概論與統(tǒng)計(jì)教學(xué)課件第四章-隨機(jī)變量的數(shù)字特征

1、第四章、隨機(jī)變量的數(shù)字特征第一節(jié)：數(shù)學(xué)期望第二節(jié)：方差第三節(jié)：協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)第四節(jié)：矩、協(xié)方差矩陣 在前面的課程中，我們討論了隨機(jī)變量及其分布，如果知道了隨機(jī)變量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了. 然而，在實(shí)際問題中，概率分布一般是較難確定的. 而在一些實(shí)際應(yīng)用中，人們并不需要知道隨機(jī)變量的一切概率性質(zhì)，只要知道它的某些數(shù)字特征就夠了.例： 在評(píng)定某地區(qū)糧食產(chǎn)量的水平時(shí)，最關(guān)心的 是平均產(chǎn)量； 考察居民的家庭收入情況，我們既知家庭的年平均收入， 又要研究貧富之間的差異程度； 因此，在對隨機(jī)變量的研究中，確定某些數(shù)字特征是重要的 .而所謂的數(shù)字特征就是用數(shù)字表示隨機(jī)變量的分布特點(diǎn)。

2、在這些數(shù)字特征中，最常用的是數(shù)學(xué)期望、方差、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)、原點(diǎn)矩和中心矩第一節(jié) 數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)引例：某射手射擊10次， 射擊成績?nèi)缦拢?.1 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望擊中環(huán)數(shù) xi 次數(shù) 8 9 10 3 1 6則他每次射擊平均命中的環(huán)數(shù)為： 若令 fi 表示頻率，則上式可表示為 由概率的統(tǒng)計(jì)定義知道，在大量試驗(yàn)下， 頻率 fi穩(wěn)定于概率 pi，以頻率為權(quán)數(shù)的加權(quán)平均值從而穩(wěn)定于第一節(jié) 數(shù)學(xué)期望定義1.1：設(shè)離散型隨機(jī)變量 X 的概率函數(shù)為 P (X =xk ) = pk k=1, 2, 若級(jí)數(shù) 絕對收斂，則稱此

3、級(jí)數(shù)的和為 X 的數(shù)學(xué)期望。簡稱期望或均值。記作 EX，即如果級(jí)數(shù) 發(fā)散，則稱 X 的數(shù)學(xué)期望不存在。說明 級(jí)數(shù) 的和應(yīng)與求和次序無關(guān)，因而要求絕對收斂.以概率為權(quán)數(shù)的加權(quán)平均值離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的求法-用定義例1：已知隨機(jī)變量 X 分布如表 所示, 求: EX.EX = 60.7 + 5.40.1 + 50.1 + 40.06 + 00.04 = 5.48解：例2：擲一枚均勻的骰子，用 X 表示出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，求 EX.解：X 的概率函數(shù)為 P(X=k)=1/6 ，k=1, 2, 3, 4, 5, 6EX= 0.7 0.1 0.1 0.06 0.04P 6 5.4 5 4 0X例3 （0-1

4、）分布的數(shù)學(xué)期望X服從0-1分布，其概率分布為XP0 11-p p若X 服從參數(shù)為 p 的0-1分布， 則EX = p概率函數(shù)為：例4 泊松分布的數(shù)學(xué)期望若X 服從參數(shù)為 的泊松分布， 則EX = 例5 二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望設(shè) X B(n, p)，概率函數(shù)為若X 服從參數(shù)為 n,p 的二項(xiàng)分布， 則EX = np記為定義1.2：設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X 的概率密度為 f (x)，若積分 絕對收斂，則稱積分 為 X 的數(shù)學(xué)期望。1.2 連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望的求法-用定義例1:計(jì)算在區(qū)間a, b上服從均勻分布的隨機(jī)變量 X 的數(shù)學(xué)期望.解：均勻分布的數(shù)學(xué)期望位于區(qū)間 a , b 的中點(diǎn).X

5、的密度函數(shù)為 例2：設(shè)隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為 的指數(shù)分布, 求 X 的數(shù)學(xué)期望.解：X 的密度函數(shù)為 指數(shù)分布的數(shù)學(xué)期望為 .例3：設(shè) X N ( , 2), 求 X 的數(shù)學(xué)期望.解：正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望為 .例4：設(shè)隨機(jī)變量 X 服從柯西 (Cauchy) 分布，其密度函數(shù)為由于1.3 隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 設(shè)已知隨機(jī)變量X的分布，我們需要計(jì)算的不是X的期望，而是X的某個(gè)函數(shù)的期望，比如說g(X)的期望. 那么應(yīng)該如何計(jì)算呢？ 一種方法是，因?yàn)間(X)也是隨機(jī)變量，故應(yīng)有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出來. 一旦我們知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定義把Eg(X)計(jì)算出來.

6、 那么是否可以不先求g(X)的分布而只根據(jù)X的分布求得Eg(X)呢？下面的定理指出，答案是肯定的. 使用這種方法必須先求出隨機(jī)變量函數(shù)g(X)的分布，一般是比較復(fù)雜的 .一維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望的求法定理1.1：設(shè) X 是一隨機(jī)變量, Y = g(X)，g(x) 是連續(xù)函數(shù),(2) 若 X 為連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為 f ( x )，(1) 若 X 為離散型隨機(jī)變量，其概率函數(shù)為求 E Y 時(shí),可以不求Y=g(X ) 的分布,而直接利用X 的分布.例1：設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布列為求：EX2，E(2X-1).解：P 1/8 1/4 3/8 1/4X -1 0 2 3解：例2:設(shè)X f(x)

7、=,Y = 4X + 1, 求: EY.解：例3:設(shè)X f(x)=,Y = sinX , 求: EY.二維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望的求法定理1.2：設(shè) (X, Y) 是二維隨機(jī)變量, 隨機(jī)變量 Z = g(X, Y), g(x, y)是二元連續(xù)函數(shù)，(1) 若 (X, Y ) 為二維離散型隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布為(2)若 (X ,Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量, 其聯(lián)合密度函數(shù)為 f ( x , y ) , 且解：求：E(X- Y)，EXY.例1：設(shè) (X, Y) 的聯(lián)合分布為Y X 0.10.20.1013210.20.10.3E(X- Y) = (0-1)0.1 +(0-2)0.2 +(0-3)0.

8、3E(XY) = (0 1)0.1 +(0 2)0.2 +(0 3)0.3+(1 1)0.2 +(1 2)0.1 +(1 3)0.1= 0.7 +(1-1)0.2 +(1-2)0.1 +(1-3)0.1= -1.7 解：例2：設(shè) (X,Y) 的聯(lián)合密度為求：E(-3X+2Y), EXY.EXYE(-3X+2Y)（1）設(shè)(X , Y )為二維離散型隨機(jī)變量，其分布律為 P (X = x i ，Y= y j ) = p i j (i , j = 1, 2, )其邊緣分布律為定理1.3則(2)若 (X ,Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量, f ( x , y ) , f X(x) , f Y(y) 分別為(

9、X ,Y)的概率密度與邊緣概率密度，則解：例(P92例10）：設(shè) (X,Y) 的聯(lián)合密度為求：Z=X，Z=XY，Z=max(X,Y)的數(shù)學(xué)期望.EZ=EXYEZ=EXEZ=Emax(X,Y)性質(zhì)1：常數(shù)的期望就是這個(gè)常數(shù)本身, 即 E(C) = C.1.4 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)證： 常量 C 可看作僅取一個(gè)值 C 的隨機(jī)變量,且取值 C 的概率為 1,即 X 的分布為 P(X = C) = 1, 其數(shù)學(xué)期望為推論：E(EX) = EXE(C) = C 1 = C性質(zhì)2：隨機(jī)變量 X 與常量 C 之和的數(shù)學(xué)期望等于 X 的期望與 這個(gè)常量 C 的和，即 E(X + C) = EX + C.證：X為離散

10、型時(shí):X為連續(xù)型時(shí):設(shè) X 的分布為 pk , 則設(shè) X 密度函數(shù)為 f(x) , 則性質(zhì)3：常量 C 與隨機(jī)變量 X 的乘積的期望等于 C 與 X 的期望的乘積，即 E(CX) = CEX.證：性質(zhì)4：隨機(jī)變量的線性函數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于這個(gè)隨機(jī)變量期 望的同一線性函數(shù)，即 E(kX+b) = kEX + b.證： E(kX+b) = E(kX) + b = kEX + bX為離散型時(shí):X為連續(xù)型時(shí):設(shè) X 的分布為 pk , 則設(shè) X 密度函數(shù)為 f(x) ,則性質(zhì)5：兩個(gè)隨機(jī)變量之和(差)的數(shù)學(xué)期望等于這兩個(gè)隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望之和(差) , 即 E (X Y) = EX EY.證： (X, Y

11、)為離散型時(shí): 設(shè) (X, Y) 的聯(lián)合分布為 pij , 邊緣分布分別為 pi(1) 和 pj(2) , 則 (X, Y)為連續(xù)型時(shí)：設(shè) (X, Y) 的聯(lián)合密度函數(shù)為 f (x, y), 邊緣密度函數(shù)分別為 f X (x)和 f Y (y), 則推論: 設(shè)隨機(jī)變量 Xi (i=1, 2, , n), 有更一般地，有對任意常數(shù) Ci (i=1, 2, , n) 及隨機(jī)變量 Xi (i=1, 2, , n), 有特別地，即 n 個(gè)隨機(jī)變量的算術(shù)平均數(shù)仍是一個(gè)隨機(jī)變量，其期望值等于這 n 個(gè)隨機(jī)變量期望的算術(shù)平均數(shù)。性質(zhì)6：兩個(gè)相互獨(dú)立隨機(jī)變量乘積的數(shù)學(xué)期望等于它們數(shù)學(xué)期望的乘積, 即 E(XY

12、) = EX EY證： (X, Y)為離散型時(shí):設(shè) (X, Y) 的聯(lián)合分布為 pij , 邊緣分布分別為 pi(1) 和 pj(2) , 則 (X, Y)為連續(xù)型時(shí)：設(shè) (X, Y) 的聯(lián)合密度函數(shù)為 f (x, y), 邊緣密度函數(shù)分別為 f X (x)和 f Y (y), 則數(shù)學(xué)期望性質(zhì)的應(yīng)用舉例例1：設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布列為求：E(2X-1).解：P 1/8 1/4 3/8 1/4X -1 0 2 3解：例2:設(shè)X f(x)=,Y = 4X + 1, 求: EY.或EX = 90.3+100.5+110.2 = 9.9例3：兩相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 X, Y 的分布如下面兩表所示。EY2

13、 = 620.4+720.6 = 43.80.20.50.3P11109X0.60.4P76Y求：E(X+Y) 、 E(XY) 和 EY 2E(XY) = EX EY = 9.96.6 = 65.34E(X +Y) = EX + EY = 9.9+6.6=16.5EY = 60.4+70.6 = 6.6解：因 X 與 Y 相互獨(dú)立，所以 解：利用性質(zhì)：求：E(X-Y).例4：設(shè) (X, Y) 的聯(lián)合分布為Y X 0.10.20.1013210.20.10.30.40.30.3P321Y 0.40.6P10X EX =00.6+10.4=0.4 EY =10.3+20.3 +30.4=2.1 E

14、(X-Y)=EX- EY=0.4-2.1=-1.7X與Y的分布為：按公式解：E(X- Y) = (0-1)0.1 +(0-2)0.2 +(0-3)0.3 +(1-1)0.2 +(1-2)0.1 +(1-3)0.1= -1.7 例5 一民航送客車載有20位旅客自機(jī)場開出，旅客有10個(gè)車站可以下車。如到達(dá)一個(gè)車站沒有旅客下車就不停車。以X表示停車次數(shù)，設(shè)每位旅客在各個(gè)車站下車是等可能的，并設(shè)各旅客是否下車相互獨(dú)立，求X的數(shù)學(xué)期望.若設(shè)則 X= X1+X2+X10i=1,2，10因?yàn)槿我宦每筒辉诘趇站下車的概率為9/10 ，所以，20位旅客都不在第i站下車的概率為(9/10)20 ，而在第i站有人下

15、車的概率為1-(9/10 )20 ，即于是所以小結(jié)： 本題是將X分解成數(shù)個(gè)隨機(jī)變量之和,然后利用隨機(jī)變量和的數(shù)學(xué)期望等于隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的和來求數(shù)學(xué)期望的,此方法具有一定的意義. 這一節(jié)，我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，它反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，是隨機(jī)變量的一個(gè)重要的數(shù)字特征. 接下來的一節(jié)中，我們將學(xué)習(xí)隨機(jī)變量另一個(gè)重要的數(shù)字特征：方差第二節(jié) 方差 上一節(jié)我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，它體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均水平，是隨機(jī)變量的一個(gè)重要的數(shù)字特征. 但是在一些場合，僅僅知道平均值是不夠的. 由此可見,研究隨機(jī)變量與其均值的偏離程度是十分必要的.那么,用怎樣的量去度量這個(gè)偏離程度呢?容易看

16、到這個(gè)數(shù)字特征就是我們這一節(jié)要介紹的方差 能度量隨機(jī)變量與其均值E(X)的偏離程度. 但由于上式帶有絕對值,運(yùn)算不方便,通常用量來度量隨機(jī)變量X與其均值E(X)的偏離程度.2.1方差的定義定義：如果隨機(jī)變量 X 的數(shù)學(xué)期望 EX 存在，稱 X - EX 為 隨機(jī)變量 X 的離差.定義2.1：設(shè) X 是隨機(jī)變量，且 EX 存在，若 E(X-EX)2存在，則稱 E(X-EX)2 是 X 的方差，記作 DX 或 VarX，即 離差平方的數(shù)學(xué)期望DX=VarX=E(X-EX)2若X的取值比較分散，則方差DX較大. 方差刻劃了隨機(jī)變量的取值對于其數(shù)學(xué)期望的離散程度 .若X的取值比較集中，則方差DX較小；

17、因此，DX是刻畫X取值分散程度的一個(gè)量，它是衡量X取值分散程度的一個(gè)尺度。若X的取值比較分散，則方差DX較大. 方差刻劃了隨機(jī)變量的取值對于其數(shù)學(xué)期望的離散程度 .若X的取值比較集中，則方差DX較小；因此，DX是刻畫X取值分散程度的一個(gè)量，它是衡量X取值分散程度的一個(gè)尺度。X為離散型，分布率PX=xk=pk 由定義知，方差是隨機(jī)變量 X 的函數(shù) g(X)=X-E(X)2 的數(shù)學(xué)期望 .方差的計(jì)算X為連續(xù)型，X概率密度f(x)計(jì)算方差的一個(gè)簡化公式:證： DX = E(X-EX)2= EX2 - 2XEX + (EX)2= EX2 - E(2XEX) + E(EX)2= EX2 - 2EXE(X

18、) + (EX)2= EX2 - (EX)2DX = EX 2 - (EX)2展開利用期望性質(zhì)解： EX = 0.2 EX2 = (-10)20.2+(-5)20.2+120.2+520.2+1020.2 =50.2DX = EX2 - (EX)2 = 50.2 - 0.22 = 50.16例1：X 有如下分布律:求：DX .0.20.20.20.20.2P1051-5-10X 2x 0 x 0, 令隨機(jī)變量則X 的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量.P99 Ex2方差性質(zhì)的應(yīng)用舉例例: 設(shè)XB(n,p)，證明：EX=np，DX=npq.且 Xi 服從參數(shù)為 p 的 0-1 分布，作 n 重貝努里實(shí)驗(yàn), 每次試驗(yàn)

19、中事件 A 發(fā)生的概率為 p, 隨機(jī)變量 X 表示“n重貝努里試驗(yàn)中事件 A 發(fā)生的次數(shù)”, 則 XB(n, p).假設(shè)第 i 次試驗(yàn)時(shí)事件 A 發(fā)生的次數(shù)為 X i ,因此有 EXi = p , DXi = pq , X1, X2, , X n 獨(dú)立則 X = X 1+ X 2 + + X n ,例: 設(shè)XN(,2)，求：DX.解 令隨機(jī)變量又EY=0,所以，例如,常見隨機(jī)變量的分布及其期望值和方差分布名稱概率函數(shù)或密度函數(shù)期望方差0 1 分布二項(xiàng)分布幾何分布普哇松分布P(X=k) = (1-p) k -1p (k =1,2,)P(X=k) = pkq1-k (k = 0, 1)ppq常見隨

20、機(jī)變量的分布及其期望值和方差分布名稱概率函數(shù)或密度函數(shù)期望方差均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布例1: 假定每個(gè)人的生日在各個(gè)月份的機(jī)會(huì)是相同的，求 3 個(gè)人的生日在第一季度的平均人數(shù).解：每個(gè)人的生日在第一季度的概率用 X 表示三個(gè)人中生日在第一季度的人數(shù)，則 X B(3, ) , 例2: 設(shè) X 的概率函數(shù)為 ， 求 EX 及 DX .解：即 X 服從參數(shù)為 的幾何分布，例3: 設(shè) X 的密度函數(shù)為 求 E(2X+1) 及 D(2X+1) .解：X 服從參數(shù)為 的指數(shù)分布，E(2X+1) = 2EX+1 = 5D(2X+1) = 4DX = 16例4: 設(shè) X 的密度函數(shù)為 ， 求 EX 及 DX

21、.解：則 X N(1 , 1/2) ,EX = 1, DX = .第三節(jié) 協(xié)方差及相關(guān)系數(shù) 前面我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差，對于二維隨機(jī)變量（X，Y），我們除了討論X與Y的數(shù)學(xué)期望和方差以外，還要討論描述X和Y之間關(guān)系的數(shù)字特征，這就是本講要討論的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)3.1 協(xié)方差定義3.1 設(shè)二維隨機(jī)變量 (X, Y) , 若 E(X- EX)(Y- EY) 存在, 稱它為X 與 Y 的協(xié)方差. 記作 Cov(X, Y), 即顯然： Cov(X, X) = DXCov(X, Y)= E(X - EX)(Y - EY)協(xié)方差的定義D(XY)=DX+DY2E(X-EX)(Y-EY)說明證明：

22、 Cov(X, Y) = E(X-EX)(Y-EY) = E( XY XEY YEX + EXEY ) = E(XY) E(XEY) E(YEX) + E(EXEY) = EXY - EXEY1o 若 X 與Y 獨(dú)立，則 Cov(X ,Y) = 02o 對 X與 Y 有: D(X Y) =DX+DY 2Cov(X ,Y)協(xié)方差的計(jì)算公式Cov(X, Y) = EXY - EXEY性質(zhì)4： Cov(X1+ X2, Y) =Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)協(xié)方差的性質(zhì)性質(zhì)2： Cov(X,Y) = Cov(Y, X) 性質(zhì)3： Cov(aX, bY) = abCov(X,Y)設(shè) a , b

23、, c 都是常數(shù)，Cov(X,Y) = E (X- EX)(Y- EY)性質(zhì)5： D(X Y) = DX + DY 2Cov(X,Y)性質(zhì)1： Cov(X, X) = DX D(aX bY) = a2DX + b2DY 2abCov(X,Y)性質(zhì)6：若X 與 Y 獨(dú)立， 則Cov(X,Y)= 0 .例1：設(shè)二維隨機(jī)變量 (X, Y) 的聯(lián)合分布如右表所示, 求 Cov(X, Y).XY -1 0 1 -1 1/8 1/8 1/8 0 1/8 0 1/8 1 1/8 1/8 1/8X -1 0 1P 3/8 2/8 3/8Y -1 0 1P 3/8 2/8 3/8解: X, Y 的邊緣分布：EX

24、 = (-1)3/8 + 02/8 + 13/8 = 0,Cov(X, Y) = E(XY) - EXEY = 0但 P(X= 0, Y= 0) P(X=0) P(Y=0), X與Y不獨(dú)立. X 與Y 獨(dú)立Cov(X, Y) = 0EY = 0= 0？解：由定理1.3，得例2：設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量 (X, Y) 的聯(lián)合密度為： 求： Cov(X, Y).定義3.11：對于二維隨機(jī)變量 (X, Y), Cov(X, Y)存在, 且DX 0, DY 0, 則稱 為 X 與 Y 的相關(guān)系數(shù),記作 X,Y 或簡記作 .即：3.2 相關(guān)系數(shù)Cov(aX,aY) = a2Cov(X,Y)相關(guān)系數(shù)的定義例1

25、：已知 DX = 25 , DY = 36 , = 0.4 ,求 D(X+Y) , D(X-Y) , D(2X+3Y).解:D(X + Y) = DX + DY + 2Cov(X , Y) = 25 + 36 + 212 = 85D(X - Y) = DX + DY - 2Cov(X , Y) = 25 + 36 - 212 = 37D(2X +3Y) = 4DX + 9DY + 12Cov(X , Y) = 100 + 324 + 1212 = 568例2：設(shè)二維隨機(jī)變量 (X , Y) 的聯(lián)合分布如右表所示, 求 X ,Y 解：可求出X ,Y的邊緣分布：X 1 2P 0. 3 0.7Y -

26、1 0 1P 0.3 0.6 0.1 EX = 10.3+20.7 = 1.7 , EY = -0.2Cov(X ,Y) = E(XY) - EX EY = - 0.5 -1.7(- 0.2) = - 0.16X Y -1 0 1 1 0 0.2 0.1 2 0.3 0.4 0相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)性質(zhì) 1：設(shè)隨即變量 X 與 Y 的相關(guān)系數(shù)為 , 則 | | 1.性質(zhì) 2：設(shè) 是 X 與 Y 的相關(guān)系數(shù)，則 | | = 1 的充要條件是 X 與 Y 以概率 1 存在線性關(guān)系. 即存在常數(shù) a , b, 使得 P (Y = aX + b) = 1| | = 1 = 1 完全正相關(guān)稱 X 與 Y 完全線

27、性相關(guān) = -1 完全負(fù)相關(guān)| | 1X 與 Y 之間線性相關(guān)的程度將隨著 | | 的減少而減弱。| | = 0稱 X 與 Y 不相關(guān)或零相關(guān).由此可見相關(guān)系數(shù) 是刻劃隨機(jī)變量之間線性關(guān)系強(qiáng)弱的特征數(shù)即 X 與 Y 不線性相關(guān).注1: = 0 表明 X 與 Y 無線性關(guān)系 , 而不是 X 與 Y無任何關(guān)系(獨(dú)立).分析：獨(dú)立無任何關(guān)系無線性關(guān)系無非線性關(guān)系 = 0注2：對隨即變量 X 與 Y ，下列結(jié)論是不相關(guān)的等價(jià)命題： X 與 Y 不相關(guān)( =0)D(XY) = DX+DYEXY = EXEYCov(X ,Y) = 0注3: X 與 Y 獨(dú)立 ，則 X 與 Y 不相關(guān)（ = 0 ）. 但反之不一定成立.特別地：若 (X, Y) N( 1, 2, 12, 22, ) 時(shí),X 與 Y 獨(dú)立 X 與 Y 不相關(guān)（ = 0 ）例: 設(shè)隨機(jī)變量 0 , 2 上的均勻分布, 又有 X = sin , Y = cos , 求： XY . 解： 的密度函數(shù)為: X Y = 0結(jié)論： X Y = 0, 即 X 與 Y 不相關(guān)，但明顯有 X2 + Y 2 = 1 ， 這說明了 X 與 Y 存在非線性關(guān)系，這時(shí) X 與 Y 不獨(dú)立.小結(jié) 這一節(jié)我