大一下高數(shù)11曲線積分與曲面

1、第六節(jié) 高斯公式Green 公式Gauss 公式推廣一、高 斯 公 式證明根據(jù)三重積分的計(jì)算法根據(jù)曲面積分的計(jì)算法同理-高斯公式和并以上三式得：Gauss公式的實(shí)質(zhì) 表達(dá)了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關(guān)系.由兩類(lèi)曲面積分之間的關(guān)系知二、簡(jiǎn)單的應(yīng)用解(利用柱面坐標(biāo)得)使用Guass公式時(shí)應(yīng)注意:解空間曲面在 面上的投影域?yàn)榍娌皇欠忾]曲面, 為利用高斯公式故所求積分為例3.設(shè) 為曲面取上側(cè), 求 例3.設(shè) 為曲面取上側(cè), 求 解: 作取下側(cè)的輔助面用柱坐標(biāo)用極坐標(biāo)三、小結(jié)2、高斯公式的應(yīng)用的條件1、高斯公式思考題曲面應(yīng)滿足什么條件才能使高斯公式成立？思考題解答曲面應(yīng)是分片

2、光滑的閉曲面.練 習(xí) 題練習(xí)題答案練習(xí)題練習(xí)題答案曲面積分總結(jié) 曲 面 積 分對(duì)面積的曲面積分對(duì)坐標(biāo)的曲面積分定義聯(lián)系計(jì) 算代入,換元,投影(與側(cè)無(wú)關(guān))代入,投影,定向 (與側(cè)有關(guān))思 考 題1) 二重積分是哪一類(lèi)積分? 答: 第一類(lèi)曲面積分的特例.2) 設(shè)曲面問(wèn)下列等式是否成立? 不對(duì) ! 對(duì)坐標(biāo)的積分與 的側(cè)有關(guān) 曲面積分的計(jì)算法歸納曲面積分第一類(lèi)( 對(duì)面積 )第二類(lèi)( 對(duì)坐標(biāo) )轉(zhuǎn)化二重積分(1) 統(tǒng)一積分變量 代入曲面方程(2) 積分元素投影第一類(lèi): 始終非負(fù)第二類(lèi): 有向投影(3) 確定二重積分域 把曲面積分域投影到相關(guān)坐標(biāo)面曲面積分計(jì)算的基本技巧(1) 利用對(duì)稱(chēng)性及重心公式簡(jiǎn)化計(jì)算

3、(2) 利用高斯公式注意公式使用條件添加輔助面的技巧(輔助面一般取平行坐標(biāo)面的平面)(3) 兩類(lèi)曲面積分的轉(zhuǎn)化例1. 其中 為半球面的上側(cè).計(jì)算例1. 其中 為半球面的上側(cè).且取下側(cè) , 提示: 以半球底面原式 =記半球域?yàn)?,高斯公式有計(jì)算為輔助面, 利用例2.單位外法向向量, 試證設(shè) 為簡(jiǎn)單閉曲面, a 為任意固定向量,n 為的 例2.證明: 設(shè)(常向量)則單位外法向向量, 試證設(shè) 為簡(jiǎn)單閉曲面, a 為任意固定向量,n 為的 例3. 計(jì)算曲面積分其中,例3. 計(jì)算曲面積分其中,解:思考: 本題 改為橢球面時(shí), 應(yīng)如何計(jì)算 ?提示: 在橢球面內(nèi)作輔助小球面內(nèi)側(cè), 然后用高斯公式 .曲線積分

4、曲面積分對(duì)面積的曲面積分對(duì)坐標(biāo)的曲面積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分定義計(jì)算定義計(jì)算聯(lián)系聯(lián)系曲線積分與曲面積分定積分曲線積分重積分曲面積分計(jì)算計(jì)算計(jì)算Green公式Guass公式各種積分之間的聯(lián)系1.定積分與不定積分的聯(lián)系牛頓-萊布尼茨公式2.二重積分與曲線積分的聯(lián)系格林公式3.三重積分與曲面積分的聯(lián)系高斯公式曲面面積的計(jì)算法SDxy曲頂柱體的表面積 如圖曲頂柱體，解由對(duì)稱(chēng)性例5解利用兩類(lèi)曲面積分之間的關(guān)系練習(xí)題1、B；2、C3、B；4、C練習(xí)題1、B；2、C3、B；4、C3、B；4、C 9. 已知平面區(qū)域L為D 的邊界, 試證 9. 已知平面區(qū)域L為D 的邊界, 試證證: (1) 根據(jù)格林公式所