2.1隨機(jī)變量及其分布課件

1、第二章 隨機(jī)變量的分布與數(shù)字特征第1頁(yè)，共49頁(yè)。2.1 隨機(jī)變量及其分布一、隨機(jī)變量的概念擲一顆骰子,任選一個(gè)人,記錄某交叉路口在一批燈泡中任取一個(gè),發(fā)射炮彈,觀察其點(diǎn)數(shù).測(cè)量其身高.在任意一個(gè)小時(shí)內(nèi)通過(guò)的車輛數(shù).測(cè)試其使用壽命.記錄彈著點(diǎn)與目標(biāo)的距離.第2頁(yè)，共49頁(yè)。有些隨機(jī)試驗(yàn)，例如,=正面, 反面于是事件 “硬幣出現(xiàn)反面”就表示為雖然其結(jié)果但通過(guò)適當(dāng)?shù)囊?guī)定，令=“反面”=“正面”就表示為沒有直接表現(xiàn)為數(shù)量,拋擲一枚硬幣一次,“硬幣出現(xiàn)正面”也可以用數(shù)量表示.第3頁(yè)，共49頁(yè)。拋擲一枚硬幣,反正,事件 “反反反正”直到首次出現(xiàn)正面為止.正, 反反正,反反反正,反反反反正,令X為則 的取

2、值范圍為就表示為樣本空間為拋擲的次數(shù),第4頁(yè)，共49頁(yè)。定義2.1 某一隨機(jī)試驗(yàn)的如果對(duì)每一個(gè)樣本點(diǎn)樣本空間,這樣就定義了一個(gè)定義域?yàn)榈姆Q之為隨機(jī)變量.有一個(gè)實(shí)數(shù) 與之對(duì)應(yīng),例如,令=“反面”=“正面”=正面,反面，為隨機(jī)變量.實(shí)值函數(shù)拋擲一枚硬幣,設(shè)為第5頁(yè)，共49頁(yè)。例如為隨機(jī)變量.擲一顆骰子,令“擲出1點(diǎn)”“擲出2點(diǎn)”“擲出6點(diǎn)”第6頁(yè)，共49頁(yè)。隨機(jī)變量通常用大寫英文字母小寫英文字母又如,在一天中任選一個(gè)時(shí)刻,記錄下當(dāng)時(shí)的氣溫.任一時(shí)刻的氣溫為隨機(jī)變量.有時(shí)也用小寫希臘字母等表示,表示隨機(jī)變量所取的值.隨機(jī)變量也記為某氣象站用X表示,等表示.第7頁(yè)，共49頁(yè)。隨機(jī)變量的分類:隨機(jī)變量離

3、散型隨機(jī)變量非離散型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量非離散非連續(xù)型隨機(jī)變量第8頁(yè)，共49頁(yè)。例 可以統(tǒng)一表示為有3個(gè)次品,從中任取2個(gè),其中的次品數(shù)為是隨機(jī)變量.的取值范圍是10個(gè)產(chǎn)品中第9頁(yè)，共49頁(yè)。二、離散型隨機(jī)變量的概率分布定義2.2 離散型隨機(jī)變量的特點(diǎn)是如 “取到次品的個(gè)數(shù)”“擲骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)” “某電話交換臺(tái)只可能取有限個(gè)如果隨機(jī)變量或可數(shù)無(wú)窮多個(gè)值,離散型隨機(jī)變量.則稱 是它的所有取值可以逐個(gè)一一列舉出來(lái).任一小時(shí)內(nèi)收到的呼叫次數(shù)”第10頁(yè)，共49頁(yè)。定義2.3 稱(2.1)式它的一切可能設(shè)X取值為且 取各個(gè)值的概率為的概率分布,的分布.有時(shí)也寫成X的概率分布為簡(jiǎn)稱記也可以用列表法表示：

4、是離散型隨機(jī)變量,第11頁(yè)，共49頁(yè)。證 (1) 概率分布的性質(zhì)：1. 非負(fù)性2. 歸一性第12頁(yè)，共49頁(yè)。例 已知求c.解 隨機(jī)變量X的取值范圍為且第13頁(yè)，共49頁(yè)。求p.解 其中例 已知隨機(jī)變量X的取值范圍為所有正偶數(shù)，且第14頁(yè)，共49頁(yè)。若離散型的概率分布為則對(duì)于集合的任一子集事件 “ 在 中取值”,即“ ”的概率為第15頁(yè)，共49頁(yè)。例 相互獨(dú)立.規(guī)則是：投中后命中率為就停止投籃，“此人投籃設(shè) 表示 求 的概率分布. 設(shè) 表示“第 次投中籃框” ，解的次數(shù)”，或投了4次后某人投籃，第16頁(yè)，共49頁(yè)。例 相互獨(dú)立.規(guī)則是：投中后命中率為就停止投籃，“此人投籃設(shè) 表示 求 的概率分

5、布. 設(shè) 表示“第 次投中籃框” ，解的次數(shù)”，或投了4次后某人投籃，第17頁(yè)，共49頁(yè)。例 相互獨(dú)立.規(guī)則是：投中后命中率為就停止投籃，“此人投籃設(shè) 表示 求 的概率分布. 設(shè) 表示“第 次投中籃框” ，解的次數(shù)”，或投了4次后某人投籃，或第18頁(yè)，共49頁(yè)。為偶數(shù)第19頁(yè)，共49頁(yè)。令X表示只有兩種對(duì)立結(jié)果：“A發(fā)生”對(duì)于貝努利試驗(yàn)，與“A不發(fā)生”一次貝努利試驗(yàn)中，A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)事件A發(fā)生的概率為則事件 發(fā)生的概率為則即A不發(fā)生A發(fā)生稱X服從01分布.第20頁(yè)，共49頁(yè)。例 從中隨機(jī)抽取一個(gè)抽到正品抽到次品用X表示即抽到的次品的個(gè)數(shù)，一批產(chǎn)品，抽取一次，次品率為第21頁(yè)，共49頁(yè)。例 一

6、般地,即具有離散均勻分布.編號(hào)為隨機(jī)取一個(gè)設(shè)對(duì)應(yīng)的號(hào)碼為則 的概率分布為若 的概率分布是則稱將26個(gè)英文字母字母,第22頁(yè)，共49頁(yè)。如擲一顆骰子五支簽中有一支“好簽”,出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)具有離散均勻分布.五個(gè)人依次抽取,不放回,表示第 個(gè)人抽到 “好簽”設(shè)服從離散均勻分布.第23頁(yè)，共49頁(yè)。三、分布函數(shù)第24頁(yè)，共49頁(yè)。定義2.4 設(shè) 是稱為隨機(jī)變量的分布函數(shù).任意一個(gè)隨機(jī)變量,記為第25頁(yè)，共49頁(yè)。定義2.4 設(shè) 是稱為隨機(jī)變量的分布函數(shù).任意一個(gè)隨機(jī)變量,如,電臺(tái)每到整點(diǎn)報(bào)時(shí),某人午覺醒來(lái),X為他打開收音機(jī),他等待報(bào)時(shí)的時(shí)間. ) )記為第26頁(yè)，共49頁(yè)。解 設(shè) 服從0-1分布例 求 的

7、分布函數(shù).第27頁(yè)，共49頁(yè)。例 求 的分布函數(shù).解已知隨機(jī)變量X的概率分布為第28頁(yè)，共49頁(yè)。證（1）隨機(jī)變量的分布函數(shù)具有如下性質(zhì):是 的 即時(shí),（2）即單調(diào)不減函數(shù).時(shí),第29頁(yè)，共49頁(yè)。隨機(jī)變量的分布函數(shù)具有如下性質(zhì):是 的 即時(shí),單調(diào)不減函數(shù).至多有可數(shù)多個(gè)間斷點(diǎn),且在其間斷點(diǎn)處,即對(duì)任何實(shí)數(shù)有是右連續(xù)的,第30頁(yè)，共49頁(yè)。設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)已知,則若隨機(jī)變量的分布函數(shù)在點(diǎn) 連續(xù)，則第31頁(yè)，共49頁(yè)。四、離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)第32頁(yè)，共49頁(yè)。例 出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為 求 的分布函數(shù).解1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 擲一顆骰子,第33頁(yè)，共49頁(yè)。 1 2 3

8、 4 5 6是一個(gè)階梯形函數(shù),它在X的可能取值點(diǎn)1, 2, 3, 4, 5, 6處發(fā)生跳躍,跳躍的高度等于X取相應(yīng)值的概率.第34頁(yè)，共49頁(yè)。任一離散型隨機(jī)變量都具有這個(gè)特征.反之,若一隨機(jī)變量X的分布函數(shù)是階梯型函數(shù),則X一定是離散型隨機(jī)變量.的全部跳躍點(diǎn)而且就是X的全部取值點(diǎn).在跳躍點(diǎn)處跳躍的高度等于X在相應(yīng)取值點(diǎn)處的概率.的分布函數(shù),第35頁(yè)，共49頁(yè)。例已知隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為解 求X的分布.第36頁(yè)，共49頁(yè)。五、連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度第37頁(yè)，共49頁(yè)。定義2.5 對(duì)于隨機(jī)變量如果存在一個(gè)非負(fù)使得對(duì)任意實(shí)數(shù)有則稱 是稱 為 的概率密度簡(jiǎn)稱密度函數(shù).記為 的概率密度函數(shù)具有以

9、下性質(zhì):可積函數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變量,函數(shù),第38頁(yè)，共49頁(yè)。此時(shí)，即為X的密度函數(shù)，記為第39頁(yè)，共49頁(yè)。例在區(qū)間等可能地投入點(diǎn)，落點(diǎn)的坐標(biāo)X是隨機(jī)變量，設(shè)則X落在區(qū)間的概率為稱隨機(jī)變量X服從區(qū)間上的均勻分布.第40頁(yè)，共49頁(yè)。例在區(qū)間等可能地投入點(diǎn)，落點(diǎn)的坐標(biāo)X令其它則X為連續(xù)型隨機(jī)變量,為X的密度函數(shù).第41頁(yè)，共49頁(yè)。對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè) 是任一實(shí)數(shù), 第42頁(yè)，共49頁(yè)。由于或或或 連續(xù)型隨機(jī)變量取值落入某一區(qū)間的概率與區(qū)間的開或閉無(wú)關(guān).或第43頁(yè)，共49頁(yè)。例如,拋擲一枚硬幣一次,出正面記為1,出反面出正面的次數(shù),即用 表示對(duì)離散型隨機(jī)變量,此結(jié)論不成立.記為0第44頁(yè)，共49頁(yè)。牛頓萊布尼茲公式由 是 的原函數(shù)當(dāng) 連續(xù)時(shí)第45頁(yè)，共49頁(yè)。由于連續(xù)型隨機(jī)變量故對(duì)任一實(shí)數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變量在任