高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題函數(shù)的最值

1、學(xué)習(xí)好資料歡迎下載函數(shù)的最值（值域）高考要求掌握求函數(shù)值域的基本方法（直接法、換元法、判別式法）；掌握二次函數(shù)值域（最值）或二次函數(shù)在某一給定區(qū)間上的值域（最值）的求法最值問(wèn)題，幾乎涉及到高中數(shù)學(xué)的各個(gè)分支，是歷年高考重點(diǎn)考查的知識(shí)點(diǎn)之一，有一 些基礎(chǔ)題，也有一些小綜合的中檔題，更有一些以難題形式出現(xiàn).它經(jīng)常與三角函數(shù)、二次 函數(shù)、一元二次方程、不等式及某些幾何知識(shí)緊密聯(lián)系.所以其解法靈活，綜合性強(qiáng)，能力 要求高.解決這類問(wèn)題，要掌握各數(shù)學(xué)分支知識(shí)，能綜合運(yùn)用各種數(shù)學(xué)技能，靈活選擇合理 的解題方法.考生的運(yùn)算能力，分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力在這里充分展現(xiàn).因此我們應(yīng)注意 總結(jié)最大、最小值問(wèn)題的解題

2、方法與技巧，以提高高考應(yīng)變能力因函數(shù)的最大、最小值求出 來(lái)了，值域也就知道了反之，若求出的函數(shù)的值域?yàn)榉情_(kāi)區(qū)間，函數(shù)的最大或最小值也等于 求出來(lái)了重難點(diǎn)歸納（1）求函數(shù)的值域此類問(wèn)題主要利用求函數(shù)值域的常用方法配方法、分離變量法、單調(diào)性法、導(dǎo)數(shù)法數(shù)形結(jié)合法（圖像法）導(dǎo)數(shù)法數(shù)形結(jié)合法、判別式法、部分分式、均值不等式、換元法、不等式法等無(wú)論用什么方法求函數(shù)的值域，都必須考慮函數(shù)的定義域（2）函數(shù)的綜合性題目此類問(wèn)題主要考查函數(shù)值域、單調(diào)性、奇偶性、反函數(shù)等一些基本知識(shí)相結(jié)合的題目此類問(wèn)題要求考生具備較高的數(shù)學(xué)思維能力和綜合分析能力以及較強(qiáng)的運(yùn)算能力在今后的命題趨勢(shì)中綜合性題型仍會(huì)成為熱點(diǎn)和重點(diǎn)，并

3、可以逐漸加強(qiáng)（3）運(yùn)用函數(shù)的值域解決實(shí)際問(wèn)題此類問(wèn)題關(guān)鍵是把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，從而利用所學(xué)知識(shí)去解決此類題要求考生 具有較強(qiáng)的分析能力和數(shù)學(xué)建模能力知識(shí)點(diǎn)歸納 一、相關(guān)概念1、值域：函數(shù)y=f(x), x三A,我們把函數(shù)值的集合 f (x)/xw A稱為函數(shù)的值域。2、最值：求函數(shù)最值常用方法和函數(shù)值域的方法基本相同。事實(shí)上，如果在函數(shù)的值域中存 在一個(gè)最小(大)數(shù)，這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最小 (大)值。因此，求函數(shù)的最值和值域，其實(shí)質(zhì)是相 同的，只是提問(wèn)不同而已。最大值：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,如果存在實(shí)數(shù) M滿足：對(duì)于任意的 xC I,都有f(x)W M；存在xoC I,使

4、得f(x0) = M。那么，稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值。記作ymax = f (x0 ) 最小值：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,如果存在實(shí)數(shù) M滿足：對(duì)于任意的 xC I,都有f(x) M ;存在x C I,使彳導(dǎo)f(xo) = M。那么，稱M是函數(shù)y=f(x)的最小值。記作ymin = f (x0 ) 一、/ 注息：函數(shù)最大(小)首先應(yīng)該是某一個(gè)函數(shù)值，即存在xe I,使得f(xo) = M； 函數(shù)最大(小)應(yīng)該是所有函數(shù)值中最大(小)的，即對(duì)于任意的 xC I,都有f(x)WM (f(x) M)O 二、確定函數(shù)值域的原則1、當(dāng)函數(shù)y = f (x)用表格給出時(shí)，函數(shù)的值域指表

5、格中實(shí)數(shù)y的集合;x0123y=f(x)1234則值域?yàn)?, 2, 3, 42、數(shù)y = f (x)的圖像給出時(shí)，函數(shù)的值域是指圖像在y軸上的投影所覆蓋的實(shí)數(shù) y的集合;3、數(shù)y =f(x)用解析式給出時(shí)，函數(shù)的值域由函數(shù)的定義域及其對(duì)應(yīng)法則唯一確定；4、由實(shí)際問(wèn)題給出時(shí)，函數(shù)的值域由問(wèn)題的實(shí)際意義決定。三、基本函數(shù)的值域 1、一次函數(shù)y=kx+b (a=0)的定義域?yàn)镽,值域?yàn)镽；2、二次函數(shù)y=ax2為x+c (a #0)的定義域?yàn)?R,；.2.2當(dāng)a 8寸，值域是4acb ,+faoSa0的值域?yàn)?y / y 0;5、對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(aA0且a #1)的值域?yàn)镽;6、函數(shù) y=s

6、inx、y=cosx 的值域是 Ll,l;7、函數(shù) y =tanx,x km , y =cot x (x #E,k WZ)的值域?yàn)?R 四、求函數(shù)值域的方法函數(shù)的值域是由其對(duì)應(yīng)法則和定義域共同決定的其類型依解析式的特點(diǎn)分可分三類：(1)求常見(jiàn)函數(shù)值域；(2)求由常見(jiàn)函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)的值域；(3)求由常見(jiàn)函數(shù)作某些“運(yùn)算”而得函數(shù)的值域求函數(shù)的值域是比較困難的數(shù)學(xué)問(wèn)題，中學(xué)數(shù)學(xué)要求能用初等方法求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的值域問(wèn)題。常用方法：(1)觀察法(用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，如：x220; x之0; Jx之0(x之0)等)例如：求下列函數(shù)的值域：y=-3x2+2;y|y 2變式：y=5+2 xx +1 (x -

7、1).y|y 5最值問(wèn)題，幾乎涉及到高中數(shù)學(xué)的各個(gè)分支，是歷年高考重點(diǎn)考查的知識(shí)點(diǎn)之一，有一些基礎(chǔ)題，也有一些小綜合的中檔題，更有一些以難題形式 出現(xiàn).它經(jīng)常與三角函數(shù)、二次函數(shù)、一元二次方程、不等式及某些幾何知識(shí)緊密聯(lián)系.所 以其解法靈活，綜合性強(qiáng)，能力要求高.解決這類問(wèn)題，要掌握各數(shù)學(xué)分支知識(shí)，能綜合運(yùn) 用各種數(shù)學(xué)技能，靈活選擇合理的解題方法.考生的運(yùn)算能力，分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力在 這里充分展現(xiàn).函數(shù) y=ax+1 (a w0, Kx0o運(yùn)用換元法時(shí)，要牛I別要注意新元t的范圍）；變式3：變式4：y = x 4, 9 - x2的值域?yàn)楹瘮?shù)y =x _、1 _x2的值域?yàn)?答:1,3/2+

8、4)；變式5:-2-，一，y = 2sin x -3cos x -1 的值域?yàn)樽兪?:y =sin x +cosx +sin xLCosx 的值域?yàn)?7(答：T);8_(答：1+V2)；2變式7:求函數(shù) y =log 1 2 x log 1 x2 +5(2 x 1 c2，c ., . 0v 亍 W2.一1vyW1.1 x2解法二:21 - x /日 2 1 - y 2、八 由 y=丁，得 x =上. x 01 x21 y. iy 0,解得1 vyw 1.1 y解法三:令 x=tan 0 ( 0 ),1 - tan2 u貝U y=- =cos2 91 tan 1.兀20兀, 1V cos2 0-

9、3 -x-求函數(shù)y =B_(x之0 )的值域2x 5 0,從而確定函數(shù)的最值，檢驗(yàn)這個(gè)最值在定義域內(nèi)有相應(yīng) 的x值.3 3 的最值.-3,24 4一 3x例5 求函數(shù)y =-x2 4東f2x2 - x 2變式：y = -2; 1,5x x 1(8)三角有界法：轉(zhuǎn)化為只含正弦、十了將 2sin 1 -13x求函數(shù)y =, y =1 sin 11 3x余弦的函數(shù)，運(yùn)用三角函數(shù)有界性來(lái)求值域;2sin 7 -1y=的值域(答： (1 cos1-00, 、(0,1)、(卜)；22(9)基本不等式法：轉(zhuǎn)化成型如:k -y = x十一(k a 0),利用基本不等式公式來(lái)求值域; x設(shè)x,ai,a2,y成等

10、差數(shù)列，x,bi,d, y成等比數(shù)列，則(a1 a2)的取值范圍是bb(-,0 U4,+與)求函數(shù)1 y =x +- (2 x 5) 的值域 x求函數(shù)y = . x2 -4 -1 一 ，J的最小值x2 4(10)單調(diào)性法：函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求值域如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a 大值f(b);如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a 小值f(b);b上單調(diào)遞增，在區(qū)間b上單調(diào)遞減，在區(qū)間b, c上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最b, c上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最十1N求 y =x -(1 x 9), xy =sin x1 sin2 x的值域?yàn)?依 8011、(答：*)、

11、09)；函數(shù) f (x)=2x -8, log3 x 12一的值域【Jx3，F(xiàn)21(0,2 111 x -x - 函數(shù)y=(一)4的值域【2(11)數(shù)形一結(jié)合；根據(jù)函數(shù)圖象或函數(shù)的幾何圖形，利用數(shù)型結(jié)合的方法來(lái)求值域已知點(diǎn)P（x, y）在圓x2+y2=1上，求及y 2x的取值范圍（答：立居、x 233-在狗）;求函數(shù) y = J(x+1)2 +(2)2 + J(x1)2 十(3)2 的值域.求函數(shù)y=2 -sin x的值域 2-cosx（12）導(dǎo)數(shù)法一求函數(shù) f（x）=2x3+4x240 x, xW3,3的最小值。（答：48）典例剖析題型一：函數(shù)值域問(wèn)題 例1、求下列函數(shù)的值域 y=3x+2(

12、-1 x2x x 1 -1: 1，x 1即函數(shù)的值域是 y| yWR且y?。ù朔ㄒ喾Q 分離常數(shù)法）1.當(dāng) x0, . . y = x =( . xx1 27)+2 之 2, .x-1 o，.一1 12當(dāng) x0 時(shí)，y = (x+)=-(V-x -=) -2 -)；(9)y=72x -122 - cosx解：（1）（配方法）* y=3x2-x+ 2=3d 61212223、y=3x x+2的值域?yàn)橐?，收）?2改題：求函數(shù)y =3x2 x+2 , xw1,3的值域。解：（利用函數(shù)的單調(diào)性）函數(shù) y=3x2x + 2在xw1,3上單調(diào)增，當(dāng)x =1時(shí)，原函數(shù)有最小值為 4;當(dāng)x = 3時(shí)，原函數(shù)有

13、最大值為 26。，函數(shù) y =3x2x+2, xw1,3的值域?yàn)?,26。（2）求復(fù)合函數(shù)的值域：設(shè)x x -x2 -6x -5 （ N之0）,則原函數(shù)可化為y = JX。又= N = x2 -6x 5 = （x+3）2 +4 W4 ,0M N M4 ,故嚴(yán) w 0,2,y = V-x2 -6x-5 的值域?yàn)?,2。（3）（法一）反解法：由y=3x上!得x=W1,由此得y 3 3,原函數(shù)丫=的值域?yàn)?x-2y-3，） x-2yWR|y=3。（法二）分離變量法：y = =3x二2上7 =3+工，x -2x -2 x-2 0，.- 3+工 #3,，函數(shù) y =竺口 的值域?yàn)閥 w R| y#3。x

14、-2x -2x-2（4）換元法（代數(shù)換元法）：設(shè)t=1x20,則x=1-12, 22.原函數(shù)可化為 y=1t +4t=（t2） +5（t 至0） , y E5 , .原函數(shù)值域?yàn)椋?,5。注：總結(jié)y = ax +b + Jcx +d型值域，變形： y = ax2 bcx2 d 或 y = ax2 b . cx d(5)三角換元法：. 1-x2 之 0n -1 MxW1, .設(shè) x = cosnp0,兀, TOC o 1-5 h z 則 y =cos工: sin : - 2 sin(二一)4-.：5 二二 、，2 叩 冗,，口 +- = ,. sin( +一廣，1, 44 442x/2sin(a

15、+工)w -1,&，原函數(shù)的值域?yàn)?1,72。 4-2x -3(x 三-4)(6)數(shù)形結(jié)合法：y葉x-1| +| x+4尸%(-4 0恒成立，函數(shù)的定義域?yàn)镽。2(y-2)x +(y+1)x + y 2 = 0y2=0 即 y =2 時(shí)，即 3x+0=0,，x = 0wRy -2 00 即 y # 2 時(shí)，: x w R時(shí)方程(y -2)x2 + (y +1)x + y 2 = 0 恒有實(shí)根,=(y+1)2 4M(y 2)2 之0 , 1 Ey W5且 y #2 , 原函數(shù)的值域?yàn)?,5。2x2 -x 1 x(2x -1)12x -12x -111121=x +=x +2十一，2x-12 V

16、1 2x2當(dāng)且僅當(dāng)x -1 021-2r=亞, (x-2)1x 1二一2 x12-時(shí)，即x =11.2 “時(shí)等號(hào)成立。2 y至J2+2 , .原函數(shù)的值域?yàn)?+2,收）。（9）（法一）方程法：原函數(shù)可化為：sin x-ycosx =1-2y ,。1 +y2 sin(x 中)=12y (其中 cos- = 、 1 ,sin 中=,y ),1 y21 y2.sin(x邛)=4w1,1， T12y|w77, 3y24y W0,0 4ywg,1 y23一一，一. 4，原函數(shù)的值域?yàn)?,。3點(diǎn)評(píng)：上面討論了用初等方法求函數(shù)值域的一些常見(jiàn)類型與方法，在現(xiàn)行的中學(xué)數(shù)學(xué)要求中, 求值域要求不高，要求較高的是求

17、函數(shù)的最大與最小值，在后面的復(fù)習(xí)中要作詳盡的討論。a bx 一 一變式：求下列函數(shù)的值域：y =abx（a0,b0,ab,xs -1,1） （2種方法）；a -bx x-x3x _ x 3丫二,xc （-,0） （2 種萬(wàn)法）；丫=,x= （-,0） （2 種萬(wàn)法）；x -1例3求函數(shù)y = x2 -5x +6的值域x2 x -6方法一：(判別式法)去分母得(y -1) x2+(y+5)x -6y-6=0當(dāng) y /1 時(shí) -. xeR . .=(y+5) 2+4(y _1) x 6(y+1)至0 由此得(5y+1) 2 之 0-5x = 一25二26(一5)(代入求根)，函數(shù)的值域是x -1

18、O 12-1 Ox 12-1 O 12 x TOC o 1-5 h z 再檢驗(yàn)y=1代入求得x=2，y#1綜上所述，函數(shù) y=J5x6的值域?yàn)?y| y#1且y#-1x2 x -65方法二：(分離常數(shù)法)把已知函數(shù)化為函數(shù)y = (x 2)(x 3) =3 =1 6 (x 02)由(x -2)(x 3) x 3 x -3此可得y ；1一一 11x2 -5x 6 1- x=2 時(shí) y =- 即 y # 函數(shù) y= 的值域?yàn)?y| y1 且 y -55x x-65例4(分段函數(shù)法及圖像法)求函數(shù)y=|x+1|+|x-2| 的值域解法1:將函數(shù)化為分段函數(shù)形式：-2x 1(x ： -1)y 3(-1

19、x3解法2：(幾何法或圖象法),函數(shù)y=|x+1|+|x-2|表示數(shù)軸上 的動(dòng)點(diǎn)x到兩定點(diǎn)-1 , 2的距離之和，易見(jiàn) y的最小值是3,例5求函數(shù)y =2x +4 J1 x的值域解：(換元法)設(shè)t=vHx 則t20 x=1 -t2代入得 y=f (t) =2 (1t2)+4t =2t2 +4t+2 = 2(t-1)2+4 /t 0.-.y0X-1解：（1）由4x_1 0 ,解得p -X 0當(dāng)p M1時(shí)，不等式解集為0;當(dāng)p A1時(shí)，不等式解集為x1 x1) TOC o 1-5 h z /A 2-(2)原函數(shù)即 f (x) =log2(X+1)(px) =log2(Xp)2 +,24當(dāng)p1 1,

20、即1 p M3時(shí)，函數(shù)f(x)既無(wú)最大值又無(wú)最小值；p -1當(dāng)1上3一3時(shí)，函數(shù)f(x)有最大值2log2(p+1)2 ,但無(wú)最小值題型二：最值問(wèn)題例1.(2002全國(guó)理，21)設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù) f(x) =x2 + x a+1 , R .(1)討論f (x)的奇偶性；(2)求f(x)的最小值.解：(1)當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f(x) =(x)2十x+1= f(x),此時(shí)f(x)為偶函數(shù)；當(dāng) a#0 時(shí)，f(a)=a2+1, f(a)= a2+2 a+1,f(a)#f(a),f(a)# f(a).此時(shí)函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)； TOC o 1-5 h z 93(2)當(dāng) x a 時(shí)，函數(shù)

21、 f(x)=x x + a+1 = (x) +a+.41 . .若a&a，則函數(shù)f(x)在(q,a】上單調(diào)遞減，從而，函數(shù) f (x)在(-8,a】上的最小值為 HYPERLINK l bookmark60 o Current Document 113f (a) =a+1 ；右a A3 ,則函數(shù)f (x)在(-0, a】上的最小值為f (3) =- +a ,且 1.f(產(chǎn) f (a);93當(dāng) xa時(shí)，函數(shù) f(x)=x +x-a+1=(x + ) a + ； HYPERLINK l bookmark94 o Current Document 4_1_1. .1.3-1 一右a w -,則函數(shù)f

22、 (x)在b, +o0 )上的最小值為f (-2) =- -a,且f (-) 3,則函數(shù)f (x)在Q,+oo)上單調(diào)遞增，從而，函數(shù) f (x)在b,+oo)上的最小值為f (a) =a2 +1 . TOC o 1-5 h z 3綜上，當(dāng)a 0 時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值是a,41當(dāng)一時(shí)，函數(shù)f(x)的取小值是一+a.4點(diǎn)評(píng)：函數(shù)奇偶性的討論問(wèn)題是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本問(wèn)題，如果平時(shí)注意知識(shí)的積累，對(duì)解此題 會(huì)有較大幫助.因?yàn)閤C R, f (0) =|a|+1 WQ由此排除f (x)是奇函數(shù)的可能性.運(yùn)用偶函數(shù)的定義分析可知，當(dāng)a=0時(shí)，f (x)是偶函數(shù)，第2題主要考查學(xué)生的分類討論思想、對(duì)稱思想

23、。變式 1:設(shè)函數(shù) f (x) = x2 + x 2 1 , x w R .判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；(2)求函數(shù)f(x)的最小值.解：(1) f(2)=3, f (2) =7,由于 f (2) f (2) , f (-2)#-f (2).故f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).(2)f(x) =，3x -x 1x 2x : 2由于f(x)在20 )上的最小值為f(2) =3,在(8,2)內(nèi)的最小值為3故函數(shù)f (x)在(q, 6 )內(nèi)的取小值為一.4例 2:已知函數(shù) f(x)= x +2x+a ,x 1,+ 8), x(1)當(dāng)a= 1時(shí)，求函數(shù)f (x)的最小值2a的取值范圍(2)若對(duì)任意xC

24、 1,+ 8),f(x)0恒成立，試求實(shí)數(shù)思路分析解法一運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想把f(x)0轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次不等式；解法二運(yùn)用分類討論思 想解得(1)解 當(dāng) a=1 時(shí)，f(x)=x+ +2 22x. f(x)在區(qū)間1, +8)上為增函數(shù)，f(x)在區(qū)間1, +oo)上的最小值為f(1)=-2(2)解法一在區(qū)間1, +) ,x2 2x a2 ,f(x)= 0 恒成乂 u x +2x+a0 恒成乂x設(shè) y=x2+2x+a,xC 1,+ 岡，y=x2+2x+a=(x+1)2+a 1 遞增，當(dāng)x=1時(shí)，ymin=3+a,當(dāng)且僅當(dāng)ymin=3+a0時(shí)，函數(shù)f(x)0恒成立,故a 3解法二 f(x)=x+a+2,

25、xC 1,+ 9 x當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)的值恒為正；當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)0恒成立，故a 3點(diǎn)評(píng)本題主要考查函數(shù)的最小值以及單調(diào)性問(wèn)題，著重于學(xué)生的綜合分析能力以及運(yùn)算能力解題的關(guān)健是把求 a的取值范圍的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.通過(guò)求f(x)的最值問(wèn)題來(lái)求a的取值范圍，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想與分類討論的思想例3. (2008江蘇理，20)已知函數(shù)f1(x) =31 ,f2(x) =2 才也(xw R, pi, P2為常數(shù)).函數(shù)f(x)定義為：對(duì)每個(gè)給定的實(shí)數(shù)x, f(x)#1(x)，x)x)I f2(x),右 fl(x) f2(x)(1)求f(x) = fi(x)對(duì)所有實(shí)數(shù)x成立的充分必要條件

26、(用 Pi,P2表示)；(2)設(shè)a,b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，滿足 ab,且pi,6三(a,b).若f(a) = f(b),求證：函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的單調(diào)增區(qū)間的長(zhǎng)度之和為b二a (閉區(qū)間m,n的長(zhǎng)度定義為n-m)2解：(1)由f(x)的定義可知，f(x)= fi(x)(對(duì)所有實(shí)數(shù)x)等價(jià)于fl (x注f2 (x )(對(duì)所有實(shí)數(shù)x)這又等價(jià)于3f 21 ,即31 口也1玄也2 = 2對(duì)所有實(shí)數(shù)x均成立.(*)由于 x - R - x - p2 |(x - p1) -(x- p2) =| p1 - p2 (x W R)的最大值為 p1 - p2 ，故(*)等價(jià)于3/ E 2 ,即r - p2 log

27、3 2 ,這就是所求的充分必要條件(2)分兩種情形討論(i)當(dāng) p1 - p2 Wlog32時(shí)，由(1)知?jiǎng)t由 f (a )= f (b )及 a p 1log32時(shí)，不妨設(shè) pi log3 2 ,于是當(dāng) x W pi 時(shí)，有 fi(x) =3pi- 3p2- f2(x),從而 f (x) = fi(x)；當(dāng) x 2p2時(shí)，有力(刈=32 =3p2Ji皿2 =3p23g2 a310g32b2 = f2(x)從而 f (x) = f2(x)；當(dāng) pixmp2 時(shí)，fi(x)=3x,及 f2(x)=23p2：由方程 33=23p2解得fi(x)與f2(x)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為v R 12i% =-2

28、+2iog32i顯然 pi x = p2 -( p2 - pi) -log 3 2 p2 ,2這表明x0在pi與p2之間。由易知fi (x) , pi x xo f (x)=f2(x) ,x x p2fi(x) , a - x - x0綜上可知，在區(qū)間a,b上，f(x)= i( ) ,0(參見(jiàn)示意圖2)f2(x) ,xo ：xb故由函數(shù)fi(x)及f2(x)的單調(diào)性可知，f (x)在區(qū)間a,b上的單調(diào)增區(qū)間的長(zhǎng)度之和為 (xo - pi) +(b p2),由于 f(a)= f(b),即 3 =2 3b2 ,得p1 + p2 =a + b +log3 2ib -a故由、仔(x0 - pi) (b

29、 - p2) = b pip2 - log 3 2=22綜合(i) (ii )可知，f(x)在區(qū)間a,b上的單調(diào)增區(qū)間的長(zhǎng)度和為bW2點(diǎn)評(píng)：函數(shù)奇偶性的討論問(wèn)題是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本問(wèn)題，如果平時(shí)注意知識(shí)的積累，對(duì)解此題 會(huì)有較大幫助.因?yàn)閤貝，f (0) =|a|+i刈，由此排除f (x)是奇函數(shù)的可能性.運(yùn)用偶函數(shù)的定義分析可知，當(dāng) a=0時(shí)，f (x)是偶函數(shù)，第2題主要考查學(xué)生的分類討論思想、對(duì)稱思想。題型三：函數(shù)的綜合題例1.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?,1,且同時(shí)滿足：對(duì)任意xw 們，總有f(x)之2；f (1)=3(3)若 x1 豈 0,x2 之0 且 x1 +x2 1 ,則有 f (

30、為 +x2)之 f (x1) + f (x2) -2 .(I)求f (0)的值；(II)求f(x)的最大值；(III)設(shè)數(shù)列小的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足Sn = 2 (an 3),nw N*. TOC o 1-5 h z 求證：f(a) a?) f(a3)由 小)三3 2n-y. 22-3解：(I)令 xi =x2 =0,由(3)，則 f(0)之2 f (0)2; f(0) E2由對(duì)任意xwl0,l,總有f(x)之2,二f(0)=2(2分)(II)任意 x1, x2 w b,1 且 x1 x2,則 0 x2 - x1 2f (x2) = f (x2 -x1 xI) _ f (x2 -x1) -

31、f (x1) - 2 _ f(x1), fmax(x)=f(1) = 3(6 分), Sn = 1(an 3)(nu N ).(an3)(n 之2)二 an =1an(n 至2),；4=1 #0，an =總(8分)3f(an) = f(市)=f(3n 3n)一 f(32n)f(31n)-2_3f(3T).4二 f(擊)1f(3k)+4,即 f(an+)1f(an)+1。f(a ) :： 1 f(a )+4 f(a ) f(a) -4- - - - = 2 (an) 一 3(an二)3 一 32(an ,2)3233n 1(al)3n13n 23234故 f(an) 2 市31Y1)n(14 分

32、)二 f (a1)+f (a2)+lli + f(an) a -1),用y單位質(zhì)量的水第二次清洗后的清潔度是 x 1c (0,8 c 0.99)是該物體初次清洗后的清潔度。(I )分別求出方案甲以及 c = 0.95時(shí)方案乙的用水量，并比較哪一種方案用水量較少；(n)若采用方案乙，當(dāng)a為某固定值時(shí)，如何安排初次與第二次清洗的用水量，使總用水量最??？并討論a取不同數(shù)值時(shí)對(duì)最少總用水量多少的影響。解：(I)設(shè)方案甲與方案乙的用水量分別為x與z。x 08一由題設(shè)有=0,99 ,解得x=19。x 1由c =0.95得方案乙初次用水量為 3,第二次用水量y滿足方程：y +0.95a =0.99，解得y=4a,故z=4a+3,即兩種方案的用水量分 y a另I為19與4a +3。因?yàn)楫?dāng)1 a 0,即x z ,故方案乙的用水量較少。(II)設(shè)初次與第二次清洗的用水量分別為x與y ,類似(I)得5c-4x=, y=a(99 100c) (*)5(1-c)5c -41于是 x y=