shù)(1)討論的單調(diào)性;(2)若,是的兩個零點證明:();()【解答】解:(1)函數(shù)的定義域為,當(dāng)時,所以在上單調(diào)遞增當(dāng)時,令,所以在上,單調(diào)遞增,在,上,單調(diào)遞減,綜上,當(dāng)時,在上單調(diào)遞增當(dāng)時,在上單調(diào)遞增,在,上單調(diào)遞減(2)證明:由(1)可知,要使由函數(shù)有兩個零點,需,且,則,又,故,則,令,則,在上單減,又,又,即;要證,由(1)可知,只需證,即證,又,只需證,即證,令,則,所以上述不等式等價于,即,亦即,令,則,在上單調(diào)遞減,即(1),即得證2已知函數(shù),(1)討論的單調(diào)性;(2)已知,為的兩個零點,證明:【解答】解:(1)函數(shù)的定義

2、域為,函數(shù),當(dāng)時恒成立,在上單調(diào)遞增,當(dāng)時,令得,令得,在上單調(diào)遞增,上單調(diào)遞減(2)由,為的兩個零點及(1)知,兩式相減得,即,要證,只需證,即證,即證,不妨設(shè),令,只需證,設(shè),則,設(shè),則,在上單減,(1),在上單增,(1),即在時恒成立,原不等式得證3已知函數(shù)()若在,上為單調(diào)遞增函數(shù),求實數(shù)的最小值()若有兩個極值點,()求實數(shù)的取值范圍;()求證:【解答】解:由于在,上為單調(diào)遞增函數(shù),則對任意的,恒成立,方法一:由于,因此,因此,下面證明可以取到,事實上,當(dāng)時,則令,解得因此在,上單調(diào)遞增,故,故在,上為單調(diào)遞增函數(shù)綜合上述,實數(shù)的最小值為方法二:顯然時,不等式成立,當(dāng)時,則恒成立,令

3、,則,令,則,因此在,上單調(diào)遞增,從而,故,即在,上單調(diào)遞增;從而,從而,綜合上述,實數(shù)的最小值為;由于有兩個極值點,則有兩個實根,故,設(shè),則;設(shè),則(1),解得,故在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,又,故當(dāng)時,;當(dāng)時,由此在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,由此(1),從而,即,綜合上述,實數(shù)的取值范圍為;由于,故;從而,即,先證不等式右邊:由于;設(shè),則,故在上單調(diào)遞增,從而,故成立,從而;再證不等式左邊:由于,從而,即,其中,由于,設(shè),則,故在上單調(diào)遞增,從而,故成立,從而,綜合上述,即4已知函數(shù)(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)若函數(shù)的圖象與直線交于、兩點,記、兩點的橫坐標(biāo)分別為,且,證明:

4、【解答】解:(1),時,在遞增,時,令,解得:,令,解得:,故在遞減,在遞增;(2)由(1)可得,由與有兩個交點,可設(shè)與相切于,可得,解得,由題意可得,令,即在上遞增,則,即,即有,又,由(1)可得,則,而在遞減,可得,即5已知函數(shù),(1)當(dāng)時,與在定義域上的單調(diào)性相反,求的取值范圍;(2)設(shè),是函數(shù)的兩個零點,且,求證:【解答】解(1),由題意可知,與的定義域均為,在上單調(diào)遞減,又時,與在定義域上的單調(diào)性相反,在上單調(diào)遞增,對恒成立,即對恒成立,只需,(當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立),的取值范圍;(2)已知可得,即,從而,在上單調(diào)遞減,且,當(dāng)時,(1),又,即即證6已知函數(shù),(1)討論的單調(diào)性;(2

5、)若函數(shù)有兩個零點,求證:【解答】解:(1),由,得,時,時,綜上,的增區(qū)間是,減區(qū)間是(2)證明:由 (1)知,有兩個零點時,令,則,為方程的兩個根令,則,為的兩個零點,令,則在上單調(diào)遞增,(1),即,當(dāng)時,單調(diào)遞增,7已知,(1)若,求的取值范圍;(2)若,且,證明:【解答】(1)解:,可知:時,函數(shù)取得極小值即最小值,(a),化為:,解得的取值范圍是(2)證明:()設(shè),則當(dāng)時,所以在單調(diào)遞減,即,故()由(),在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,不失一般性,設(shè),因,則由(),得,又,即8已知函數(shù),為常數(shù))在內(nèi)有兩個極值點,()求實數(shù)的取值范圍;()求證:【解答】解:()函數(shù),為常數(shù)),設(shè),由題意知在

6、上存在兩個零點,當(dāng)時,則在上遞增,至多有一個零點,不合題意當(dāng)時,由,得若且(2),即時,在上遞減,在上遞增,則,且(2),在和上各有一個零點,在上存在兩個零點若,即時,在上遞減,至多一個零點,舍去若,且(2),即時,此時在上有一個零點,而在上沒有零點,舍去綜上,即實數(shù)的取值范圍是證明:()令,則,在上遞增,從而,且在遞增,9已知函數(shù)(1)當(dāng)時,求函數(shù)在處的切線方程;(2)設(shè),若在,上單調(diào)遞增,求實數(shù)的取值范圍;(3)設(shè),若存在不相等的實數(shù),使得,證明:【解答】解:(1)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為,可得函數(shù)在處的切線斜率為,切點為,則切線的方程為,即為;(2),可得,若在,上單調(diào)遞增,則在,恒成立,即為在,恒成立,可設(shè),由,即,也即,可得與在,只有一個交點,設(shè)交點的橫坐標(biāo)為,當(dāng)時,遞減;當(dāng)時,遞增,則在處取得極小值且為最小值;再由,可得在,的最大值為,則;(3)證明:由,可得,即為,可設(shè),則,則;要證,即為,即證,即為,設(shè),即證,設(shè),可得,可得在遞增,即(1),即,則,綜上可得10已知函數(shù),()若在內(nèi)單調(diào)遞減,求實數(shù)的取值范圍;()若函數(shù)有兩個極值點分別為,證明:【解答】解:,若在內(nèi)單調(diào)遞減,則恒成立,即在上恒成立令,則,當(dāng)時,當(dāng)時,在上單調(diào)遞增,

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