2021年高考北師版(理科)數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：第7章第6節(jié)空間向量及其運算

1、第六節(jié)空間向量及其運算考綱 1.了解空間向量的概念，了解空間向量的根本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標表示.2.掌握空間向量的線性運算及其坐標表示3掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標表示， 能運用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直.抓基礎(chǔ)自主學(xué)習(xí)|知識榜理1.空間向量的有關(guān)概念(1)空間向量：在空間中，具有大小和方向的量叫作空間向量.(2)單位向量：對于任意一個非零向量 a,把窗叫作向量a的單位向量，記作 Tao.(3)相等向量：方向一樣且模相等的向量.(4)相反向量：方向相反而模相等的向量.一 . .一 (5)向量a, b的夾角：過空間任意一點 O作向量a, b的相等向量OA和OB,那么

2、/ AOB叫作向量a, b的夾角，記作a, b，范圍是0, nt當a, b =”寸，記作a，b;當a, b =0或冗時，記作a / b.(6)平行向量：如果表示空間向量的有向線段所在的直線平行或更合空么 這些向量叫作平行向量或共線向量.空間向量中的有關(guān)定理(1)共線向量定理：空間兩個向量a與b(bw0)共線的充要條件是存在實數(shù) 使 a= *.(2)空間向量根本定理如果向量e1，e2, e3是空間三個不共面向量，a是空間任一向量，那么存在唯一一組實數(shù)為,3電使得a= 2ie1+返+斐3.兩個向量的數(shù)量積(1)非零向量a, b的數(shù)量積a b=|a|b|cosa, b.(2)空間向量數(shù)量積的運算律：

3、交換律：a b=ba；分配律：a (b+c) = a b+a c. Xa b)=( b(入C R).空間向量坐標表示及應(yīng)用(1)數(shù)量積的坐標運算彳貿(mào)設(shè) a=(xi, yi, zi), b= (x2, y2, z2),那么 a b = xtx2+ yiy2 + ziz2.(2)共線與垂直的坐標表示設(shè) a=(xi, yi, zi), b=(x2, y2, z2),么 a/ b? a= b? xi=入寬，yi=入0，zi=入應(yīng)入C R)(bw0),ab? a b=0? xix2+ yiy2+ zin= 0.(3)模和夾角公式設(shè) a=(xi, yi, zi), b=(x2, y2, z2).那么 |a

4、| = Va-a=Vx2+y2+-z2,a bxix.2+ yiy2 + zizcosa, b= . = iii ( n(aw0, bw0).，|a|b| 十丫2+是 Jx2+y2+z2學(xué)情自測 TOC o 1-5 h z i.(思考辨析)判斷以下結(jié)論的正誤.(正確的打“，錯誤的打X)(i)空間中任意兩非零向量a, b共面.()(2)對任意兩個空間向量a, b,假設(shè)a b= 0,那么ab.()(3)假設(shè)a b1 - Y 111A BM = BB1 + B1M = AA1 + /(AD AB)= c+ /(b a) = 2a+/b+ c. . .3 1 1 . 一 .（2021倘州模擬）0為空間

5、任意一點，假設(shè)OP=3OA+ 1OB + 1OC,那么 488A, B, C, P 四點（）一定不共面一定共面C.不一定共面D.無法判斷B 由3 + 8 + 8= 1 知，A, B, C, P 四點共面.（2021廣東高考）向量a= （1,0, 1）,那么以下向量中與a成60夾角的 是（）A. （-1,1,0）B.（1, -1,0）C. （0, -1,1）D.（-1,0,1）B 各選項給出的向量的模都是V2, |a| = V2.a b 1 x 11對于選項A,設(shè)b=(1,1,0),那么cosa, b =麗=正討2 = 2.因為 0 Va, b = 120 :對于選項B,設(shè)b=(1, 1,0),

6、那么cosa,ba b 1X11 田=麗=；/2=2.口為 0 Va, b =60 ,正確.對于選項C,設(shè) b=(0, 1,1),那么 cosa,b二 |a|b/業(yè) x 二12.因為0 Va,ba b 一1一 1=麗=?2 一.因為 0 Va, b = 180 .5.向量 a=(4, 2, 4), b= (6, 3,2),那么(a+b) (ab)的值為【導(dǎo)學(xué)號：57962349】|考空間向量的線性運算-13 (a+b) (a b) = a2 b2=42+( 2)2+ (-4)2- 62+ (3)2+22=如圖7-6-2所示，在空間幾何體ABCD-AiBiCiDi中，各面為平行四邊形，設(shè)AA1

7、= a, AB=b, AD = c, M, N, P 分別是 AA1, BC, C1D1 的中點，試 用a, b, c表示以下各向量:刃fl/ I鳳一I JIIA圖 7-6-2(1)AP；(2)MP+NCi.解(1)因為P是CiDi的中點，1 所以 AP= AAi+AiDi+DiP = a + AD + 2DiCi1 一I= a+c+ 2AB= a+ c+ 2b.(2)因為M是AAi的中點，i所以 MP=MA + AP = 2AiA+AP TOC o 1-5 h z ii i i=2a+ a+ c+ 2b =2a + 2b+c.因為N是BC的中點， i 那么 NCi = NC + CCi =

8、BC + AAii0分i2分i Tt f i=/AD + AAi = /c+ a, Y i i.i所以 MP+NCi= 2a+ 2b+c + a +2c2a + 2b+ 2c.規(guī)律方法i.(i)選擇不共面的三個向量作為基向量，這是利用空間向量根本定理求解立體幾何問題的前提.(2)用基向量表示指定向量時，應(yīng)結(jié)合和所求向量觀察圖形，將向量和未知向量轉(zhuǎn)化至三角形或平行四邊形中，然后利用三角形法那么或平行四邊形法那么 進展運算.2.首尾相接的假設(shè)干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量，我們把這個法那么稱為向量加法的多邊形法那么.變式訓(xùn)練i如圖7-6-3所示，空間四邊形OABC,其對角

9、線為OB, AC, . M, N分別為OA, BC的中點，點G在線段MN上，且MG = 2GN,假設(shè)OG = xOA+ yOB+ zOC,那么 x+ y+ z=圖 7-6-3 TOC o 1-5 h z 5、6 連接 ON,設(shè)OA= a, OB= b, OC = c,11 那么 MN = ON OM = 2(OB + OC) /OA= 2b + gc 2a,一 一 一 1 一 2 一OG= OM + MG =-OA+ -MN 23= 2a + 31b+ 1c1a =1a+1b+1c.y=3,1 z=3. 一1又OG=xOA+yOB+zOC,所以 x=6,1115因此 x+ y+ z= 6；+

10、+ = 61L”？l共線向量與共面向量定理的應(yīng)用卜例一（1）（2021佛山模擬）a=（在1,0,2）, b=（6,2廠1,2九 假設(shè)all b,且a與b反向，那么壯尸.（2）如圖7-6-4所示，斜三棱柱 ABC-A1B1C1,點M, N分別在AC1和BC上,且滿足AM = kAC1，BN = kBC(0&k& 1).圖 7-6-4向量MN是否與向量AB, AA1共面？直線MN是否與平面ABB1A1平行?5(1)2 . all b,且 a 與 b反向,. .(6,2 廠 1,2= k(狂 1,0,2), k . 一 -一所以由共面向量定理知向量 MN與向量AB, AA1共面.6分當k= 0時，點

11、M, A重合，點N, B重合，MN在平面ABBiAi內(nèi)；當0k01時，MN不在平面 ABBiAi內(nèi)，一 ，一又由知MN與AB, AA1共面，所以MN /平面ABBiAi.12分規(guī)律方法1.判定空間三點共線，要結(jié)合向量從三點中提煉兩個共點向量， 利用共線向量定理判斷，但一定要說明兩線有公共點.2.證明點共面問題可轉(zhuǎn)化為證明向量共面問題，如要證明 P, A, B, C四點共面，只要能證明PA=xPB+yPC,或?qū)臻g任一點。，有OA= OB + xPB+yPC,或 OP= xOA+ yOB + zOC(x+ y+ z= 1).變式訓(xùn)練2 A, B, C三點不共線，對平面ABC外的任一點O,假設(shè)點M

12、一 1 潴足 OM = -(OA+ OB+OC).3(1)判斷MA, MB, MC三個向量是否共面；判斷點M是否在平面ABC內(nèi).一 解(1)由 OA+OB+OC = 3OM, TOC o 1-5 h z 廣 八 .OA- OM = (OM OB) + (OM OC).2 分 77即 MA= BM + CM = -MB-MC,一八 .MA, MB, MC 共面.5 分, , 二一一一、，一 ,(2)由(1)知MA, MB, MC共面且過同一點 M.I考向3四點M, A, B, C共面，從而點M在平面ABC內(nèi).12分空間向量數(shù)量積及其應(yīng)用例!3 如圖7-6-5所示，空間四邊形 ABCD的各邊和對角

13、線的長都等于 a,點M, N分別是AB, CD的中點.c圖 7-6-5(1)求證：MNXAB, MNXCD;(2)求異面直線AN與CM所成角的余弦值.【導(dǎo)學(xué)號：57962350】解(1)證明：設(shè)AB=p, AC = q, AD=r.由題意可知，|p|=|q|=|r|=a,且p, q, r三個向量兩兩夾角均為60.11 MN = AN AM = 2(AC + AD) 2AB1= 2(q+r p), 1MN AB= 2(q+ r p) p= 2(q p+r p-p2)1c =2(a2cos 60 4 a2cos 60 a2) = 0.一一，二一 .MNXAB,即 MNXAB.同理可證MNXCD.(

14、2)設(shè)向量AN與MC的夾角為9. TOC o 1-5 h z 1 1AN = 2(AC + AD)=2(q+r),_1MC = AC AM = q _ 2p,之一 111 2 11AN MC = 2(q+ r) q2P =5 q -2q p+r q 亍 p121 221 2=2 a 2a cos 60 + a cos 60 2a cos 601 2 a2 a2 a2 a2=2a又 AN| = |MC| = 3a,.AN MC= AN|MC|cos 4aX5aXcos 4，八2 cos 8= 3.與CM所成角的余弦12分,一一 , 一 一,八一 *一、一 . 2 一一一.,向量AN與MC的夾角的

15、余弦值為2,從而異面直線AN 3值為3.規(guī)律方法(1)基向量法:ab=|a|b|cosa, b.(2)坐標法:設(shè) a=(xi, yi, zi), b=(x2,乎,z2),那么 a b= xix2 + yiy2+ziz2.2.利用數(shù)量積可解決有關(guān)垂直、夾角、長度問題(i)ab? ab = 0.(2)|a| = V?.a bcosa, b=麗.變式訓(xùn)練3如圖7-6-6,在平行六面體 ABCD-AiBiCiDi中，以頂點 A為端點的三條棱長度都為求ACi的長；求AC與BDi夾角的余弦值.解(1)設(shè)AB = a, AD = b, AAi = c,那么 |a| = |b|= |c| = 1,a, b= b, c= =%.，6|BDi|AC|12分AC與BDi夾角的余弦值為 嚕.名師微博今思想與方法.利用向量的線性運算和空間向量根本定理表示向量是向量應(yīng)用的根底.利用共線向量定理、共面向量定理可以證明一些平行、共面問題；利用數(shù)量積運算可以解決一些距離、夾角問題.用向量解決立體幾何問題時，可用基向