正交實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)原理

1、.1正交實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)1概述任何生產(chǎn)部門，任何科學(xué)實(shí)驗(yàn)工作，為到達(dá)預(yù)期目的和效果都必須恰當(dāng)?shù)匕才艑?shí)驗(yàn)工作，力求通過次數(shù)不多的實(shí)驗(yàn)認(rèn)識所研究課題的根本規(guī)律并取得滿意的結(jié)果。例如為擬定一個(gè)正確而簡便的分析方法，必然要研究影響這種分析方法效果的種種條件，諸如試劑濃度和用量、溶液酸度、反響時(shí)間以及共存組分的干擾等等。同時(shí)，對于影響分析效果的每一種條件，還應(yīng)通過試驗(yàn)選擇合理的圍。在這里，我們把受到條件影響的反系方法的準(zhǔn)確度、精細(xì)度以及方法的效果等叫做指標(biāo)；把試驗(yàn)中要研究的條件叫做因素；把每種條件在試驗(yàn)圍的取值或選取的試驗(yàn)點(diǎn)叫做該條件的水平。這就是說我們常常遇到的問題可能包括多種因素，各種因素又有不同的水平，每

2、種因素可能對分析結(jié)果產(chǎn)生各自的影響，也可能彼此交織在一起而產(chǎn)生綜合的效果。正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)就是用于安排多因素實(shí)驗(yàn)并考察各因素影響大小的一種科學(xué)設(shè)計(jì)方法。它始于1942年，之后在各個(gè)領(lǐng)域里都得到很快的開展和廣泛應(yīng)用。這種科學(xué)設(shè)計(jì)方法是應(yīng)用一套已規(guī)格化的表格正交表來安排實(shí)驗(yàn)工作，其優(yōu)點(diǎn)是適合于多種因素的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，便于同時(shí)考察多種因素各種水平對指標(biāo)的影響通過較少的實(shí)驗(yàn)次數(shù)，選出最正確的實(shí)驗(yàn)條件，即選出各因素的*一水平組成比較適宜的條件，這樣的條件就所考察的因素和水平而言，可視為最正確條件。另一方面，還可以幫助我們在錯(cuò)綜復(fù)雜的因素中抓住主要因素，并判斷那些因素只起單獨(dú)的作用，那些因素除自身的單獨(dú)作用外，它

3、們之間還產(chǎn)生綜合的效果。數(shù)理統(tǒng)計(jì)上的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)還能給出誤差的估計(jì)。2. 試驗(yàn)設(shè)計(jì)的根本方法2.1 全面試驗(yàn)法正交設(shè)計(jì)的方法，首先應(yīng)根據(jù)實(shí)驗(yàn)的目的,確定影響實(shí)驗(yàn)結(jié)果的各種因素，選擇這些影響因素的試驗(yàn)點(diǎn)，進(jìn)而擬出實(shí)驗(yàn)方案，之后按所擬方案進(jìn)展實(shí)驗(yàn)并對實(shí)驗(yàn)結(jié)果作出評估。必要時(shí)再擬出進(jìn)一步的實(shí)驗(yàn)方案，使實(shí)驗(yàn)工作更趨完善，所得結(jié)果也更為可靠。如在研究*一顯色反響時(shí)，為選擇適宜的顯色溫度、酸度和顯色完全的時(shí)間，可作如下的試驗(yàn)安排。首先確定上述三因素的實(shí)驗(yàn)圍：顯色溫度： 2535溫度以A表示酸濃度： 0.40.6mol/L 酸濃度以B表示顯色時(shí)間： 1030 min 時(shí)間以C表示其次確定每種因素在上述實(shí)驗(yàn)圍各取

4、的水平數(shù)如各取三個(gè)水平。因素A的三個(gè)水平分別以A1，A2，A3表示；因素B的三個(gè)水平分別以B1，B2，B3表示；因素C的三個(gè)水平分別以C1，C2，C3表示；然后將顯色試驗(yàn)的因素、水平列為下表。因素水平A溫度t/B酸濃度 C/molL-1C時(shí)間t/min1250.4102300.6203350.630這是一個(gè)三因素三水平的試驗(yàn)問題，對這樣的試驗(yàn)工作可做如下的安排。A1B1C1A2B1C1A3B1C1A1B1C2A2B1C2A3B1C2A1B1C3A2B1C3A3B1C3A1B2C1A2B2C1A3B2C1A1B2C2A2B2C2A3B2C2A1B2C3A2B2C3A3B2C3A1B3C1A2B3

5、C1A3B3C1A1B3C2A2B3C2A3B3C2A1B3C3A2B3C3A3B3C3即三因素水平的試驗(yàn)共27種組合33=27，按上組合方式做完27次試驗(yàn)后自然可得出在所確定的因素和水平下的最正確顯色條件。這種全面試驗(yàn)的方法，對事物的部規(guī)律剖析得十分清楚，但卻費(fèi)時(shí)費(fèi)事。假設(shè)我們還需要對實(shí)驗(yàn)精細(xì)度，對試驗(yàn)誤差的大小做出估計(jì)，則每一試驗(yàn)至少應(yīng)重復(fù)一次。即應(yīng)做54次實(shí)驗(yàn)。如果在討論六因素而每種因素均取5個(gè)水平時(shí)，則全面試驗(yàn)的數(shù)目是56= 15625次，這里還未包括為了給出誤差估計(jì)所需的重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)，顯然這是難以付諸實(shí)施的。當(dāng)考察的因素，水平數(shù)越多，在試驗(yàn)中所有可能的搭配也更多，要逐個(gè)地進(jìn)展試驗(yàn)，顯

6、然是不可能的。這就提出了合理地設(shè)計(jì)和安排試驗(yàn)的問題。提出了通過較少量的試驗(yàn)次數(shù)以獲得理想的實(shí)驗(yàn)條件取得最正確的試驗(yàn)效果，并對試驗(yàn)結(jié)果做出科學(xué)評估的問題。對于上述試驗(yàn)，一種習(xí)慣的試驗(yàn)方法是簡單比較法。2.2 簡單比較法這種方法首先固定因素A、B為*一水平如A1、B1，改變C以獲得在A1、B1時(shí)C的最正確水平設(shè)為C2，在其下以“-。 C1 A1B1C2 C3然后固定A為A1，C為C2，改變B 以獲得在A1、C2時(shí)B的最正確水平設(shè)為B3 B1A1C2 B2B3再固定B為B3，C為C2，改變A以獲得在B3、C2時(shí)的最正確水平設(shè)為A2。 A1B3C2A2 A3這樣可以認(rèn)為A2B3C2為較佳的顯色條件，即

7、簡單比較法經(jīng)過9次試驗(yàn)也能獲得較佳的試驗(yàn)條件，但卻存在以下缺點(diǎn)：2.2.1 當(dāng)各因素之間交互影響較大時(shí)，A2B3C2不認(rèn)為是最正確試驗(yàn)條件。2.2.2 它未能保證三因素中任何兩因素的不同水平之間相碰一次因而上不均衡的，它提供的信息也是不豐富的。2.2.3 在不做重復(fù)試驗(yàn)的情況下，不能給出誤差的估計(jì)。如何保持這種方法試驗(yàn)次數(shù)少的優(yōu)點(diǎn)而又能防止上述缺點(diǎn)呢，可采用正交設(shè)計(jì)的方法來解決。在這9次試驗(yàn)中實(shí)際上有兩次試驗(yàn)是在一樣條件下的重復(fù)試驗(yàn)A1B3C2 和A1B3C2，所以只有7次屬不同條件下的實(shí)驗(yàn)，另一方面還可看出各因素、各水平出現(xiàn)的時(shí)機(jī)是不均衡的，其中A1、C2各出現(xiàn)了7次；B3、C1各出現(xiàn)了4次

8、；而A2、A3、C1、C3、B2卻只出現(xiàn)了一次，顯然，它們的出現(xiàn)的時(shí)機(jī)是很不均衡的。簡單比較法認(rèn)為最正確的分析條件是A2B3C2，但在試驗(yàn)過程中C2是在A1B1條件下與C1和C3相比，是最正確的一個(gè)條件水平，至于因素A、B取其他水平時(shí)是否也得出同樣的結(jié)論，卻未做過實(shí)驗(yàn)，也不能得出同樣的結(jié)論，故上述的條件不能視為最正確的顯色條件，而只能是最正確條件的一種估計(jì)。導(dǎo)致上述幾種問題的原因是簡單比較法中各因素各水平的搭配不是均衡分散的，只能在同一批試驗(yàn)中做單因素比較，而在不同批數(shù)的試驗(yàn)之間卻無法進(jìn)展比較。23 正交設(shè)計(jì)法試驗(yàn)設(shè)計(jì)是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的一個(gè)重要容，正交設(shè)計(jì)是利用預(yù)先編制好的正交表來合理的安排多因素

9、試驗(yàn)，以便通過少量的試驗(yàn)次數(shù)來獲得滿意的結(jié)果，同時(shí)對試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)展統(tǒng)計(jì)分析?，F(xiàn)在對三因素三水平的試驗(yàn)做如下的安排，首先只考慮A、B兩因素，起全面實(shí)驗(yàn)應(yīng)作9次，如下表所示。 B AB1B2B3A1A2A3A1B1A2B1A3B1A1B2A2B2A3B2A1B3A2B3A3B3這時(shí)兩因素的三水平相互各碰一次，它反映的情況全面，現(xiàn)在將因素C考慮進(jìn)去，也同樣希望在任何兩個(gè)因素的不同水平之間各相碰一次而有不增加試驗(yàn)的次數(shù)，可做如下按排.。C BA B1B2B3A1A2A3A1B1C1A2B1C2A3B1C3A1B2C2A2B2C3A3B2C1A1B3C3A2B3C1A3B3C2按上表安排的9次試驗(yàn)與簡單比

10、較法相比，試驗(yàn)次數(shù)一樣但卻抑制了簡單比較法的不均衡性，A的每個(gè)水平和B、C的三個(gè)水平分別各碰一次，B的每個(gè)水平和A、C的三個(gè)水平分別各碰一次，對C也是類似的情況。即三因素中任何兩因素的不同水平均相碰一次因而試驗(yàn)是均衡的，上述9次試驗(yàn)可視為三因素三水平的全面試驗(yàn)的代表。為了書寫方便，上述試驗(yàn)設(shè)計(jì)可簡化為下表： C B A 123123123231312表中右下角局部的每一行和每一列中，1，2，3正好各出現(xiàn)一次，我們把具有這樣的性質(zhì)方塊叫拉丁方，在排這種方塊時(shí)常用拉丁字母，故有拉丁方之稱。3正交設(shè)計(jì)法的根本特征31 均衡分散性在正交設(shè)計(jì)的試驗(yàn)安排中，各因素之間的搭配是均勻的，這種因素間搭配的均勻性

11、試驗(yàn)點(diǎn)分布的均衡性成為正交設(shè)計(jì)的均衡分散性?；蛘哒f，正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)把各試驗(yàn)條件均衡地分散在排列完全的水平組合之中，是之更具有代表性，更易于通過最少的試驗(yàn)次數(shù)來尋求最正確的試驗(yàn)條件，正交設(shè)計(jì)的這種性質(zhì)，可以從試驗(yàn)結(jié)果的平均值中消除由于非均衡所引起的誤差,有利于提高測定結(jié)果的可靠信。3.2 整齊可比性正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)中，各因素各水平之間不僅搭配均勻，而且變化很有規(guī)律。在考慮*因素的每一水平的試驗(yàn)中，其他各因素各水平出現(xiàn)的次數(shù)都一樣，所作的奉獻(xiàn)也認(rèn)為是一致的。這樣在比較各因素的每一水平對指標(biāo)生產(chǎn)的影響時(shí)，就能最大限度地排除其他因素的干擾，突出本因素的作用，也就將各因素的效應(yīng)清楚地加以區(qū)別并估計(jì)其大小，這就

12、是正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的整齊可比性。在數(shù)學(xué)上把均衡分散性和整齊可比性稱為正交性，凡具有這特性的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法都稱為正交設(shè)計(jì)法。正是由于正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)最大限度地排除了其他因素的干擾并消除了非均勻分散性可能造成的誤差，因而只要比較因素各水平的試驗(yàn)指標(biāo)的平均植，就能估計(jì)各因素對試驗(yàn)指標(biāo)的影響大小，這在后面將作具體的介紹。3.3兩拉丁方的疊合在上述三因素三水平的根底上，如果還需同時(shí)考慮第四個(gè)因素D，且因素D也取三個(gè)水平D1，D2，D3，則能否在不增加試驗(yàn)次數(shù)而又能保持前述的要求呢.這首先應(yīng)將D的三個(gè)水平拼成拉丁方，其次D的拉丁方和C的拉丁方不一樣。對于前著，是使D也能與A、B均衡搭配；對于后者，是使D與C之間也能

13、均衡，既無重復(fù)，又無遺漏。假設(shè)用1，2，3表示D的三個(gè)水平，而D的拉丁方與C的拉丁方一樣時(shí)，其9次試驗(yàn)安排為：C(D) BA12311(1)2(2)3(3)22(2)3(3)1(1)33(3)1(1)2(2)這時(shí)A、B和D間是均衡的搭配，但C和D的搭配卻不均衡，C的1水平和D的1水平相碰三次而不與D的2、3水平相碰，C的其他水平也有類似的情況。所以上述的試驗(yàn)安排是不妥的，當(dāng)試驗(yàn)的結(jié)果說明C的1水平最好，而在C取1水平時(shí)總是伴隨著D的1水平的出現(xiàn)，自然也可以認(rèn)為是D的1水平也最好，導(dǎo)致C和D的作用混雜。改進(jìn)上述試驗(yàn)設(shè)計(jì)時(shí)，只需使D的拉丁方和C的拉丁方不同，兩拉丁方具有均勻的搭配。按此原則可作如下

14、的設(shè)計(jì)：C、D BA123111223322331123321321這時(shí)D的三個(gè)水平組成的是拉丁方，它和A、B及C之間的搭配都是均衡的，D的每一水平和C的1、2、3水平各碰一次，C的每一水平也和D的1、2、3水平各碰一次，既無重復(fù)，也無遺漏?，F(xiàn)將C、D兩個(gè)拉丁方疊合在一起，就獲得上述的試驗(yàn)設(shè)計(jì)，習(xí)慣上把具有這種性質(zhì)的兩個(gè)拉丁方叫正交拉丁方。12 (2) (3)3(1) (2) (2) (3) (1)32313121(1)2(2)3(3)2(3)3(1)1(2)3(2)1(3)2(1)正交拉方設(shè)計(jì)因其搭配均衡,在分析試驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)可以把每個(gè)因素的作用剖析得十分清楚而不致混雜,同時(shí)還可簡便地尋求到最優(yōu)

15、的測量條件,到達(dá)預(yù)期的效果。第一局部正交試驗(yàn)結(jié)果的直觀分析1.正交表及其使用1.1正交表它是一種預(yù)先編制好的表格，根據(jù)這種表可合理安排試驗(yàn)并對試驗(yàn)數(shù)據(jù)作出判斷。對于前述的三因素三水平試驗(yàn)的設(shè)計(jì)安排，可采用L934正交表來完成。L934表見表1.表1 L934正交表水平因素(列號)試驗(yàn)號1234111112122231333421235223162312731328321393321表L934讀作L934，符號L表示正交表，L右下角的數(shù)字“9表示此表有9行，即需安排9個(gè)實(shí)驗(yàn)，括號數(shù)字的指數(shù)“4表示有4列，即最多能安排四個(gè)因素；括號數(shù)字的底數(shù)“3表示每個(gè)因素取三個(gè)水平。表頭的列號是置放試驗(yàn)中的因素

16、因素常記為A、B、C、D,表中列號1、2、3、4是在不考慮交互作用時(shí)最多可置放四個(gè)因素因素少于四時(shí)，可只用其中幾列，表的左側(cè)為試驗(yàn)號，表的1、2、3是因素在試驗(yàn)中應(yīng)分別取的水平，故稱作水平號。L934正交表可解決四因素或少于四因素的三水平試驗(yàn)設(shè)計(jì)問題，是一種較為簡單的正交表。當(dāng)試驗(yàn)因素及所取水平數(shù)更多時(shí)，則應(yīng)選擇其它種類的正交表，如L1645、L27313、L2556、L164229等，其中L164229表示作16個(gè)試驗(yàn)，可安兩個(gè)四水平的因素和9個(gè)二水平的因素。1.2正交表的選擇選擇正交表時(shí)可考慮以下幾點(diǎn)：1.2.1根據(jù)試驗(yàn)?zāi)看_實(shí)定要考察的因素，如對試驗(yàn)的變化規(guī)律有大致的了解，有把握判斷出影響

17、試驗(yàn)效果的主要因素，可少取些因素，也可多取些因素，總之不能將主要影響因素漏掉。1.2.2確定各因素的變化圍和水平數(shù)，每個(gè)因素的水平數(shù)可以相等，也可以不等，一般地說，重要因素或者特別希望詳細(xì)考察的因素，其變化圍可寬些水平數(shù)可多些，其余的因素所取水平數(shù)則可少些。1.2.3根據(jù)試驗(yàn)者進(jìn)展試驗(yàn)時(shí)一次能平行完成的試驗(yàn)次數(shù)而選擇正交表。( 1.2.4 )選用正交表除考慮因素水平及試驗(yàn)條件外，還應(yīng)考慮對試驗(yàn)結(jié)果精度的要求。當(dāng)對試驗(yàn)結(jié)果的精度要求高時(shí)，宜取試驗(yàn)次數(shù)多的正交表，試驗(yàn)費(fèi)用貴或試驗(yàn)周期長的，可取試驗(yàn)次數(shù)少的正交表。當(dāng)存在交互作用時(shí)，應(yīng)選用具交互作用的正交表。一般情況下，假設(shè)因素全為二水平時(shí)，可選用L

18、423、L827、L16215等正交表；因素全是三水平時(shí)，可選用L934、L18237、L27318等正交表；假設(shè)因素全為四水平的，可選用L1645正交表；因素全為五水平的則選用L1645正交表。當(dāng)因素取不同水平時(shí)，一方面可采用下面即將介紹的擬水平法，一方面可直接套用L84*28、L12328、L164212、L184229等混合水平正交表。在三水平實(shí)驗(yàn)種選L18237，其中2水平所在的列，不做安排。三水平因素可在其它7列選用。1.3正交試驗(yàn)的工作程序及幾點(diǎn)說明在選擇所需要的正交表后，將已確定的因素放置在表的任意列上，并把每一列的1、2、3填入具體水平，即得出試驗(yàn)方案。今仍以前述三因素三水平的

19、顯色反響為例，其試驗(yàn)方案如下表所示。表:三因素三水平正交試驗(yàn)表水平因素試驗(yàn)號1At/oC2Bmol/L3C(t/min)試驗(yàn)結(jié)果112510.4110212520.5220312530.6330423010.4220523020.5330623030.6110733510.4330833520.5110933530.6220表中每一橫行表示一次試驗(yàn)及進(jìn)展該試驗(yàn)時(shí)所取的條件，按上安排作完實(shí)驗(yàn)后并將所測結(jié)果填入最后一列，至于試驗(yàn)結(jié)果的分析，將在以后再作討論。上面的試驗(yàn)設(shè)計(jì)表未考慮因素之間的交互作用，應(yīng)選用L934正交表，三因素在表上所處的列可任意選擇而且可將因素的次序進(jìn)展交換。如在1、2、3列可依

20、次排列A、B、C三因素，也可安排為A、C、B三因素，在把因素及水平排入正交表后而獲得一試驗(yàn)設(shè)計(jì)表，這過程叫表頭設(shè)計(jì)。L934表所安排的9次試驗(yàn)，不一定按表上的試驗(yàn)排列，也可按抽簽的方法來決定，這樣處理是為了減少試驗(yàn)中由于先后掌握不勻所帶來的影響，但對有些試驗(yàn)，其次序卻不宜隨意變更。對于每個(gè)因素的水平并不一定總是由小到大或由大到小按順序排列，一般采用隨機(jī)化方法來處理，即對局部因素的水平作隨機(jī)的排列。1.4常用的正交表1.4.1三因素二水平正交表正交表為L423，表頭設(shè)計(jì)為：列號試驗(yàn)號12311112122321242211.4.2七因素二水平正交表正交表為L827，表頭設(shè)計(jì)為：列號試驗(yàn)號1234

21、56711111111211122223122112241222211521212126212212172211221822121121.4.3更多因素二水平的正交法正交表為L12211、L16215，前者的表頭設(shè)計(jì)為：列號試驗(yàn)號123456789101111111111111121111122222231122211122241212212211251221221212161222122121172122112212182121222111292112221221110222111122121122121211122221121212211.4.4四因素三水平正交表正交表為L934，表頭設(shè)計(jì)

22、在前已述及，當(dāng)為三因素時(shí)，此三因素可在表頭上占取任意三列，如三因素三水平在選用L934時(shí)，表頭設(shè)計(jì)可為：列號試驗(yàn)號1231111212231334213522162327312832393311.4.5七因素三水平正交表正交表為L1837，表頭設(shè)計(jì)為：列號試驗(yàn)號1234567111111111121222222131333333142112233152223311162331122173121323183232131193313212210113322121112113322121322113213212313221422312132152312321216313231221732131232

23、1833212312*:假設(shè)把二水平的列1排進(jìn)L1837表中，便得到混合型L182137表。更多因素的三水平正交表可選用L27313、L36313正交表。1.4.6五因素四水平正交表正交表為L1645，表頭設(shè)計(jì)為：列號試驗(yàn)號123451111112122223133334144445212346221437234128243219313421032431113312412342131341423144231415432411644132更多因素的四水平，可選用L3249正交表。1.4.7六因素五水平正交表正交表為L2556，表頭設(shè)計(jì)為：列號實(shí)驗(yàn)號123456111111121222223133

24、333414444451555556212345722345182345129245123102512341131352412324135133352411434135215352413164142531742531418431425194425312045314221515432225215432353215424543215255543212.二列間交互作用正交表 二列間指兩因素之間因?yàn)橐蛩卣剂?.1交互作用正交表除能對因素的主效應(yīng)進(jìn)展考察外,有時(shí)還能簡便地考察各因素之間的交互作用并給出交互效應(yīng)的大小。所謂交互作用,是指在*些試驗(yàn)中,不僅因素自身對實(shí)驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生影響,而且因素之間產(chǎn)生協(xié)同的影

25、響,這種協(xié)同作用叫交互作用。如考察氮肥(N)和磷肥(P)對豆類增產(chǎn)效果,可在四塊土質(zhì)情況根本一樣的土地上做四個(gè)試驗(yàn),試驗(yàn)中施肥情況及產(chǎn)量如表所示.表: 氮肥.磷肥對豆類產(chǎn)量的影響試驗(yàn)號N量m/kgP量m/kg產(chǎn)量m/kg100200230215302225432275由表知，單施氮肥3kg增產(chǎn)豆類15kg；單施磷肥2kg增產(chǎn)豆類25kg；同時(shí)施加了3kg氮肥和2kg磷，豆類增產(chǎn)量不是把兩種肥料單獨(dú)使用時(shí)增產(chǎn)豆類量的加和，而是增產(chǎn)了75kg，說明兩種肥料對豆類增產(chǎn)起了協(xié)同的效果，這種作用叫氮肥和磷肥的交互作用，以N*P表示。對于其它的因素，則記作因素1*因素2，或AB、AC等。2.2 二列間交互

26、作用正交表試驗(yàn)設(shè)計(jì)時(shí)，要考慮各因素間有無交互作用，這既可從專業(yè)本身加以判斷，也可對一定的試驗(yàn)方案下的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)經(jīng)統(tǒng)計(jì)分析來加以確定。在常用正交表中，有的只能考察因素本身的效應(yīng)，不能用以考察因素間的交互作用；有的則可以分析因素間的交互作用，很多正交表都附有相應(yīng)的二列間的交互作用表。在作表頭設(shè)計(jì)時(shí)，假設(shè)不考慮因素間的交互作用，則因素置那一列上可任意選取，假設(shè)因素間存在交互作用，則因素的置放要根據(jù)一定的規(guī)則，應(yīng)利用有交互作用的表來設(shè)計(jì)表頭。今以L827正交表來安排具有二列間交互作用的試驗(yàn)工作時(shí)，可由表2對因素及交互列在表頭中所處的列號作出安排。表2：L827二列間交互作用表列號列號1A2(B)3(A*

27、B)4(C)5(A*C)6(B*C)71(A)(1)3254762(B)(2)167453(A*B)(3)76544(C)(4)1235(A*C)(5)326(B*C)(6)17(7)表2中最上一行和最左側(cè)一列數(shù)字以及括號呈對角線的數(shù)字是列號，其余數(shù)字均為交互作用的列號。對于三因素A.B.C而言，先將因素A.B置放在表的第1、2列，則A和B相交的位置上的數(shù)字為3。即A*B應(yīng)置放在第3列上，再將因素c置放于第4列，則A和C相交位置上的數(shù)字是5，B和C相交位置上的數(shù)字是6，這樣A和C及B和C的交互作用列應(yīng)分別為第5列和第6列。如果考察時(shí)還有第四個(gè)因素D,并將它置放于第6列，根據(jù)上表可得如下的表頭設(shè)

28、計(jì)。列號1234567因素ABC*DA*BCB*DA*CDB*CA*D這樣的設(shè)計(jì)中，雖有B和CD、C與BD、D與BC的混雜，但如果B、C、D之間的交互作用很小。故不致影響試驗(yàn)結(jié)果的分析，仍可進(jìn)引因素A、B、C及交互作用AB、AC及AD的考察。如果要對四個(gè)因素及其兩兩之間的交互作用都作全面的考察，不允許上述存在的幾種混雜，故此時(shí)不能選用L827表，而選用L16215二列向的交互作用表，見表3。表3: L16215二列向的交互作用表列列號 號1234567891011121314151(1)325476981110131215142(2)16745101189141512133(3)7654111

29、098151413124(4)123121314158910115(5)32131215149811106(6)1141512131011897(7)151413121110988(8)12345679(9)32547610(10)1674511(11)765412(12)12313(13)3214(14)115(15)這樣，對于四因素的表頭設(shè)計(jì)為：列號123456789101112131415因素ABABCACBCDADBDCD表3中，D未置入第7列。原因是D置于7列后，AD應(yīng)置第6列，導(dǎo)致與BC的混雜。對于五因素。二水平的試驗(yàn)，在同時(shí)考慮各因素之間的交互作用時(shí)，因五因素自身及它們之間的兩兩

30、交互作用共有15項(xiàng)，仍可用L16215二列間交互作用表，其表頭設(shè)計(jì)為：列號12345678因素ABA*BCA*CB*CD*ED列號9101112131415因素A*DB*DC*EC*DB*EA*EE如果考察一個(gè)四因素三水平的問題，在只考慮因素主效應(yīng)時(shí)，選用L827正交表，讓因素順序上列，水平對號入座，填寫好試驗(yàn)方案并按此安排進(jìn)展實(shí)驗(yàn)。假設(shè)同時(shí)考慮交互作用的影響，仍以選用 L827二列向交互作用表為宜，在填寫試驗(yàn)方案時(shí)，只需列出交互作用列僅不填水平取值，仍按L827表的安排作完八個(gè)實(shí)驗(yàn)，并將測得值填入表中，既可考察四因素各自的主效應(yīng)，同時(shí)也能考察它們兩兩的交互作用效應(yīng)。例如如下：今考察影響*化合

31、物產(chǎn)量的四個(gè)主要因素，每個(gè)因素取兩個(gè)水平，其值為：因素水平A t/cB t/hC 反料配比D 攪拌速度1A1 80B1 2C1 1/1D1 慢2A2 100B2 3C2 1.5/1D2 快在不考慮因素間的交互作用時(shí)，試驗(yàn)按下表安排進(jìn)展：因素試驗(yàn)號ABCD1111121122312124122152112621217221182222當(dāng)同時(shí)考慮交互作用的影響，但又根據(jù)已有的經(jīng)歷估計(jì)這些交互作用并不明顯時(shí)，仍選用L827二列間的交互作用表，其表頭設(shè)計(jì)為：列號1234567因素ABABCDCACBDBCADD在此情況下，每個(gè)因素的作用可以分析清楚，而交互作用都混雜在一起，只是由于交互作用很小，不必單

32、獨(dú)頒出來，這樣的處理對結(jié)果不致產(chǎn)生明顯的影響。如果不需對各因素的交互作用作全面的考察而只討論其中影響較大的幾個(gè)交互作用，如AB、AC、AD則表頭設(shè)計(jì)為：列號1234567因素ABCDABCBDACDBCAD設(shè)計(jì)中雖有一些混雜，但因CD、BD、BC卻很小，不致影響結(jié)果分析。假設(shè)需全面考察四因素及其兩兩的交互作用。則選用L16215二列交互作用表，其表頭設(shè)計(jì)為：列號123456789101112131415因素ABABCACBCDADBDCD根據(jù)已有的經(jīng)歷，因素A、B、C之間交互作用，而攪拌速度D與這些因素間的交互作用可予忽略，這樣就成為研究四個(gè)因素和三個(gè)交互作用中，何者對產(chǎn)量影響較大、何者影響較

33、小并進(jìn)而尋求有利于提高化合物產(chǎn)量的條件選擇問題。這時(shí)應(yīng)選擇至少有七列的二水平正交表L827，其表頭設(shè)計(jì)為：列號1234567因素ABABCACBCD表頭設(shè)計(jì)好后，再按正交試驗(yàn)的根本方法，列出如下試驗(yàn)方案。列號試驗(yàn)號因素A t/cB t/cABC 配比ACBCD123456711(80)1(2)11(1/1)111(慢)21(80)1(2)12(1.5/1)222快31(80)2(3)21(1/1)122快41(80)2(3)22(1.5/1)211(慢)52(100)1(2)21(1/1)212快62(100)1(2)22(1.5/1)121(慢)72(100)2(3)11(1/1)221(慢

34、)82(100)2(3)12(1.5/1)112快綜上所述，可知正交表是安排多因素試驗(yàn)的一種有用的工具，在應(yīng)用時(shí)不得將主要影響因素遺漏，必要時(shí)傾向于多考察一些因素，因?yàn)橛袝r(shí)增加12個(gè)考察的因素不一定會(huì)增加試驗(yàn)次數(shù)或者說增加工作量并不大。在采用三水平以上的正交表作試驗(yàn)后，可根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果作圖，找出不同水平的變化趨勢，為以后的試驗(yàn)提供有益的信息。所以在不遺漏合理值的前提下，可把各因素的取值圍稍取寬些，在此圍取的水平數(shù)也不宜多，以免選用試驗(yàn)次數(shù)多的正交表而增加試驗(yàn)工作量。如果先用水平數(shù)少的正交表作實(shí)驗(yàn)，以從多個(gè)因素中挑選出主要因素后，再于下一批試驗(yàn)中對已挑選出的主要因素進(jìn)展的細(xì)致考察。在一般化學(xué)分析中

35、，三因素之間的交互作用通?？梢院雎裕槐貑为?dú)再作考察，讓其混雜在試驗(yàn)誤差之中。因交互作用不是具體因素，也就不存在水平問題，無須專門增加試驗(yàn)工作來判斷它的影響。3正交試驗(yàn)結(jié)果的直觀分析正交試驗(yàn)結(jié)果的直觀分析由選定的正交表安排試驗(yàn)并按試驗(yàn)方案完成試驗(yàn)記錄各次試驗(yàn)的結(jié)果，再按一定步驟分析試驗(yàn)結(jié)果。試驗(yàn)結(jié)果分析方法有兩種，一種是直觀分析法；一種為方差分析法。直觀分析法是一種常用的結(jié)果分析法，它簡便直觀，計(jì)算工作量小，但不能給出試驗(yàn)誤差的估計(jì)，也就無法得知分析結(jié)果的精度。3.1不考慮交互作用的單指標(biāo)正交實(shí)驗(yàn)的結(jié)果分析對于只考慮因素的主效應(yīng)而忽略因素間的交互作用時(shí)，正交試驗(yàn)結(jié)果的分析，可從下面幾個(gè)例子說明

36、：例1：研究*萃取別離過程的萃取效率，選擇了如下的因素和水平萃取溫度A: 15A1、25A2萃取時(shí)間B: 3min (B1).、 5min(B2)兩相體積比C: 1/1(C1) 、2/1(C2)鹽析劑用量(D): 1g/25ml(D1) 、2g/25ml(D2)試判斷在不考慮交互作用的情況下各因素的影響并尋求最正確的萃取條件。解：此題屬四因素二水平問題，可選用L827正交表，在表頭設(shè)計(jì)中將因素A、B、C、D分置于1、2、4、7列，并將因素的各水平代入，按正交表安排做完八次試驗(yàn)，所得結(jié)果記錄于表的末列。 因素 列號試驗(yàn)號A B C D試驗(yàn)結(jié)果yi%1 2 4 7 1 2 3 4 5 6 7 81

37、5 3 1 115 3 2/1 215 5 1 215 5 2/1 125 3 1 2 25 3 2/1 125 5 1 125 5 2/1 28695919491968388如果從八次試驗(yàn)結(jié)果的萃取效率yi來看,可認(rèn)為A2B1C2D1為最正確條件。實(shí)際上，為獲得正確的結(jié)論，應(yīng)對所測數(shù)據(jù)作科學(xué)的分析。首先將測得數(shù)據(jù)進(jìn)展綜合比較，找出對yi有明顯影響的因素，進(jìn)而判斷它取什么水平對試驗(yàn)產(chǎn)生最正確的效果。為便于綜合比較，可先從每個(gè)因素的不同水平的比較著手，在八次試驗(yàn)中，由于每一次試驗(yàn)都是在不同條件下進(jìn)展的，故無比較的根底，只有將所測八個(gè)數(shù)據(jù)適當(dāng)?shù)丶右越M合，才能找到*種可比性正交設(shè)計(jì)的綜合可比性。以因

38、素A為例，A的1水平出現(xiàn)在表的試驗(yàn)號1-4號，這四次試驗(yàn)的萃取效率的平均值為=A的2水平 出現(xiàn)在表的試驗(yàn)號5-8號，四次試驗(yàn)的萃取效率的平均值為由于在 條件下的四次試驗(yàn)中，因素B、C、D皆取遍了兩種水平，且兩種水平出現(xiàn)的次數(shù)一樣，均為二次。同樣在 條件下的四次試驗(yàn)中，B、C、D也都取遍兩種水平，且均為二次。這樣對于和條件下的四次試驗(yàn)來說，雖然其它條件B、C、D在變化，但這種變化是平等的或均衡的，即與之間的差異反映了兩個(gè)水平的不同影響，所以 與就是有可比性了-=91.5-89.5=2)0可以認(rèn)為因素A 取 水平時(shí)優(yōu)于取 水平，根據(jù)同樣的理由比較因素B、C、D的兩種水平的效果，可得如下各式： 以上

39、各項(xiàng)計(jì)算的結(jié)果可列在正交表的下方。 因素 列號 試驗(yàn)號 A B C D 1 2 3 4 5 6 7試驗(yàn)結(jié)果 (%) 1 2 3 4 5 6 7 8 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 28695919491968388 366 368 351 359 358 356 373 365 91.5 92.0 87.75 89.7589.5 89.0 93.25 91.25 2.0 3.0 -5.5 -1.5表中 表示正交表中每列的1水平所對應(yīng)的數(shù)據(jù)之和，為其平均值；表示正交表中每列的2水平對應(yīng)的數(shù)據(jù)之和，為其平均

40、值，R叫極差，是每列兩水平平均值之差。由差值的正負(fù)知因素A取比好；因素B取比好；因素C取比好；因素D取比好，所以在不考慮交互作用的情況下，選擇進(jìn)展萃取是最為適宜的。另一方面A、B、C、D四因素各自對萃取效率的影響是不同的，這種影響的大小具體表現(xiàn)在該因素的不同水平對應(yīng)的平均萃取效率之間的差異大小。從表上的極差植R絕對值知，因素C的兩個(gè)水平所導(dǎo)致的萃取效率的差異最大，即C的影響是最大的，其次是因素B、A，影響最小的是因素D。當(dāng)然，在試驗(yàn)圍改變后，上述結(jié)論也可能發(fā)生變化。例：為提高*產(chǎn)物的產(chǎn)率，考察可溫度、反響時(shí)間、壓力和溶液濃度四個(gè)因素的影響，每個(gè)因素取三個(gè)水平，取值如下其中因素A的三個(gè)水平作了隨

41、機(jī)處理： 因素水平溫度時(shí)間壓力濃度123 140 120 130 1.5 2.0 2.50.200.250.30 0.50 0.70 1.00解：試驗(yàn)是四因素三水平問題，可選用、等正交表，如果由于試驗(yàn)條件的限制，則選用試驗(yàn)次數(shù)少的表，將因素順序上列，水平對號填入並按正交表的安排作完九次試驗(yàn)，結(jié)果記錄于表的右側(cè)，而對結(jié)果所作的初步運(yùn)算記錄于表的下面局部。 列號 因素 實(shí)驗(yàn)號1 2 3 4產(chǎn)率%A B C D 123456789 1 1 1 1 1 2 2 2 1 3 3 3 2 1 2 3 2 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3 2 3 2 1 3 3 3 2 128.033.040.536

42、.514.532.033.045.532.5 101.5 97.5 105.5 75.083.0 93.5 102.0 98.0 111.0 105.0 88.0 122.5 33.8 32.5 35.2 25.0 27.7 31.0 34.0 32.7 37.0 35.0 29.3 40.8 9.3 4.0 5.9 15.8表中數(shù)據(jù)說明最正確反響條件是A3B3C1D3，這時(shí)可得最高的產(chǎn)率。當(dāng)然，這是所說的最正確反響條件是各因素所取水平值的圍得出的結(jié)論，當(dāng)水平取值圍改變后，最正確反響條件也可能改變。另一方面，這里所得的最正確水平組合，并不包括在已做的九次試驗(yàn)中，為了證實(shí)上述的結(jié)論，應(yīng)按最正確組

43、合進(jìn)展試驗(yàn)，將所得結(jié)果與試驗(yàn)方案中具有最高產(chǎn)率的試驗(yàn)作一比較。如果將各因素的水平取值對指標(biāo)作圖，得圖1。還可以對因素與指標(biāo)的關(guān)系作圖，即分別以因素A，B，C，D的各水平為橫坐標(biāo)，以對應(yīng)的平均試驗(yàn)數(shù)據(jù)數(shù)值為縱坐標(biāo)作圖。圖1：因素水平取值與產(chǎn)率的關(guān)系由圖1知*因素的點(diǎn)子散布波動(dòng)的圍大，說明該因素對指標(biāo)的影響也大；點(diǎn)子散布圍小，對指標(biāo)的影響也小。例中因素D的不同水平所對應(yīng)的平均產(chǎn)率之間的差異最大，是影響產(chǎn)率的主要因素，其次是A，而影響最小的是B和C。對因素D而言，因其最正確水平在試驗(yàn)圍的邊界上，故有必要適當(dāng)?shù)財(cái)U(kuò)大D的取值，以獲得更佳的試驗(yàn)條件。在進(jìn)展正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)時(shí)如果所考察的因素其水平的取值不是具體

44、的數(shù)值量，可用種類或類型來加以區(qū)別。如研究激發(fā)電流，電極形狀及電極間距對光譜測定*元素的靈敏度的影響時(shí)，其中電極形狀可能是平頭，凹月面，細(xì)腰狀平頭電極。它們不是具體的取值，因而可用類型分別表示，將這些類型記錄在正交表該因素所在列的有關(guān)水平號，同時(shí)記錄每次試驗(yàn)譜線對背景的強(qiáng)度比，再按前述對所測數(shù)據(jù)進(jìn)展處理以尋求最正確的光譜分析條件。2.2有交互作用的正交試驗(yàn)的結(jié)果分析除因素的單獨(dú)作用外，其間的交互作用也影響著試驗(yàn)的指標(biāo)。交互作用不是具體的因素。當(dāng)然也無“水平的問題，對它考慮與否于試驗(yàn)本身并無什么關(guān)系，但在選用正交表及進(jìn)展試驗(yàn)結(jié)果分析時(shí)，卻應(yīng)該考慮到交互作用的列數(shù)。對于有交互作用的試驗(yàn)方案的安排及

45、結(jié)果分析，可以從以下用例給予說明。例1：為研究*化學(xué)反響的完全程度，考察了如下的因素及各種因素所對應(yīng)的水平值。 在考慮到正交作用的情況下，選擇適宜的反響條件。表中催化劑及穩(wěn)定劑也可分別用，a,b或 = 1 * ROMAN * MERGEFORMAT I型 = 2 * ROMAN * MERGEFORMAT II型表示。 因素 水平A催化劑m/mgL-1B穩(wěn)定劑V/mlC溫度t/ 1 218 a24 b50 = 1 * ROMAN * MERGEFORMAT I70 = 2 * ROMAN * MERGEFORMAT II120140此題屬三因素二水平問題，同時(shí)存在AB、AC、BC的交互作用，選

46、用 表安排試驗(yàn)工作，其試驗(yàn)結(jié)果及有關(guān)計(jì)算如下。 列號 試驗(yàn)號 A B AB C AC BC 反響完全程度% 1 2 3 4 5 6 712345678 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 21.0 17.0 20.5 16.5 20.0 19.0 19.0 19.5 75.0 77.0 76.5 80.5 80.0 77 77.5 75.5 76.0 72.0 72.5 75.5 -2.5 1.5 0.5 8

47、.5 7.5 1.5在不考慮交互作用的情況下從表中九次實(shí)驗(yàn)結(jié)果的數(shù)據(jù)知，以為最正確的條件組合；從K1K2判定，則應(yīng)取A2B1C1。但考慮到交互作用時(shí)，根據(jù)極差R的大小可看出C和AC是最主要的，其余的交互作用是次要的。從因素C考慮，以為好，但AC對指標(biāo)也有重要的影響。這種影響甚至接近或超過A和C自身的影響，所以應(yīng)將A、C的不同水平的組合再作比較以尋求具有最正確效果的組合。 A C 41.5 39.0 33.5 38.5 其中最大，故取，而由前知因素B取，所以最正確反響條件為。例：為提高植物生長調(diào)節(jié)劑九二零的效價(jià)，選擇了A、B、C、D四種因素，每種因素取兩個(gè)水平，除考察因素A、B、C、D外還要考察

48、A與B、A與C及B與C 之間的交互作用。在選用表所作的八次試驗(yàn)中，所得結(jié)果分別為2.05、2.24、2.44、1.10、1.50、1.35、1.26、2.00。由題意及有關(guān)數(shù)據(jù)經(jīng)簡單計(jì)算后得下表。 列號因素 試驗(yàn)號1 2 3 4 5 6 7試驗(yàn)結(jié)果效價(jià)A B AB C AC BC D1 2 3 4 5 6 7 8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2.05 2.24 2.44 1.10 1.50 1.35

49、1.26 2.00 7.83 7.14 7.55 7.25 7.84 6.65 5.76 6.11 6.80 5.39 5.69 6.10 7.29 8.18 1.958 1.785 1.888 1.813 1.960 1.663 1.440 1.573 1.700 1.598 1.673 1.525 1.823 2.045 0.43 0.085 0.29 0.14 0.435 0.16 0.605由上數(shù)據(jù)知第3號試驗(yàn)效價(jià)最高，相應(yīng)的組合為，再由極差大小可看出因素和交互作用對指標(biāo)影響的主次關(guān)系為D、AC、A、AB、BC、C、B。所以D、AC、及A是影響指標(biāo)的重要因素，其中D尤為顯著。對于因素D

50、所取得兩個(gè)水平，由于大于，說明的效價(jià)高于；對于A、C的任何水平相搭配，從下表看出。水平搭配平均效價(jià)可見在條件下具有最高的平均效價(jià)，故取。對于因素B，雖然本身屬次要因素，但AB存在較大的影響，故也應(yīng)按上述方法選擇A與B 不同水平的最正確搭配，結(jié)果說明有最高的平均效價(jià)。綜上所述，使九二零具有最正確效價(jià)的水平組合是。 4 多指標(biāo)正交試驗(yàn)結(jié)果的直觀分析當(dāng)試驗(yàn)工作的效果或預(yù)期目標(biāo)不只一項(xiàng)而是多項(xiàng)時(shí)，在相應(yīng)的直觀分析中可采用綜合評分法或綜合平衡法，不管指標(biāo)之間存在一致性或制約性，均應(yīng)兼顧到各項(xiàng)指標(biāo)，以求獲得最好的效果。4.1綜合評分法在對各項(xiàng)指標(biāo)逐個(gè)測定后，視情況對各指標(biāo)進(jìn)展綜合評分，繼而綜合為單指標(biāo)，再

51、按單指標(biāo)的分析方法作直觀分析。例：從天然植物中提取*兩種中藥成分p和q，得粗制品，考察了A，B，C，D四個(gè)因素，每一因素均取三個(gè)水平，試驗(yàn)指標(biāo)為兩藥分各自的質(zhì)量分?jǐn)?shù)。因素及水平取值見下表。 因素 水平 A B C D 1 2 3 0.74 0.84 0.62 24 12 4 = 1 * ROMAN * MERGEFORMAT I型 = 2 * ROMAN * MERGEFORMAT II 型 = 3 * ROMAN * MERGEFORMAT III型4.86.09.0選正交表并完成試驗(yàn)工作，結(jié)果見下表。 列號 因素 試驗(yàn)號 1 2 3 4 指標(biāo)%綜合評分A B C D藥分p藥分q 1 2 3

52、 4 5 6 7 8 9 17.8 12.2 6.2 8.0 4.5 4.1 8.5 7.3 4.4 29.8 41.3 59.9 24.3 50.6 58.2 30.9 26.4 73.4 59.4 51.2 45.5 32.2 36.6 39.4 36.8 28.5 47.7 256.1 128.4 127.3 143.7 108.2 116.3 131.1 127.5 113.0 132.6 118.3 106.2 52.0 42.8 42.4 47.9 36.1 38.8 43.7 42.5 37.7 44.2 39.6 35.4 15.9 5.4 4.1 12.5進(jìn)展綜合評分是考慮到兩個(gè)指標(biāo)的重要程度的差異，根據(jù)評分中重要性的比例關(guān)系來反映，如粗制品中藥分p的含量的重要性為藥分q含量的五倍人為確定，故在評分時(shí)按5：1的比例計(jì)算總分，具體計(jì)算如下。總分=5p的質(zhì)量分?jǐn)?shù)+1q的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為使綜合計(jì)分的數(shù)值不太大，可改為2.5p的質(zhì)量分?jǐn)?shù)+0.5q的質(zhì)量分?jǐn)?shù)所以 1號試驗(yàn)綜合得分=2.517.8+0.529.8=44.5+14.9=5