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1、PAGE 成都理工大學復(fù)變函數(shù)模擬考試試題(一)參考答案大題一二三四總分得分一 填空題(每題4分,共5題20分)1 ,則 i 。2 三角形三個頂點復(fù)數(shù)為,則重心處的復(fù)數(shù)是。3 函數(shù)的奇點是 全體復(fù)數(shù)(任意復(fù)數(shù)) 。4 = -e 。5 |z|=1,化簡= 0 。二 計算題(每題6分,共4題24分)6 求Ln(1+) 的全體值。解:原式=3分=3分7 求的全體值。解:原式=3分=3分8 計算。解:原式= 3分= 3分9 計算, C:的正向。解: 原式=,C內(nèi)只包圍奇點a, 3分= =3分三 解答題(每題6分,共4題24分)10 u(x,y)=,求函數(shù)v(x,y),使u(x,y)+iv(x,y)是解
2、析函數(shù)。解:由C-R方程,3分由,得由, )=0,所以)=C。3分11 求級數(shù)的收斂域。解: ,半徑R=.3分圓心為。收斂域 3分12 求映射 在z=i處的伸縮率和轉(zhuǎn)動角。解:, 3分 。 伸縮率為2,轉(zhuǎn)動角。3分13 在映射w=(1+i) 下,z平面上的圖形 |z-i|1被映射成w平面上的什么圖形。解:共軛表示以實軸為對稱軸上下翻,映射為|z+i|13分,乘以(1+i)表示旋轉(zhuǎn),再以原點為基準向外膨脹為倍的圓。圓心是,膨脹到1-i。半徑從1膨脹到。最后圖形是|w- (1-i)| 。3分四 計算題(每題8分,共4題32分)14 計算,L是連接(0,0)與(,0)的曲線,(0,0)為起點。解:原
3、式=定義2分=展開2分=代路徑2分=分部積分2分15 把函數(shù)在區(qū)域 1|z|2 展開成洛朗級數(shù)。解:原式=拆項2分其中2分2分2分16 判斷函數(shù)的所有有限奇點與無窮遠奇點的類型,并計算每個奇點的留數(shù)。解:有限奇點有z=0, z=2, 分別是一級極點。2分因為,所以z=是可去奇點。2分兩個有限奇點的留數(shù)2分留數(shù)定理2:2分17 求將下半平面 Im(z)0 映射成單位圓 |w-i|2的分式線性映射。解:下半平面取任一復(fù)數(shù)。映射到0, 映射到。, 2分當z=1,|w|=1,所以|k|=1.下半平面映射到單位圓內(nèi),2分擴大為半徑為2的圓內(nèi)2分往上平移至圓心為i.+i2分成都理工大學復(fù)變函數(shù)模擬考試試題
4、(二)附參考答案大題一二三四總分得分判斷題(每題2分,共6題,總分12分)若是和的一個奇點,則也是和的奇點 ()若函數(shù)點解析,則在該點連續(xù)。 ( ) ( ),則是解析函數(shù) ()若存在,則與有相同的收斂半徑 ( )是的孤立奇點 ()填空題(每題3分,共8題,總分24分)設(shè),則設(shè),則的指數(shù)形式表示為函數(shù)將平面上的曲線變?yōu)槠矫嫔系那€的方程是(用u,v表示)。 -1 ,則。映射在z=i處轉(zhuǎn)動角是 0 ,伸縮率是 ch1 函數(shù)的奇點是 所有純虛數(shù),(y軸上除0以外的所有點) 解答題(每題6分,共8題,總分48分)證明:解: 左邊=2分2分2分解方程解:2分2分2分計算解:被積函數(shù)在|z|=1內(nèi)只有一個
5、奇點z=0,是一級極點2分3分原式=1分求的全部零點,并指出幾級。解:即, ,。3分, , 所以都是二級零點。3分將函數(shù)在處展開成冪級數(shù),并指出該級數(shù)的收斂半徑。解:, ; , 3分=()()= 3分將函數(shù)在內(nèi)展開成洛朗級數(shù)。解:2分2分2分求的和函數(shù)。解:半徑R=12分設(shè)S(z)= S(z)= 2分S(z) 2分求映射把區(qū)域映射成w平面上的什么圖形?解 :(1+i)z把平面膨脹倍,還是。2分并旋轉(zhuǎn),映射成直線y=x的上方。2分-1+i是向左平移1,向上平移1,還是直線y=x的上方。2分四 解答題 (每題8分,共2題,總分16分)1. f(z)是解析函數(shù),證明:解:,所以4分由于C-R方程,且
6、u,v都是調(diào)和函數(shù),2分2分z=0是函數(shù)的什么類型奇點(若是極點還要指出幾級)。解:z=0是分母的3級零點。2分2分z=0是sinz的一級零點, 是(cosz-1)的二級零點,不是的零點或極點所以z=0是的3級零點。2分綜上所述,z=0是可去奇點。2分復(fù)變函數(shù)試題填空題(315=45分)1、一個復(fù)數(shù)乘以,它的模,它的輻角。2、函數(shù)把平面上的區(qū)域映成平面上的區(qū)域。3、。4、設(shè)為解析函數(shù),則,。5、已知在區(qū)域內(nèi)是解析的,為內(nèi)任一閉合曲線,則。6、。其中:7、已知,則。8、函數(shù)在-1處的泰勒展式的收斂半徑R=。9、z=0是函數(shù)的 級極點。10、如果分式線性映射把z平面上的點,則該分式線性映射為 。11、= 。12、。13、方程的所有根是 。14、。15、若函數(shù)f(z)在點a解析,且,則。判斷題(36=18分)1、0的輻角是零。()2、如果在可導(dǎo),那么在解析。()3、設(shè)和都是調(diào)和函數(shù),如果是的共軛調(diào)和函數(shù),那么也是的共軛調(diào)和函數(shù)。()4、每一個冪級數(shù)在它的收斂圓周上處處收斂。()5、函數(shù)不能在某個圓環(huán)域內(nèi)展開成洛朗級數(shù)。()6、設(shè)在單連通域B內(nèi)處處解析,C為B內(nèi)任一條正向簡單閉曲線,則( )解答題(共37分)1、(9分)求復(fù)數(shù)
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