高中數(shù)學(xué)選修第一冊：選擇性必修第一冊第二章 2.1.2 兩條直線平行和垂直的判定

1、21.2兩條直線平行和垂直的判定學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解并掌握兩條直線平行的條件及兩條直線垂直的條件.2.會運(yùn)用條件判定兩直線是否平行或垂直3.運(yùn)用兩直線平行和垂直時的斜率關(guān)系解決相應(yīng)的幾何問題知識點(diǎn)一兩條直線(不重合)平行的判定類型斜率存在斜率不存在前提條件12901290對應(yīng)關(guān)系l1l2k1k2l1l2兩直線的斜率都不存在圖示知識點(diǎn)二兩條直線垂直的判定圖示對應(yīng)關(guān)系l1l2(兩直線的斜率都存在)k1k21l1的斜率不存在，l2的斜率為0l1l2思考兩直線的斜率相等是兩直線平行的充要條件嗎？答案不是，垂直于x軸的兩條直線，雖然平行，但斜率不存在1若l1l2，則k1k2.()2若兩條直線中有一條直線的斜

2、率不存在，另一條直線的斜率存在，則這兩條直線垂直()3若兩條直線的斜率都不存在且兩直線不重合，則這兩條直線平行()一、兩條直線平行的判定例1已知四邊形ABCD的四個頂點(diǎn)分別為A(0,0)，B(2，1)，C(4,2)，D(2,3)，試判斷四邊形ABCD是否為平行四邊形，并給出證明解四邊形ABCD是平行四邊形，證明如下：AB邊所在直線的斜率kABeq f(1,2)，CD邊所在直線的斜率kCDeq f(1,2)，BC邊所在直線的斜率kBCeq f(3,2)，DA邊所在直線的斜率kDAeq f(3,2).因?yàn)閗ABkCD，kBCkDA，所以ABCD，BCDA.因此四邊形ABCD是平行四邊形反思感悟判斷

3、兩條不重合的直線是否平行的方法跟蹤訓(xùn)練1(1)已知l1經(jīng)過點(diǎn)A(3,2)，B(3,10)，l2經(jīng)過點(diǎn)M(5，2)，N(5,5)，判斷直線l1與l2是否平行解l1與l2都與x軸垂直，且l1與l2不重合，l1l2.(2)試確定m的值，使過點(diǎn)A(m1,0)，B(5，m)的直線與過點(diǎn)C(4,3)，D(0,5)的直線平行解由題意直線CD的斜率存在，則與其平行的直線AB的斜率也存在kABeq f(m0,5m1)eq f(m,6m)，kCDeq f(53,04)eq f(1,2)，由于ABCD，所以kABkCD，即eq f(m,6m)eq f(1,2)，得m2.經(jīng)驗(yàn)證m2時直線AB的斜率存在，所以m2.二、

4、兩條直線垂直的判定例2已知ABC的頂點(diǎn)為A(5，1)，B(1,1)，C(2，m)，若ABC為直角三角形，求m的值解若A為直角，則ACAB，kACkAB1，即eq f(m1,25)eq f(11,15)1，解得m7；若B為直角，則ABBC，kABkBC1，即eq f(11,15)eq f(m1,21)1，解得m3；若C為直角，則ACBC，kACkBC1，即eq f(m1,25)eq f(m1,21)1，解得m2.綜上所述，m7或m3或m2.反思感悟判斷兩條直線是否垂直在這兩條直線都有斜率的前提下，只需看它們的斜率之積是否等于1即可，但應(yīng)注意有一條直線與x軸垂直，另一條直線與x軸平行或重合時，這兩

5、條直線也垂直跟蹤訓(xùn)練2判斷下列各題中l(wèi)1與l2是否垂直(1)l1的斜率為10，l2經(jīng)過點(diǎn)A(10,2)，B(20,3)；(2)l1經(jīng)過點(diǎn)A(3,4)，B(3,10)，l2經(jīng)過點(diǎn)M(10,40)，N(10,40)解(1)k110，k2eq f(32,2010)eq f(1,10)，k1k21，l1l2.(2)l1的傾斜角為90，則l1x軸；k2eq f(4040,1010)0，則l2x軸，l1l2.垂直與平行的綜合應(yīng)用典例已知A(4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(3,0)四點(diǎn)，若順次連接A，B，C，D四點(diǎn)，試判定圖形ABCD的形狀解由題意知A，B，C，D四點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置，如圖所示，

6、由斜率公式可得kABeq f(53,24)eq f(1,3)，kCDeq f(03,36)eq f(1,3)，kADeq f(03,34)3，kBCeq f(35,62)eq f(1,2).所以kABkCD，由圖可知AB與CD不重合，所以ABCD.由kADkBC，所以AD與BC不平行又因?yàn)閗ABkADeq f(1,3)(3)1，所以ABAD，故四邊形ABCD為直角梯形素養(yǎng)提升用代數(shù)運(yùn)算解決幾何圖形問題(1)利用直線的斜率判定平面圖形的形狀一般要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，先由圖形作出猜測，然后利用直線的斜率關(guān)系進(jìn)行判定(2)明確運(yùn)算對象，探究運(yùn)算思路，是對邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的考查1若過點(diǎn)P(3

7、,2m)和點(diǎn)Q(m，2)的直線與過點(diǎn)M(2，1)和點(diǎn)N(3,4)的直線平行，則m的值是()A.eq f(1,3) Beq f(1,3) C2 D2答案B解析由kPQkMN，即eq f(2m2,3m)eq f(41,32)，得meq f(1,3).經(jīng)檢驗(yàn)知，meq f(1,3)符合題意2已知直線l1的斜率為a，l2l1，則l2的斜率為()A.eq f(1,a) Beq f(1,a)Ca Deq f(1,a)或不存在答案D解析當(dāng)a0時，由k1k21知，k2eq f(1,a)，當(dāng)a0時，l2的斜率不存在3已知兩條直線l1，l2的斜率是方程3x2mx30(mR)的兩個根，則l1與l2的位置關(guān)系是()A

8、平行 B垂直C可能重合 D無法確定答案B解析由方程3x2mx30，知m243(3)m2360恒成立故方程有兩相異實(shí)根，即l1與l2的斜率k1，k2均存在設(shè)兩根為x1，x2，則k1k2x1x21，所以l1l2，故選B.4(多選)若l1與l2為兩條不重合的直線，它們的傾斜角分別是1，2，斜率分別為k1，k2，則下列命題正確的是()A若l1l2，則斜率k1k2B若k1k2，則l1l2C若l1l2，則傾斜角12D若12，則l1l2答案ABCD5若不同兩點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)分別為(a，b)，(3b，3a)，則線段PQ的垂直平分線的斜率為_答案1解析若a3b，則P，Q兩點(diǎn)重合，不合題意故PQ斜率存在由kPQeq

9、 f(3ab,3ba)1，得線段PQ的垂直平分線的斜率為1.1知識清單：兩直線平行或垂直的條件2方法歸納：分類討論，數(shù)形結(jié)合3常見誤區(qū)：研究兩直線平行、垂直關(guān)系時忽略直線斜率為0或斜率不存在的情況1過點(diǎn)A(2,5)和點(diǎn)B(4,5)的直線與直線y3的位置關(guān)系是()A相交 B平行 C重合 D以上都不對答案B解析斜率都為0且不重合，所以平行2已知過A(2，m)和B(m，4)的直線與斜率為2的直線平行，則m的值是()A8 B0 C2 D10答案A解析由題意可知，kABeq f(4m,m2)2，所以m8.3直線l1的斜率為2，l1l2，直線l2過點(diǎn)(1,1)且與y軸交于點(diǎn)P，則P點(diǎn)坐標(biāo)為()A(3,0)

10、 B(3,0)C(0，3) D(0,3)答案D解析設(shè)P(0，y)，因?yàn)閘1l2，所以eq f(y1,01)2，所以y3.即P(0,3)4若直線l經(jīng)過點(diǎn)(a2，1)和(a2,1)，且與斜率為eq f(2,3)的直線垂直，則實(shí)數(shù)a的值為()Aeq f(2,3) Beq f(3,2) C.eq f(2,3) D.eq f(3,2)答案A解析易知a0不符合題意當(dāng)a0時，直線l的斜率keq f(2,a2a2)eq f(1,a)，由eq f(1,a)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)1，得aeq f(2,3)，故選A.5(多選)設(shè)點(diǎn)P(4,2)，Q(6，4)，R(12,6)，S(2,1

11、2)，下面四個結(jié)論正確的是()APQSR BPQPSCPSQS DPRQS答案ABD解析由斜率公式知，kPQeq f(42,64)eq f(3,5)，kSReq f(126,212)eq f(3,5)，kPSeq f(122,24)eq f(5,3)，kQSeq f(124,26)4，kPReq f(62,124)eq f(1,4)，PQSR，PQPS，PRQS.而kPSkQS，PS與QS不平行，故ABD正確6若經(jīng)過點(diǎn)(m，3)和(2，m)的直線l與斜率為4的直線互相垂直，則m的值是_答案eq f(14,5)解析由題意可知kleq f(1,4)，又因?yàn)閗leq f(m3,2m)，所以eq f(

12、m3,2m)eq f(1,4)，解得meq f(14,5).7直線l1，l2的斜率k1，k2是關(guān)于k的方程2k24km0的兩根，若l1l2，則m_，若l1l2，則m_.答案22解析由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得k1k2eq f(m,2)，若l1l2，則eq f(m,2)1，m2.若l1l2，則k1k2，即關(guān)于k的二次方程2k24km0有兩個相等的實(shí)根，(4)242m0，m2.8已知點(diǎn)A(3，2)，B(6,1)，點(diǎn)P在y軸上，且BAP90，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是_答案(0，11)解析設(shè)P(0，y)，由BAP90知，kABkAPeq f(12,63)eq f(y2,3)eq f(y2,9)1，解得y11.

13、所以點(diǎn)P的坐標(biāo)是(0，11)9當(dāng)m為何值時，過兩點(diǎn)A(1,1)，B(2m21，m2)的直線：(1)傾斜角為135；(2)與過兩點(diǎn)(3,2)，(0，7)的直線垂直；(3)與過兩點(diǎn)(2，3)，(4,9)的直線平行解(1)由kABeq f(m3,2m2)tan 1351，解得meq f(3,2)或m1.(2)由kABeq f(m3,2m2)，且eq f(72,03)3，則eq f(m3,2m2)eq f(1,3)，解得meq f(3,2)或m3.(3)令eq f(m3,2m2)eq f(93,42)2，解得meq f(3,4)或m1.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)meq f(3,4)或m1時，均符合題意10已知ABCD

14、中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4)(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)試判定ABCD是否為菱形？解(1)設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為(a，b)，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，所以kABkCD，kADkBC，所以eq blcrc (avs4alco1(f(02,51)f(b4,a3)，,f(b2,a1)f(40,35)，)解得eq blcrc (avs4alco1(a1，,b6.)所以D(1,6)(2)因?yàn)閗ACeq f(42,31)1，kBDeq f(60,15)1，所以kACkBD1，所以ACBD，所以ABCD為菱形11(多選)已知點(diǎn)A(m，3)，B(2m，m4)，C(m1,2)，D(1，0)，且直線AB

15、與直線CD平行，則m的值為()A1 B0C1 D2答案BC解析當(dāng)m0時，直線AB與直線CD的斜率均不存在且不重合，此時ABCD.當(dāng)m0時，kABeq f(m43,2mm)，kCDeq f(20,m11)，則kABkCD，即eq f(m1,m)eq f(2,m)，得m1，m0或1.12.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，以O(shè)(0,0)，A(1,1)，B(3,0)為頂點(diǎn)構(gòu)造平行四邊形，下列各點(diǎn)中不能作為平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)的是()A(3,1) B(4,1)C(2,1) D(2，1)答案A解析如圖所示，因?yàn)榻?jīng)過三點(diǎn)可構(gòu)造三個平行四邊形，即AOBC1，ABOC2，AOC3B.根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可知B，C

16、，D分別是點(diǎn)C1，C2，C3的坐標(biāo)，故選A.13若點(diǎn)P(a，b)與Q(b1，a1)關(guān)于直線l對稱，則l的傾斜角為()A135 B45 C30 D60答案B解析若ab1，則P，Q重合，不合題意，故直線PQ斜率存在kPQeq f(a1b,b1a)1，kPQkl1，l的斜率為1，傾斜角為45.14下列直線l1與直線l2(l1與l2不重合)平行的有_(填序號)l1經(jīng)過點(diǎn)A(2,1)，B(3,5)，l2經(jīng)過點(diǎn)C(3，3)，D(8，7)；l1的斜率為2，l2經(jīng)過點(diǎn)A(1,1)，B(2,2)；l1的傾斜角為60，l2經(jīng)過點(diǎn)M(1，eq r(3)，N(2，2eq r(3)；l1經(jīng)過點(diǎn)E(2,6)，F(xiàn)(2,3)

17、，l2經(jīng)過點(diǎn)P(3，3)，Q(3，6)答案解析kABeq f(51,32)eq f(4,5)，kCDeq f(73,83)eq f(4,5)，kABkCD，l1l2.eq f(21,21)12，l1不平行于l2.tan 60eq r(3)，eq f(r(3)2r(3),12)eq r(3)，l1l2.l1，l2的斜率均不存在，l1l2.15直線l的傾斜角為30，點(diǎn)P(2,1)在直線l上，直線l繞點(diǎn)P(2,1)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)30后到達(dá)直線l1的位置，此時直線l1與l2平行，且l2是線段AB的垂直平分線，其中A(1，m1)，B(m，2)，則m_.答案4eq r(3)解析如圖，直線l1的傾斜角為303060，直線l1的斜率k1tan 60eq r(3).由l1l2知，直線l2的斜率k2k1eq r(3).直線AB的斜率存在，且kABeq f(1,k2)eq f(r(3),3).eq f(m12,1m)eq f(m3,1m)eq f(r(3),3)，解得m4eq r(3).16已知ABC三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(2，