高斯小學奧數(shù)四年級上冊含答案第12講-乘法原理進階

1、第十二講乘法原理進階沽你來當服裝設 訃人師.給小高挑迭 帽子、上衣棘了、柱 了.如采這四件衣物 械不可.但只能甸種 選-件有多少種不同 的搭配？在之前我們學習了“加法原理與乘法原理”一講，即分類相加與分步相乘的思想.如果完成一件事分為幾個步驟，在每一個步驟中又有不同的方法，那么把每 步的方法數(shù)相乘就得到所有的方法數(shù)一一這就是乘法原理要想把過程分成幾個步驟從而應用乘法原理，必須保證各步驟之間滿足下面兩個要求:.每步都只是整件事情的一個部分，必須全部完成才算做完這件事;.步驟之間要有先后順序，先確定好一步，再做下一步，宜到最后.那么是不是只要分步驟完成整件事情就可以宜接用乘法原理呢？如下圖，把A、

2、B、C三部分用三種不同的顏色染色，要求相鄰兩部分不能同色，那么一共有多少種不同的染法呢?ABC其實，整個染色過程是需要分為三步的，即分別給其中一塊染色：當染色順序為A-B-C時，那么A有3種染法，B不能和A 一樣，有2種染法,同樣C 有2種，那么一共就有“3 2 2 ”種染法；（CB-A同理）當染色順序為B-A-C時，那么B有3種染法，A不能和B 一樣，有2種 染法,同樣C 有2種，那么一共就有“3 2 2 ”種染法；（B-CA同理）當染色順序為A-CB時，那么A有3種染法，第二步C沒有限制，也有3種染法，但 是最后的B就出問題了，我們沒法確定它有 2種還是1種染法一一如果C和A同色，則B 有

3、2種染法；如果C和A不同色，則B只有1種染法一 一此時，根據(jù)分步相乘的思想計算 整個過程的染色方法“3 3 ? ”就不再適用 了. （CA- B同理）因此，并不是只要分步完成整件事情就一定可以應用乘法原理，要想應用乘法原理，還必須滿足第三個要求：.做完一步時，這一步的結(jié)果很可能會影響后面步驟的結(jié)果，但一定不能影響后面步驟的方法數(shù).如果這一步的不同結(jié)果會導致后面莫一步的方法數(shù)發(fā)一變化，就不能宜接用乘法原理計算一一 簡稱“前不影響后 原則”染色問題，是應用乘法原理最常見的一類題型，其實，從上面對A、B、C三部分的染色分析我們應該可以發(fā)現(xiàn)，染色的時候，要盡M避免“隔”著染，一 定不要“跳”著染，而且

4、，第一步要盡M去染“接觸最多”的那一部分，這樣，才能夠使得后面 的染色過程盡量避開“前影響后”例題1如圖，把A、B、C、D E這五部分用4種不同的顏色染 色，且相鄰的部分不能使用同一種顏色.請問：這 幅圖共 有多少種不同的染色方法？分析分五步染色，先染哪一塊呢？能否按照 A、B、C、H E的順 序染呢？練習1如圖，把A B、C、D這四部分用4種不同的 顏色染色，且相鄰的部分不能使用同一種顏色 .請問：這幅圖共有 多少種不同的染色方法？例題2某市實行垃圾分類處理.每個地方放置五個垃圾桶，從左向右依次標 明: 電池、塑料、廢紙、易拉罐、其它.現(xiàn)在準備把五個垃圾桶染成 紅、綠、 藍這3種顏色之一.(

5、1)要求相鄰兩個垃圾桶顏色不同，一共有多少種染色方法?(2)要求相鄰兩個垃圾桶顏色不同且回收易拉罐的垃圾桶不能染成紅色，一共有多少種染色方法？分析如果我們先染廢紙垃圾桶：當它染紅色時，回收易拉罐的垃圾桶可以染 綠、藍 兩種顏色；而當它染綠色(藍色)時，回收廢紙的垃圾桶只能染藍色 (綠 色).因此先染廢紙 垃圾桶時，會影響易拉罐垃圾桶的染色方法數(shù)，就不能宜接 用乘法原理計算了 .那么我們 應該先給哪個垃圾桶染色呢？練習2麥兜很挑食，只吃帶有魚丸或粗面的搭配 .一天它和3位同學來餐廳吃東西,一開口就要魚丸粗面，結(jié)果老板說沒有.這個時候，由于時間太晚，餐廳快打爛了，只能做牛肚河粉，魚丸油面，豬肉米線

6、和牛肉拉面各一份，請問它們四只豬各點一份，有幾種點法？在例題2中，有一個垃圾桶是有特殊要求的一一易拉罐垃圾桶不能染成紅色，我們通過嘗試可知：如果一開始先染其他的垃圾桶，那么前面垃圾桶的染色方法就會影響到易拉罐垃圾桶的染色方法數(shù)，即不能滿足“前不影響后”原則，而如果首先染易拉罐垃圾桶，則不會出現(xiàn)該問題，所以一般而言，如果題目中有些對象是有特殊要求的，那么我們分步分析計算的時候，首先要考慮這些特殊的對象 .例題3卡莉婭、墨莫、小高和大頭 4名同學競選班委.有班長、學習委員、 生 活委員三個職位，每個人只能擔任一個職位，并且每個職位只能由一個人擔任.(1)有多少種可能的選舉結(jié)果？(2)如果班長必須由

7、卡莉婭來擔任，有多少種可能的選舉結(jié)果？(3)如果生活委員只能在墨莫和大頭之中選，有多少種可能的選舉結(jié)果？(4)如果學習委員不能由小高擔任，有多少種可能的選舉結(jié)果？分析可以按照職位一一確定，第(2)問中，班長只能由卡莉婭來擔任，那么先確定哪一個職位的人選呢？其他小問呢？練習3甲、乙、丙、丁、戊5個人競選班委.有班長、副班長、紀律委員、衛(wèi)生委員四個職位，每個人只能擔任一個職位，并且每個職位只能由一個人擔任：請問：(1) 一共有多少種可能的選舉結(jié)果？(2)如果副班長只能在甲、丁和戊中選，有多少種可能的選舉結(jié)果？( 3)如果衛(wèi)生委員不能由乙、丙擔任，有多少種可能的選舉結(jié)果？例題4甲、乙、丙、丁四個人要

8、住進 A、B C、D四間房間，每個房間住一 個 人.其中甲不住A房間，丙只住D房間.請問：這四個人住進四 個房間有 多少種住法？分析本題中甲和丙有特殊要求，我們應該先考慮甲還是丙呢？練習4甲、乙、丙、丁四個人要住進 A、R C、D四間房間，每個房間住一個人.其 中甲只住A或B房間，內(nèi)只住 A B或C房間.請問：這四個人住進四個房間 有多少種住法?例題5甲、乙、丙、丁、戊五人要駕駛A B、G D E這五輛不同型號的 汽車，請計算在下列情況下，分別共有多少種不同的安排方案：(1)只有甲能開汽車A,乙不會開汽車B,(2)會開A的只有甲和乙，會開E的只有甲、乙、丙.分析第(1)問中，甲和丙兩人有特殊要

9、求，我們應該先考慮哪一個人呢？第(2)問中，A和E兩車有特殊要求，我們應該先考慮哪輛車呢？接下來我們分析一下“放相同棋子”的問題如右圖，將2枚相同的棋子放入2X2的方格內(nèi)，每個格子 只能放1枚，且要求每行每列最多只能放1枚，那么一共會有 幾種方法呢？其實，要把兩枚相同的棋子放進格子內(nèi)，只需要選出兩個格子即可，然后每個格子里放一枚棋子.一共有兩行，所以必定會是每行一枚，所以我們完全可以分行選格子，第行有兩種選法，第一行選好后，第二行就只有一種選法了，所以一共有2X1=2種.例題6右圖是一個階梯形方格表，在方格中放入五枚相同的棋子，使得每行、每列中都只有一枚棋子，這樣的放法共有多少種？分析容易看出

10、，每行只能有1枚棋子，每列也只能由一枚棋子，我們可以把放五枚棋 子的過程分成五步：一行一行或一列一列的放.課堂內(nèi)外四色定理籽德巴赫猜想并稱為四色定理與費馬大定理、 近代數(shù)學三大難題.四色定理的內(nèi)容是：對于任何一張地圖，只用 四種顏色，就可以把有相鄰邊界的國家染上不同 的顏色.四色問題的提出來自英國.1852年，在大學斯里向他的老師一一著名數(shù)學家摩根提出了這個問題,摩根沒有能找到解決這個問題讀書的格的途徑.“四色問題”提出以后，最初并沒有引起廣泛的重視，許多數(shù)學家低估了它的難度.就連素以謙虛著稱的德國數(shù)論專家閔可夫斯基在大學上拓撲課時也說：四色問題之所以一宜沒有獲得解決，那僅僅是由于沒有一流的數(shù)

11、學家來解決它.說罷，他拿起粉筆，竟要當堂給學生推導出來，結(jié)果沒有成功 .下一節(jié)課他 又去試，還是沒有成功.過了幾個星期，仍無進展.有一天，他剛跨進教室，適 逢天上雷聲大作，震耳欲聾.他馬上對學生說：“上天在責備我自大，我也無法解決四色問題.”這樣，四色問題就成了世界最著名的問題之一.100多年中,“四色問題”使數(shù)學家們深為困擾.沒有人能證明它，也沒有人推翻它.電子計算機問世以后，由于演算速度迅速提高，加之人機對話的出現(xiàn)，大大加快了四色猜想的證明進程.就在1976年6月，哈肯與阿佩爾在美國伊利諾斯大 學的兩臺不同的電子計算機上，用了1200個小時，作了 100億次判斷，終于完成了四色定理的證明，

12、袤動了世界.作業(yè).五個座位排成一排，小高、墨莫、萱萱、阿呆、阿瓜每人選一個座位坐下，其中每個座位只能坐一個人，且萱萱不坐在中間的位置 ？這五個人有多少種坐法？. 如圖，把A、B、C這三部分用4種不同的顏色染色，且相鄰的部分不能使用同一種顏色?請問，這幅圖共有多少種不同的染色方法？.把A、B C、D E這五部分用4種不同的顏色染色，且相鄰的部分不能使用同一種顏色.這幅圖共有多少種不同的染色方法？ADL-.甲、乙、丙、丁四個人排成一隊，甲不當排頭，乙不當排頭也不當排尾，共有多少種不 同的排法？.在24的方格中放入兩枚相同的棋子，要求兩枚棋子既不在同一行也不在同一列，共有多少種放法?第十二講乘法原理

13、進階例題1答案：96詳解：分步，分別給 E、B、C、A、D染色，分別有4、3、2、2、2種染法，所以一共有 4 3 2 2 2 96種染色方法.例題2答案：48; 32詳解：(1)從左往右依次染色，分別有 3、2、2、2、2種染法，共有3 2 2 2 2 48種染色方法；(2)分步，先染易拉罐垃圾桶，再分別給廢紙、塑料、電池、其他這四個垃圾桶染色，五個垃圾桶分別有2、2、2、2、2種染法，所以一共有 2 2 2 2 2 32種染色方法.例題3答案：24; 6; 12; 184、3、2種選法，所以共有4 32 24詳解：(1 )分別確定班長、學委、生活委員的人選，分別有種;(2)分別確定班長、學

14、委、生活委員的人選，分別有1、3、2種選法，所以共有1 3 2 6種;2、3、2種選法，所以共有2 32 12種;3、3、2種選法，所以共有3 32 18種.(3)分別確定生活委員、學委、班長的人選，分別有(4)分別確定學委、班長、生活委員的人選，分別有例題4答案：4詳解：分步，分別安排丙、甲、乙、丁，分別有 1、2、2、1種選法，所以一共有12214種選法.例題5答案：18; 24詳解：(1 )先考慮甲，后考慮乙，再考慮其他三個人，分別有1、3、3、2、1種可能，共有3 32 1 18 種；(2)先考慮A,后考慮E,再考慮其他三輛車，分別有2、2、3、2、1種可能，所以共有2 32 124

15、種.例題6答案：16詳解：一共要選5個格子放棋子，一行一行選，每行1個，而且不能在同一列，從上往下，5行分別有2、2、2、2、1種選法，所以一共有 2 222 1 16種選法.練習1答案：48詳解：分步，分別給 B、C、A、D染色，分別有4、3、2、2種染法，所以一共有4 3 2 248種染色方法.練習2答案：6詳解：先讓麥兜點，只有魚丸油面1種可選，然后讓其他 3位同學依次點，分別有 3、2、1種選法，共分四步，乘法原理，所以共有 13 2 1 6中不同的選法.練習3答案：120; 72; 72簡答：(1) 5 4 3 2 120 種；先確定副班長，再依次確定其他，共有 3 4 3 2 72種；先確定衛(wèi)生委員，再依次確定其他，共有 3 4 3 272種.練習4答案：8簡答：分步，分別安排甲、丙、乙、丁，分別有 2、2、2、1種選法，所以一共有2 2 2 18種選法.作業(yè)1答案：96.簡答：可以按照萱萱、小高、墨莫、阿呆、阿瓜的順序安排座位，有4 4 3 2