豎直方向的簡諧振動

1、豎直方向的簡諧振動一、模型介紹如圖1 (a)所示，把一根彈簧上端固定，下端系一個物體靜止，然后再把物體向下拉 一段距離后松手，物體將在豎直方向振動，若不計彈簧的質(zhì)量及空氣阻力，則此物體的運(yùn)動 是簡諧振動(同學(xué)們可結(jié)合簡諧振動的動力學(xué)特點F由-kx加以證明)，簡諧振動的各種規(guī) 律、特點對其都適用，但和教材中的彈簧振子模型相比較，豎直方向的簡諧振動的平衡位置 并不是彈簧的原長位置，而是彈力和振子重力相等的位置，在利用簡諧振動的對稱性解題時 應(yīng)格外注意！(a)(b)圖1(b)所示的情境中，若物體和彈簧是固定在一起的，則效果與圖1相同；若物體 和彈簧不是固定在一起的，則當(dāng)振幅A mg / k時，效果與

2、圖1相同，當(dāng)振幅A mg / k時，物體在高度較大的部分要脫離彈簧，而接觸彈簧的運(yùn)動過程為簡諧振動的一部分，對此也應(yīng) 引起注意！熟悉豎直方向簡諧振動模型的特點和規(guī)律并加以靈活應(yīng)用、拓展、遷移，會給我們的解 題帶來極大的方便，下面舉例說明。二、典型例題如圖2所示，質(zhì)量為M的框架置于水平地面上，在其頂部通 過一個輕彈簧懸掛一個盤，盤內(nèi)有一砝碼，砝碼與盤質(zhì)量皆為m， 該裝置靜止穩(wěn)定時，若將盤中砝碼突然取走，盤將開始向上運(yùn)動， 則砝碼盤運(yùn)動到最高點時，框架對地面壓力大小是多少？解析盤內(nèi)砝碼被取走后，盤與輕彈簧所組成的彈簧振子 將開始做簡諧運(yùn)動.在取走砝碼的瞬間，盤所受合外力即回復(fù)力 方向向上，大小為m

3、g，由簡諧運(yùn)動的回復(fù)力大小和方向關(guān)于平衡 位置的對稱性可知，當(dāng)盤運(yùn)動到最高點時，它所受到的回復(fù)力也 應(yīng)為mg，正好等于重力，所以此時彈簧形變?yōu)榱?，無彈力，顯然 此時框架對地面壓力為Mg.點撥簡諧運(yùn)動的對稱性不只是關(guān)于平衡位置對稱的兩點處的回復(fù)力，還有加速度、 位移、動能、勢能，另外還有通過對稱的兩段長度用的時間也相等.這些對稱性，在解答問 題時會用到，要熟練掌握.三、思維推展題設(shè)條件下，為了使框架不離開地面，所放砝碼的質(zhì)量應(yīng)滿足什么條件？解析設(shè)所放砝碼的質(zhì)量為m0時，盤運(yùn)動到最高點M恰要離開地面，同樣根據(jù)振 動最高點和最低點回復(fù)力的對稱性可知，盤在最高點的回復(fù)力為m0g。若設(shè)此時彈簧的彈力為F

4、,則對托盤有：mg = F + mg .（1）;對框架有：F = Mg（2）；聯(lián)立（1） （2）解得：m = M + m ;為了使框架不離開地面m應(yīng)滿足：m M + m（2）如圖3（a）所示，質(zhì)量為m的木塊放在彈簧上端，在豎直方向做簡諧振動，當(dāng)振 幅為A時，物體對彈簧的壓力最大值是物體重力的1.5倍，則物體對彈簧的最小壓力 是；欲使物體在振動中不離開彈簧，其振幅不能超 。(a)（b）圖3解析根據(jù)振動的對稱性不難得到木塊對彈簧的最小壓力是0.5 mg ；在平衡位置O 彈力F滿足：F = kx = mg （1）；振幅為A時在最低點的彈力F = 1.5 mg = kx （2）；如圖3（b）所示，設(shè)想

5、木塊在振動中恰不離開彈簧，則在最高點H，彈簧應(yīng)剛好恢復(fù) 原長，木塊受到的合力（回復(fù)力）為mg，結(jié)合振動的對稱性可知，木塊在最低點L受到的 合力也應(yīng)為mg，即彈力F = 2mg = kx （3）又 A = x - x ； A/ = x - x，結(jié)合（1）（2）（3）解得：A/ = 2 A。1020（3）如圖4（a）所示，一升降機(jī)在箱底裝有若干個彈簧，設(shè)在某次事故中，升降機(jī)吊 索在空中斷裂，忽略摩擦力，則升降機(jī)在從彈簧下端觸地后直到最低點的一段運(yùn)動過程中 ()（A）升降機(jī)的速度不斷減?。˙）升降機(jī)的加速度不斷變大（C）先是彈力做的負(fù)功小于重力做的正功，然后是彈力做的負(fù)功大于重力做的正功（D）至U最

6、低點時，升降機(jī)加速度的值一定大于重加力速度的值。(a)(b)解析升降機(jī)在從彈簧下端觸地后直到最低點的一段運(yùn)動過程可等效為豎直面內(nèi)簡 諧振動的一部分，如圖4（b）所示，從A - O - A / - L，O為振動的平衡位置，故升降機(jī) 先做加速運(yùn)動后做減速運(yùn)動，加速度先減小后反向增加，彈力先小于重力后大于重力，選項 A、B錯誤，選項C正確。升降機(jī)剛接觸彈簧（A點）時，具有豎直向下的速度刃豎直向下的加速度g；根據(jù)振 動的對稱性，當(dāng)升降機(jī)越過平衡位置O到達(dá)其對稱點A/時，一定仍具有豎直向下的速度V， 而加速度方向應(yīng)豎直向上，大小仍為g；升降機(jī)繼續(xù)向下運(yùn)動，加速度繼續(xù)增加，因此，到 最低點時，升降機(jī)加速度的值一定大于重加力速度的值，選項亦D正確綜合以上分析知答案為C、D。說明借助以上模型遷移思想，我們可以快速處理很多聯(lián)系實際的