《工學(xué)行列式》教學(xué)課件

1、第二章 行列式行列式在歷史上原為求解線性方程組而引入，但在線性代數(shù)和其它數(shù)學(xué)領(lǐng)域以及工程技術(shù)中，行列式都是一個(gè)很重要的工具。本章主要介紹行列式的定義、性質(zhì)及其計(jì)算方法。第1頁，共79頁。1.1 二階、三階行列式，全排列及其逆序數(shù)1.2 n 階行列式的定義1.3 行列式的性質(zhì)（1）1.4 行列式性質(zhì)（2）1.5 克萊姆法則第2頁，共79頁。第一節(jié)二、三階行列式 全排列及其逆序數(shù)第3頁，共79頁。一、二階行列式與三階行列式注：該定義稱之為對(duì)角線法則。第4頁，共79頁。1.全排列：把 n 個(gè)不同的元素排成一列，叫做這 n 個(gè)元素的全排列（簡(jiǎn)稱排列）。2.逆序：對(duì)于 n 個(gè)不同的元素，先規(guī)定各元素之間

2、的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)次序（如 n 個(gè)不同的自然數(shù)，可規(guī)定由小到大）于是在這 n 個(gè)元素的任一排列中，當(dāng)某兩個(gè)元素的先后次序與標(biāo)準(zhǔn)次序不同時(shí)，就稱這兩個(gè)元素構(gòu)成了一個(gè)逆序。二、全排列與逆序數(shù)第5頁，共79頁。3.逆序數(shù)：一個(gè)排列中所有逆序的總和稱之為這個(gè)排列的逆序數(shù)。4.奇排列與偶排列：逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列，逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列。5.計(jì)算排列逆序數(shù)的方法： 不妨設(shè) n 個(gè)元素為1至 n 這 n 個(gè)自然數(shù)，并規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序。設(shè) p1 p2 pn為這 n 個(gè)自然數(shù)的一個(gè)排列，考慮元素 pi(i=1,2,n)，如果比 pi大的且排在 pi 前面的元素有i個(gè)，就說第6頁，共79頁。 pi

3、這個(gè)元素的逆序數(shù)是 i，即： ( p1 p2 pn)= 1 + 2 + n 就是這個(gè)排列的逆序數(shù)。例1 求排列13(2n 1)24(2n)的逆序數(shù)。解：在該排列中，1 (2n1)中每個(gè)奇數(shù)的逆序數(shù)全為0，2的逆序數(shù)為(n 1)，4的逆序數(shù)為(n 2),，(2n 2)的逆境序數(shù)為1，2n的逆序數(shù)為0，于是該排列的逆序數(shù)為第7頁，共79頁。例2 在19構(gòu)成的排列中,求j、k，使排列1 2 7 4 j 5 6 k 9為偶排列解：由題可知， j、k 的取值范圍為3，8 當(dāng) j = 3、k = 8時(shí)，經(jīng)計(jì)算可知，排列127435689的逆序數(shù)為5，即為奇排列 當(dāng) j= 8、k = 3時(shí)，經(jīng)計(jì)算可知，排列

4、127485639的逆序數(shù)為10，即為偶排列 j = 8，k = 3第8頁，共79頁。例3 設(shè)排列 p1 p2 p3pn的逆序數(shù)為k，求pnp3 p2 p1的逆序數(shù)（ p1 p2 p3pn是1 n的某一排列）解：因?yàn)?第9頁，共79頁。為方便計(jì)，也 可換種記數(shù)法，如比 pi小的且排在 pi 后面的元素有i個(gè)。第10頁，共79頁。第二節(jié)n階行列式的定義第11頁，共79頁。設(shè)有 n2 個(gè)數(shù)，排成 n 行 n 列的數(shù)表作出表中位于不同行不同列的n個(gè)元素的乘積，并冠以符號(hào)(-1)，得形如 的項(xiàng)，其中p1p2pn為自然數(shù)1、2、n的一個(gè)一、定義第12頁，共79頁。排列，為這個(gè)排列的逆序數(shù)。由于這樣的排列

5、共有 n! 個(gè)，因而形如(1)式的項(xiàng)共有 n! 項(xiàng)。所有這 n! 項(xiàng)的代數(shù)和第13頁，共79頁。其中 p1 p2 pn是1 n 的任一排列， 是排列p1 p2 pn的逆序數(shù)，即 = ( p1 p2 pn )。二、幾個(gè)特殊的行列式第14頁，共79頁。第15頁，共79頁。第16頁，共79頁。第17頁，共79頁。1.在排列中，將任意兩個(gè)元素對(duì)調(diào)位置，其余元素不動(dòng)，這種作出新排列的過程叫做對(duì)換。將相鄰兩元素對(duì)換，稱為相鄰對(duì)換。定理1:對(duì)換一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素，排列改變奇偶性。證明：該定理的證明可分為兩步來證。第一步來證明相鄰對(duì)換的情況,第二步證明一般情況。三、對(duì)換與排列奇偶性的關(guān)系第18頁，共79

6、頁。由此可見，相鄰對(duì)換將改變排列的奇偶性。再證一般情況，設(shè)：第19頁，共79頁。把 (1)作n+1次相鄰對(duì)換得(2)，把(2)再作 n 次相鄰對(duì)換可得(3)，即共作了 2n+1 次相鄰對(duì)換由(1)而得到(3)。由前可知，作一次相鄰對(duì)換，排列的奇偶性改變一次，故由(1)到(3)排列的奇偶性就改變了2n+1次，即由原來的奇排列就變成了偶排列或由原來的偶排列變成了奇排列。 第20頁，共79頁。定理2：n 元排列共有 n! 個(gè)，其中奇、偶排列的個(gè)數(shù)相等，各有 n!/2 個(gè)。證：設(shè)奇排列有p個(gè)，偶排列有q個(gè)。將每個(gè)奇排列的頭兩個(gè)數(shù)對(duì)換，則得一個(gè)偶排列，說明有多少奇排列，就至少有多少個(gè)偶排列。反之亦然，因

7、此，p=q。定理3：任意一個(gè) n 元排列都可以經(jīng)過一些對(duì)換變成自然排列，并且所作對(duì)換的個(gè)數(shù)與這個(gè)排列有相同的奇偶性。證明：因?yàn)榈?1頁，共79頁。四、行列式的等價(jià)定義第22頁，共79頁。五、關(guān)于等價(jià)定義的說明第23頁，共79頁。第24頁，共79頁。 這就表明，對(duì)換乘積項(xiàng)中兩元素的位置，從而行標(biāo)排列與列標(biāo)排列同時(shí)做了相應(yīng)的對(duì)換，但行標(biāo)排列與列標(biāo)排列的逆序數(shù)之和的奇偶性并不改變。第25頁，共79頁。定理4第26頁，共79頁。例5 寫出四階行列式中含有因子 的項(xiàng)。例6 若為四階行列式的項(xiàng)，試確定i與k，使前兩項(xiàng)帶正號(hào)，后一項(xiàng)帶負(fù)號(hào)。第27頁，共79頁。第28頁，共79頁。第三節(jié)行列式的性質(zhì)(1)第2

8、9頁，共79頁。第30頁，共79頁。第31頁，共79頁。第32頁，共79頁。第33頁，共79頁。第34頁，共79頁。第35頁，共79頁。第36頁，共79頁。第37頁，共79頁。第38頁，共79頁。第39頁，共79頁。第40頁，共79頁。 在利用行列式性質(zhì)進(jìn)行行列式計(jì)算時(shí)，基本的思路是把行列式化成三角行列式，當(dāng)然在化的過程中也要兼顧其它性質(zhì)的應(yīng)用。第41頁，共79頁。第42頁，共79頁。第43頁，共79頁。第44頁，共79頁。第45頁，共79頁。第46頁，共79頁。第47頁，共79頁。第48頁，共79頁。第49頁，共79頁。第50頁，共79頁。第51頁，共79頁。第52頁，共79頁。 在 n 階

9、行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行第 j 列劃去后，留下來的 n-1 階行列式叫做元素 aij 余子式，記作 Mij；記 Aij = (-1)i+j Mij， Aij叫做元素 aij 的代數(shù)余子式。一、余子式與代數(shù)余子式第四節(jié)行列式的性質(zhì)(2)第53頁，共79頁。第54頁，共79頁。二、k階子式及其余子式和代數(shù)余子式 在n階行列式D中任選k行k列，位于這k行k列的交叉點(diǎn)處的k2個(gè)元素按原來的位置組成的k階行列式M叫做D的一個(gè)k階子式。在D中劃去M所在的行與列，剩下的元素按原來的位置組成的n-k子式N叫做M的余子式。設(shè)M所在的行數(shù)與列數(shù)依次為i1i2ik，j1j2jk，M的余子式N乘以

10、叫做M的代數(shù)余子式。第55頁，共79頁。M 是 D 的一個(gè)2階子式，N是 M 的一個(gè)余子式，A 是 M 的一個(gè)代數(shù)余子式第56頁，共79頁。第57頁，共79頁。第58頁，共79頁。第59頁，共79頁。證明：第60頁，共79頁。證明：第61頁，共79頁。第62頁，共79頁。第63頁，共79頁。第64頁，共79頁。第65頁，共79頁。第66頁，共79頁。第67頁，共79頁。第68頁，共79頁。第69頁，共79頁。一、線性方程組第五節(jié)克萊姆法則第70頁，共79頁。二、克萊姆法則第71頁，共79頁。第72頁，共79頁。第73頁，共79頁。第74頁，共79頁。定理1：方程組(1)一定有解，且解是唯一的充要條件是線性方程組(1)的系數(shù)行列式D0。定理2：如果線性方程組(1)無解或有兩個(gè)不同的解，則它的系數(shù)行列式必