2.1隨機變量及其分布課件

1、第二章 隨機變量的分布與數(shù)字特征第1頁，共49頁。2.1 隨機變量及其分布一、隨機變量的概念擲一顆骰子,任選一個人,記錄某交叉路口在一批燈泡中任取一個,發(fā)射炮彈,觀察其點數(shù).測量其身高.在任意一個小時內(nèi)通過的車輛數(shù).測試其使用壽命.記錄彈著點與目標的距離.第2頁，共49頁。有些隨機試驗，例如,=正面, 反面于是事件 “硬幣出現(xiàn)反面”就表示為雖然其結(jié)果但通過適當?shù)囊?guī)定，令=“反面”=“正面”就表示為沒有直接表現(xiàn)為數(shù)量,拋擲一枚硬幣一次,“硬幣出現(xiàn)正面”也可以用數(shù)量表示.第3頁，共49頁。拋擲一枚硬幣,反正,事件 “反反反正”直到首次出現(xiàn)正面為止.正, 反反正,反反反正,反反反反正,令X為則 的取

2、值范圍為就表示為樣本空間為拋擲的次數(shù),第4頁，共49頁。定義2.1 某一隨機試驗的如果對每一個樣本點樣本空間,這樣就定義了一個定義域為的稱之為隨機變量.有一個實數(shù) 與之對應(yīng),例如,令=“反面”=“正面”=正面,反面，為隨機變量.實值函數(shù)拋擲一枚硬幣,設(shè)為第5頁，共49頁。例如為隨機變量.擲一顆骰子,令“擲出1點”“擲出2點”“擲出6點”第6頁，共49頁。隨機變量通常用大寫英文字母小寫英文字母又如,在一天中任選一個時刻,記錄下當時的氣溫.任一時刻的氣溫為隨機變量.有時也用小寫希臘字母等表示,表示隨機變量所取的值.隨機變量也記為某氣象站用X表示,等表示.第7頁，共49頁。隨機變量的分類:隨機變量離

3、散型隨機變量非離散型隨機變量連續(xù)型隨機變量非離散非連續(xù)型隨機變量第8頁，共49頁。例 可以統(tǒng)一表示為有3個次品,從中任取2個,其中的次品數(shù)為是隨機變量.的取值范圍是10個產(chǎn)品中第9頁，共49頁。二、離散型隨機變量的概率分布定義2.2 離散型隨機變量的特點是如 “取到次品的個數(shù)”“擲骰子出現(xiàn)的點數(shù)” “某電話交換臺只可能取有限個如果隨機變量或可數(shù)無窮多個值,離散型隨機變量.則稱 是它的所有取值可以逐個一一列舉出來.任一小時內(nèi)收到的呼叫次數(shù)”第10頁，共49頁。定義2.3 稱(2.1)式它的一切可能設(shè)X取值為且 取各個值的概率為的概率分布,的分布.有時也寫成X的概率分布為簡稱記也可以用列表法表示：

4、是離散型隨機變量,第11頁，共49頁。證 (1) 概率分布的性質(zhì)：1. 非負性2. 歸一性第12頁，共49頁。例 已知求c.解 隨機變量X的取值范圍為且第13頁，共49頁。求p.解 其中例 已知隨機變量X的取值范圍為所有正偶數(shù)，且第14頁，共49頁。若離散型的概率分布為則對于集合的任一子集事件 “ 在 中取值”,即“ ”的概率為第15頁，共49頁。例 相互獨立.規(guī)則是：投中后命中率為就停止投籃，“此人投籃設(shè) 表示 求 的概率分布. 設(shè) 表示“第 次投中籃框” ，解的次數(shù)”，或投了4次后某人投籃，第16頁，共49頁。例 相互獨立.規(guī)則是：投中后命中率為就停止投籃，“此人投籃設(shè) 表示 求 的概率分

5、布. 設(shè) 表示“第 次投中籃框” ，解的次數(shù)”，或投了4次后某人投籃，第17頁，共49頁。例 相互獨立.規(guī)則是：投中后命中率為就停止投籃，“此人投籃設(shè) 表示 求 的概率分布. 設(shè) 表示“第 次投中籃框” ，解的次數(shù)”，或投了4次后某人投籃，或第18頁，共49頁。為偶數(shù)第19頁，共49頁。令X表示只有兩種對立結(jié)果：“A發(fā)生”對于貝努利試驗，與“A不發(fā)生”一次貝努利試驗中，A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)事件A發(fā)生的概率為則事件 發(fā)生的概率為則即A不發(fā)生A發(fā)生稱X服從01分布.第20頁，共49頁。例 從中隨機抽取一個抽到正品抽到次品用X表示即抽到的次品的個數(shù)，一批產(chǎn)品，抽取一次，次品率為第21頁，共49頁。例 一

6、般地,即具有離散均勻分布.編號為隨機取一個設(shè)對應(yīng)的號碼為則 的概率分布為若 的概率分布是則稱將26個英文字母字母,第22頁，共49頁。如擲一顆骰子五支簽中有一支“好簽”,出現(xiàn)的點數(shù)具有離散均勻分布.五個人依次抽取,不放回,表示第 個人抽到 “好簽”設(shè)服從離散均勻分布.第23頁，共49頁。三、分布函數(shù)第24頁，共49頁。定義2.4 設(shè) 是稱為隨機變量的分布函數(shù).任意一個隨機變量,記為第25頁，共49頁。定義2.4 設(shè) 是稱為隨機變量的分布函數(shù).任意一個隨機變量,如,電臺每到整點報時,某人午覺醒來,X為他打開收音機,他等待報時的時間. ) )記為第26頁，共49頁。解 設(shè) 服從0-1分布例 求 的

7、分布函數(shù).第27頁，共49頁。例 求 的分布函數(shù).解已知隨機變量X的概率分布為第28頁，共49頁。證（1）隨機變量的分布函數(shù)具有如下性質(zhì):是 的 即時,（2）即單調(diào)不減函數(shù).時,第29頁，共49頁。隨機變量的分布函數(shù)具有如下性質(zhì):是 的 即時,單調(diào)不減函數(shù).至多有可數(shù)多個間斷點,且在其間斷點處,即對任何實數(shù)有是右連續(xù)的,第30頁，共49頁。設(shè)隨機變量的分布函數(shù)已知,則若隨機變量的分布函數(shù)在點 連續(xù)，則第31頁，共49頁。四、離散型隨機變量的分布函數(shù)第32頁，共49頁。例 出現(xiàn)的點數(shù)為 求 的分布函數(shù).解1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 擲一顆骰子,第33頁，共49頁。 1 2 3

8、 4 5 6是一個階梯形函數(shù),它在X的可能取值點1, 2, 3, 4, 5, 6處發(fā)生跳躍,跳躍的高度等于X取相應(yīng)值的概率.第34頁，共49頁。任一離散型隨機變量都具有這個特征.反之,若一隨機變量X的分布函數(shù)是階梯型函數(shù),則X一定是離散型隨機變量.的全部跳躍點而且就是X的全部取值點.在跳躍點處跳躍的高度等于X在相應(yīng)取值點處的概率.的分布函數(shù),第35頁，共49頁。例已知隨機變量X的分布函數(shù)為解 求X的分布.第36頁，共49頁。五、連續(xù)型隨機變量及其概率密度第37頁，共49頁。定義2.5 對于隨機變量如果存在一個非負使得對任意實數(shù)有則稱 是稱 為 的概率密度簡稱密度函數(shù).記為 的概率密度函數(shù)具有以

9、下性質(zhì):可積函數(shù)連續(xù)型隨機變量,函數(shù),第38頁，共49頁。此時，即為X的密度函數(shù)，記為第39頁，共49頁。例在區(qū)間等可能地投入點，落點的坐標X是隨機變量，設(shè)則X落在區(qū)間的概率為稱隨機變量X服從區(qū)間上的均勻分布.第40頁，共49頁。例在區(qū)間等可能地投入點，落點的坐標X令其它則X為連續(xù)型隨機變量,為X的密度函數(shù).第41頁，共49頁。對連續(xù)型隨機變量設(shè) 是任一實數(shù), 第42頁，共49頁。由于或或或 連續(xù)型隨機變量取值落入某一區(qū)間的概率與區(qū)間的開或閉無關(guān).或第43頁，共49頁。例如,拋擲一枚硬幣一次,出正面記為1,出反面出正面的次數(shù),即用 表示對離散型隨機變量,此結(jié)論不成立.記為0第44頁，共49頁。牛頓萊布尼茲公式由 是 的原函數(shù)當 連續(xù)時第45頁，共49頁。由于連續(xù)型隨機變量故對任一實數(shù)連續(xù)型隨機變量在任