人教版數(shù)學九下08《相似 全章復習與鞏固》知識講解+鞏固練習(基礎版)（含答案）

1、PAGE 相似全章復習與鞏固-知識講解（基礎） 【學習目標】1、了解比例的基本性質(zhì)，線段的比、成比例線段；2、通過具體實例認識圖形的相似，探索相似圖形的性質(zhì)，理解相似多邊形對應角相等、對應邊成比例、周長的比等于相似比、面積的比等于相似比的平方，探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用這些性質(zhì)和判定方法解決生活中的一些實際問題；3、了解圖形的位似，能夠利用位似將一個圖形放大或縮小，在同一直角坐標系中，感受位似變換后點的坐標的變化；4、結合相似圖形性質(zhì)和判定方法的探索和證明，進一步培養(yǎng)推理能力，發(fā)展邏輯思維能力和推理論證的表達能力，以及綜合運用知識的能力，運用學過的知識解決問題的能力.【知識網(wǎng)絡】

2、【要點梳理】要點一、相似圖形及比例線段1相似圖形：在數(shù)學上，我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形(similar figures).要點詮釋： (1) 相似圖形就是指形狀相同，但大小不一定相同的圖形； (2) “全等”是“相似”的一種特殊情況，即當“形狀相同”且“大小相同”時，兩 個圖形全等；2.相似多邊形如果兩個多邊形的對應角相等，對應邊的比相等，我們就說它們是相似多邊形要點詮釋：（1）相似多邊形的定義既是判定方法，又是它的性質(zhì)（2）相似多邊形對應邊的比稱為相似比.3. 比例線段：對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比與另兩條線段的比相等，如a:b=c:d，我們就說這四條線段是成比例線

3、段，簡稱比例線段要點詮釋：（1）若a:b=c:d ，則ad=bc；（d也叫第四比例項）（2）若a:b=b:c ，則 =ac（b稱為a、c的比例中項）要點二、相似三角形相似三角形的判定:判定方法（一）：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形和原三角形相似.判定方法（二）：如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似.判定方法（三）：如果兩個三角形的兩組對應邊的比相等，并且相應的夾角相等，那么這兩個三角形相似.要點詮釋：此方法要求用三角形的兩邊及其夾角來判定兩個三角形相似，應用時必須注意這個角必須是兩邊的夾角，否則，判斷的結果可能是錯誤的.判定方法（四）：如果一個三角形的

4、兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似.要點詮釋：要判定兩個三角形是否相似，只需找到這兩個三角形的兩個對應角相等即可，對于直角三角形而言，若有一個銳角對應相等，那么這兩個三角形相似.相似三角形的性質(zhì)：（1）相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等；（2）相似三角形中的重要線段的比等于相似比； 相似三角形對應高，對應中線，對應角平分線的比都等于相似比.要點詮釋：要特別注意“對應”兩個字，在應用時，要注意找準對應線段.(3) 相似三角形周長的比等于相似比；（4）相似三角形面積的比等于相似比的平方。3.相似多邊形的性質(zhì)： （1）相似多邊形的對應角相等，對應邊的比相等（2）相似多邊形

5、的周長比等于相似比（3）相似多邊形的面積比等于相似比的平方要點三、位似1.位似圖形定義: 如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應點所在的直線都經(jīng)過同一點，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心2.位似圖形的性質(zhì):（1）位似圖形的對應點和位似中心在同一條直線上；（2) 位似圖形的對應點到位似中心的距離之比等于相似比； （3）位似圖形中不經(jīng)過位似中心的對應線段平行.要點詮釋：(1）位似圖形與相似圖形的區(qū)別：位似圖形是一種特殊的相似圖形，而相似圖形未必能構成位似圖形.（2）位似變換中對應點的坐標變化規(guī)律:在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點

6、的坐標的比等于k或-k.【典型例題】類型一、相似圖形及比例線段1. （2016崇明縣一模）如圖，已知ADBECF，它們依次交直線l1、l2于點A、B、C和點D、E、F，AC=14；（1）求AB、BC的長；（2）如果AD=7，CF=14，求BE的長【思路點撥】（1）由平行線分線段成比例定理和比例的性質(zhì)得出，即可求出AB的長，得出BC的長；（2）過點A作AGDF交BE于點H，交CF于點G，得出AD=HE=GF=7，由平行線分線段成比例定理得出比例式求出BH，即可得出結果【答案與解析】解：（1）ADBECF，AC=14，AB=4，BC=144=10；（2）過點A作AGDF交BE于點H，交CF于點G，

7、如圖所示：又ADBECF，AD=7，AD=HE=GF=7，CF=14，CG=147=7，BECF，BH=2，BE=2+7=9【總結升華】本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例；熟練掌握平行線分線段成比例，通過作輔助線運用平行線分線段成比例求出BH是解決問題的關鍵舉一反三【變式】（2015眉山）如圖，ADBECF，直線l1、l2這與三條平行線分別交于點A、B、C和點D、E、F已知AB=1，BC=3，DE=2，則EF的長為（）A4B5C6D8【答案】C.類型二、相似三角形2. 如圖所示，在44的正方形方格中，ABC和DEF的頂點都在邊長為1的小正方形的頂點上(1)

8、ABC=_，BC=_；(2)判斷ABC與DEF是否相似，并說明理由.【答案與解析】(1)135， (2)ABC和DEF相似(或ABCDEF). 因為，所以. 又因為ABC=DEF=90+45=135，所以ABCDEF.【總結升華】根據(jù)正方形的性質(zhì)和格點三角形的特點，從邊角方面去探究兩三角形有關角的度數(shù)和邊的長度，利用兩邊對應成比例且夾角相等證明兩三角形相似舉一反三：【變式】下列44的正方形網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，三角形的頂點都在格點上，則與ABC相似的三角形所在的網(wǎng)格圖形是（）.A B C D【答案】B.【高清課堂:相似專題復習 ID號： 394502關聯(lián)的位置名稱（播放點名稱）：“一線

9、三等角”問題及例5】3. 在正方形ABCD中，P是BC上的點，BP=3PC，Q是CD的中點，求證：ADQQCP【答案與解析】BP=3PC，Q是CD的中點，又ADQ=QCP=90，ADQQCP.【總結升華】本題考查了相似三角形對應角相等的性質(zhì)，以及相似三角形的判定.4. 如圖所示，在ABC和DBE中，若. (1)ABC與DBE的周長差為10 cm，求ABC的周長； (2)ABC與DBE的面積之和為170 cm2，求DBE的面積【答案與解析】(1) ， ABCDBE. ，設ABC的周長為5k cm，DBE的周長為3k cm， ， ABC的周長為.(2) ABCDBE， .設，. ，解得k=5， .

10、【總結升華】相似三角形的周長比等于相似比，相似三角形的面積比等于相似比的平方舉一反三【變式】如圖，在平行四邊形ABCD中，E是CD上的一點，DE：EC=2：3，連接AE、BE、BD，且AE、BD交于點F，則SDEF：SEBF：SABF=（）A2：5：25 B4：9：25 C2：3：5 D4：10：25【答案】D.5. 如圖所示，已知在梯形ABCD中，ADBC，AB=DC=AD=6，ABC=60，點E，F(xiàn)分別在線段AD，DC上(點E與點A，D不重合)，且BEF=120，設，. (1)求y與x的函數(shù)解析式； (2)當x為何值時，y有最大值？最大值是多少？【答案與解析】(1)在梯形ABCD中，ADB

11、C， AB=DC=AD=6，ABC=60，所以A=D=120， 所以AEB+ABE=180-120=60. 因為BEF=120，所以AEB+DEF=180-120=60， 所以ABE=DEF. 所以ABEDEF，所以. 因為，所以， 所以y與x的函數(shù)解析式是. (2)，所以當時，y有最大值，最大值為.【總結升華】本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，以及二次函數(shù)的最值問題.舉一反三【變式】如圖所示，在RtABC中，A=90，AB=8，AC=6若動點D從點B出發(fā)，沿線段BA運動到點A為止，運動速度為每秒2個單位長度過點D作DEBC交AC于點E，設動點D運動的時間為x秒，AE的長為y(

12、1)求出y關于x的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍；(2)當x為何值時，BDE的面積S有最大值，最大值為多少?【答案】(1)因為DEBC，所以ADEABC，所以.又因為AB=8，AC=6，所以，即，自變量x的取值范圍為. (2) .所以當時，S有最大值，且最大值為6.類型三、位似6. 將下圖中的ABC作下列變換，畫出相應的圖形，指出三個頂點的坐標所發(fā)生的變化(1)沿y軸負方向平移1個單位；(2)關于x軸對稱；(3)以C點為位似中心，放大到1.5倍【答案與解析】變換后的圖形如下圖所示(1)將ABC沿y軸負方向平移1個單位后得到A1B1C1， A1(-5，-1)，B1(0，2)，C1(0，-1

13、) 即橫坐標不變，縱坐標減小(2)將ABC關于x軸對稱后，得A2B2C2，A2(-5，0)，B2(0，-3)，C2(0，0) 即橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)(3)將ABC以C點為位似中心，放大到1.5倍得A3B3C3(有2個三角形)， 顯然，A3(-51.5，0)，B3(0，31.5)，C3(0，0)， 即A3(-7.5，0)，B3(0，4.5)，C3(0，0),或A3（7.5,0）、B3（0，-4.5）、C3（0,0）.【總結升華】本題應先按圖形變換的要求畫出相應的圖形，再求出變換后圖形的點的坐標，第(3)問可先求變換后圖形的點的坐標，但注意此時的位似中心是原點相似全章復習與鞏固-鞏固

14、練習（基礎）【鞏固練習】一、選擇題1（2015樂山）如圖，l1l2l3，兩條直線與這三條平行線分別交于點A、B、C和D、E、F已知，則的值為（）ABCD2. （2016奉賢區(qū)一模）用一個4倍放大鏡照ABC，下列說法錯誤的是（）AABC放大后，B是原來的4倍BABC放大后，邊AB是原來的4倍CABC放大后，周長是原來的4倍DABC放大后，面積是原來的16倍3如圖，小正方形的邊長均為1，則下列圖中的三角形(陰影部分)與相似的是( ) 4.如圖，ABC中，A，B兩個頂點在x軸的上方，點C的坐標是(-1，0)以點C為位似中心，在x軸的下方作ABC的位似圖形ABC，并把ABC的邊長放大到原來的2倍設點B

15、的對應點B的橫坐標是，則點B的橫坐標是（ ）A B C D5下列說法：位似圖形都相似；位似圖形都是平移后再放大(或縮小)得到；直角三角形斜邊上的中線與斜邊的比為1：2；兩個相似多邊形的面積比為4：9，則周長的比為16：81中，正確的有( )A1個 B2個 C3個 D4個6. 如圖，在正方形ABCD中，E是CD的中點，P是BC邊上的點，下列條件中不能推出ABP與以點E、C、P為頂點的三角形相似的是( ) AAPB=EPC BAPE=90 CP是BC的中點 DBP：BC=2：37. 如圖，在ABC中，EFBC，,，S四邊形BCFE=8，則SABC=（） A9B10 C12 D138.如圖，六邊形A

16、BCDEF六邊形GHIJKL，相似比為2：1，則下列結論正確的是（）AE=2K BBC=2HI C六邊形ABCDEF的周長=六邊形GHIJKL的周長 DS六邊形ABCDEF=2S六邊形GHIJKL二、填空題9. （2016衡陽）若ABC與DEF相似且面積之比為25：16，則ABC與DEF的周長之比為 10. 如圖，在ABC中，D、E分別是AB和AC中點，F(xiàn)是BC延長線上一點，DF平分CE于點G，CF=1，則BC=_，ADE與ABC的面積之比為_，CFG與BFD的面積之比為_.11. 如圖，梯形ABCD中，ADBC，AC、BD交于O點，SAOD:SCOB=1:9，則SDOC:SBOC=_.12.

17、 在相同時刻的物高與影長成比例.小明的身高為1.5米，在地面上的影長為2米，同時一古塔在面上的影長為40米，則古塔高為_.13. （2015金華）如圖，直線l1、l2、l6是一組等距的平行線，過直線l1上的點A作兩條射線，分別與直線l3、l6相交于點B、E、C、F若BC=2，則EF的長是 14如圖，在ABC中，MNBC，若C=68，AM：MB1：2，則MNA=_度，AN：NC_.15.如圖，點D,E分別在AB、AC上，且ABC=AED。若DE=4，AE=5，BC=8，則AB的長為_. 第14題 第15題16. 油桶高0.8m，桶內(nèi)有油，一根木棒長1m，從桶蓋小口斜插入桶內(nèi)，一端到桶底，另一端到

18、小口，抽出木棒，量得棒上浸油部分長0.8m，則桶內(nèi)油面的高度為 .三、解答題17. 如圖，等腰直角ABC的斜邊AB所在的直線上有點E、F，且E+F=45，AE=3，設AB=x，BF=y，求y關于x的函數(shù)解析式.18.（2015岳陽）如圖，正方形ABCD中，M為BC上一點，F(xiàn)是AM的中點，EFAM，垂足為F，交AD的延長線于點E，交DC于點N（1）求證：ABMEFA；（2）若AB=12，BM=5，求DE的長19. 如圖，圓中兩弦AB、CD相交于M，且AC=CM=MD，MB=AM=1，求此圓的直徑的長. 20. 如圖，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，點P沿AB邊從點A開始向點B以2

19、cm/s的速度移動，點Q沿DA邊從點D開始向A以1cm/s的速度移動.如果P、Q同時出發(fā)，用t秒表示移動的時間(0t6)那么:(1)當t為何值時，QAP為等腰直角三角形？(2)對四邊形QAPC的面積，提出一個與計算結果有關的結論；(3)當t為何值時，以點Q、A、P為頂點的三角形與ABC相似？ 【答案與解析】一選擇題1【答案】D.【解析】l1l2l3，=，故選：D2.【答案】A.【解析】放大前后的三角形相似，放大后三角形的內(nèi)角度數(shù)不變，面積為原來的4倍，周長和邊長均為原來的2倍，則A錯誤，符合題意 3【答案】A 【解析】考點：相似三角形的判定.4【答案】D.5【答案】B.【解析】提示：.6【答案

20、】C.7.【答案】A.【解析】 求出的值，推出AEFABC，得出，把S四邊形BCFE=8代入求出即可8.【答案】B.【解析】根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)對各選項進行逐一分析即可二填空題9.【答案】5：4【解析】ABC與DEF相似且面積之比為25：16，ABC與DEF的相似比為5：4；ABC與DEF的周長之比為5：4 10【答案】2，1:4，1:6.11【答案】1:3 .【解析】SAOD:SCOB=1:9，AOD與DOC等高，SAOD:SDOC=1:3， SDOC:SBOC=1:3.12【答案】30m.13【答案】5.【解析】l3l6，BCEF，ABCAEF，=，BC=2，EF=514【答案】68，1:2.【解析】首先，想到定理的含義，再結合圖形分析（或進行比例變形）就可直接求出結果. 15.【答案】10.【解析】ABC=AED，BAC=EADAEDABC，DE=10.16.【答案