IIR數(shù)字低通濾波器的設(shè)計(jì)

1、數(shù)字信號(hào)處理課程設(shè)計(jì)報(bào)告題 目： IIR數(shù)字低通濾波器的設(shè)計(jì) 學(xué) 院： 專 業(yè)： 班 級(jí)： 姓 名： 指導(dǎo)教師： 2012年 6月24日目 錄 TOC o 1-3 h z u HYPERLINK l _Toc295597235 1.課程設(shè)計(jì)的目的及要求 PAGEREF _Toc295597235 h 1 HYPERLINK l _Toc295597236 課程設(shè)計(jì)的目的 PAGEREF _Toc295597236 h 1 HYPERLINK l _Toc295597237 課程設(shè)計(jì)的要求 PAGEREF _Toc295597237 h 1 HYPERLINK l _Toc295597238 2

2、.設(shè)計(jì)的理論基礎(chǔ) PAGEREF _Toc295597238 h 1 HYPERLINK l _Toc295597239 數(shù)字濾波器的工作原理 PAGEREF _Toc295597239 h 1 HYPERLINK l _Toc295597240 2.2 數(shù)字濾波器的基本特性 PAGEREF _Toc295597240 h 2 HYPERLINK l _Toc295597241 2.3 數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu) PAGEREF _Toc295597241 h 4 HYPERLINK l _Toc295597242 2.4 IIR和FIR濾波器的區(qū)別 PAGEREF _Toc295597242 h

3、4 HYPERLINK l _Toc295597243 概述 PAGEREF _Toc295597243 h 5 HYPERLINK l _Toc295597244 數(shù)字低通濾波器的設(shè)計(jì) PAGEREF _Toc295597244 h 6 HYPERLINK l _Toc295597245 4.1 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法 PAGEREF _Toc295597245 h 6 HYPERLINK l _Toc295597246 4.2 IIR濾波器經(jīng)典設(shè)計(jì) PAGEREF _Toc295597246 h 7 HYPERLINK l _Toc295597247 4.3 MATLAB仿真步驟 PA

4、GEREF _Toc295597247 h 11 HYPERLINK l _Toc295597248 4.4 程序清單 PAGEREF _Toc295597248 h 12 HYPERLINK l _Toc295597249 5.總結(jié) PAGEREF _Toc295597249 h 13 HYPERLINK l _Toc295597250 參考文獻(xiàn)： PAGEREF _Toc295597250 h 141.課程設(shè)計(jì)的目的及要求（1）學(xué)會(huì)MATLAB的使用，掌握MATLAB的程序設(shè)計(jì)方法；（2）掌握數(shù)字信號(hào)處理的基本概念、基本理論和基本方法；（3）掌握MATLAB設(shè)計(jì)IIR濾波器；（4）學(xué)會(huì)用M

5、ATLAB對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析處理。課程設(shè)計(jì)的要求濾波器的主要技術(shù)指標(biāo)取決于具體的應(yīng)用或相互間的相互關(guān)系。具體的有最大通帶增益（即通帶允許起伏）；最大阻帶增益；通帶截止頻率；阻帶截止頻率。本設(shè)計(jì)中要求的技術(shù)指標(biāo)是：通帶截止頻率=2，阻帶截止頻率，通帶衰減小于3dB，阻帶衰減大于15dB,采樣頻率。2.設(shè)計(jì)的理論基礎(chǔ)在數(shù)字濾波中，我們主要討論離散時(shí)間序列。如圖2.1所示。設(shè)輸入序列為，離散或數(shù)字濾波器對(duì)單位抽樣序列的響應(yīng)為。因在時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)中所起的作用相當(dāng)于單位沖激函數(shù)在時(shí)域連續(xù)信號(hào)和系統(tǒng)中所起的作用。圖2.1 數(shù)字濾波器原理數(shù)字濾波器的序列將是這兩個(gè)序列的離散卷積，即 同樣，兩個(gè)序列卷積的z變

6、換等于個(gè)自z變換的乘積，即 用代入上式，其中T為抽樣周期，則得到 式中和 分別為數(shù)字濾波器輸入序列和輸出序列的頻譜，而為單位抽樣序列響應(yīng)的頻譜。由此可見(jiàn)，輸入序列的頻譜經(jīng)過(guò)濾波后，變?yōu)?，按照的特點(diǎn)和我們處理信號(hào)的目的，選取適當(dāng)?shù)氖沟臑V波后的符合我們的要求。2.2 數(shù)字濾波器的基本特性 TC 1.2.1 模擬濾波器與數(shù)字濾波器的基本特性 f C l 3 如果利用離散時(shí)間系統(tǒng)對(duì)數(shù)字信號(hào)（時(shí)間離散、幅度量化的信號(hào)）進(jìn)行濾波則構(gòu)成數(shù)字濾波器。數(shù)字濾波器的差分方程表示為： 系統(tǒng)函數(shù)表示: 數(shù)字濾波器的特性通常用其頻率響應(yīng)函數(shù)來(lái)描述，包括幅度特性和相位特性。按信號(hào)通過(guò)系統(tǒng)時(shí)的特性（主要是幅頻特性）來(lái)分類

7、：可以有低通、高通、帶通和帶阻四種基本類型。（1）低通數(shù)字濾波器：圖所示 |H(ej)|c-c-22-fs/2-fsfs/2fs-fcfcf圖 低通數(shù)字濾波器的頻譜（2）高通數(shù)字濾波器：圖2.3所示|H(ej)|c-c-22圖2.3 高通數(shù)字濾波器的頻譜（3）帶通數(shù)字濾波器：圖2.4所示|H(ej)|2-2-221-1圖2.4 帶通數(shù)字濾波器的頻譜（4）帶阻數(shù)字濾波器：圖2.5所示1|H(ej)|2-2-22-1圖2.5 帶阻數(shù)字濾波器的頻譜2.3 數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu) （1）直接型 （2）直接型 優(yōu)點(diǎn)：延遲器減少一半，變?yōu)镹個(gè)，可以節(jié)省存儲(chǔ)器或存儲(chǔ)單元。 缺點(diǎn)：其他缺點(diǎn)同直接型 （3）IIR

8、濾波器的級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu) 優(yōu)點(diǎn)：系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，只需一個(gè)二階系統(tǒng)通過(guò)改變輸入系數(shù)即可完成，極點(diǎn)位置可以單獨(dú)調(diào)整，運(yùn)算速度快，各二階網(wǎng)絡(luò)的誤差互不影響，總的誤差小，對(duì)字長(zhǎng)要求低。 缺點(diǎn)：不能直接調(diào)整零點(diǎn)，因多個(gè)二階的零點(diǎn)并不是整個(gè)系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)，當(dāng)需要準(zhǔn)確的傳輸零點(diǎn)時(shí)，級(jí)聯(lián)型最合適。 （4）IIR濾波器的并聯(lián)型結(jié)構(gòu) 優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)單實(shí)現(xiàn)，用一個(gè)二階的，通過(guò)變換系數(shù)就可實(shí)現(xiàn)整個(gè)系統(tǒng)。零極點(diǎn)可單獨(dú)控制，調(diào)整。各二階零極點(diǎn)的搭配可互換位置，優(yōu)化組合以減小運(yùn)算誤差，可流水線操作。 缺點(diǎn)：二階電平難控制，電平大，容易導(dǎo)致溢出，電平小則是信噪比減小。2.4 IIR和FIR濾波器的區(qū)別 TC 1.2.2 IIR和有限沖擊響

9、應(yīng)FIR濾波器 f C l 3 按系統(tǒng)沖擊響應(yīng)（或差分方程）可以分成無(wú)限沖擊響應(yīng) IIR和有限沖擊響應(yīng)FIR濾波器兩類。這兩種濾波器都可以現(xiàn)實(shí)各種頻率特性要求，但它們?cè)谟?jì)算流程、具體特性逼近等方面是有差別的。(1) FIR濾波器(非遞歸型):(2) IIR濾波器（遞歸型）3.MATLAB概述MATLAB是由美國(guó)mathworks公司發(fā)布的主要面對(duì)科學(xué)計(jì)算、可視化以及交互式程序設(shè)計(jì)的高科技計(jì)算環(huán)境。它將數(shù)值分析、矩陣計(jì)算、科學(xué)數(shù)據(jù)可視化以及非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的建模和仿真等諸多強(qiáng)大功能集成在一個(gè)易于使用的視窗環(huán)境中，為科學(xué)研究、工程設(shè)計(jì)以及必須進(jìn)行有效數(shù)值計(jì)算的眾多科學(xué)領(lǐng)域提供了一種全面的解決方案，并

10、在很大程度上擺脫了傳統(tǒng)非交互式程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言（如C、Fortran）的編輯模式，代表了當(dāng)今國(guó)際科學(xué)計(jì)算軟件的先進(jìn)水平。MATLAB 產(chǎn)品族可以用來(lái)進(jìn)行以下各種工作：數(shù)值分析，數(shù)值和符號(hào)計(jì)算，工程與科學(xué)繪圖，控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與仿真，通訊系統(tǒng)設(shè)計(jì)與仿真，財(cái)務(wù)與金融工程，（1）友好的工作平臺(tái)和編程環(huán)境MATLAB由一系列工具組成。這些工具方便用戶使用MATLAB的函數(shù)和文件，其中許多工具采用的是圖形用戶界面。包括MATLAB桌面和命令窗口、歷史命令窗口、編輯器和調(diào)試器、路徑搜索和用于用戶瀏覽幫助、工作空間、文件的瀏覽器。隨著MATLAB的商業(yè)化以及軟件本身的不斷升級(jí)，MATLAB的用戶界面也越來(lái)越精致，

11、更加接近Windows的標(biāo)準(zhǔn)界面，人機(jī)交互性更強(qiáng)，操作更簡(jiǎn)單。（2）簡(jiǎn)單易用的程序語(yǔ)言Matlab一個(gè)高級(jí)的矩陣/陣列語(yǔ)言，它包含控制語(yǔ)句、函數(shù)、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、輸入和輸出和面向?qū)ο缶幊烫攸c(diǎn)。用戶可以在命令窗口中將輸入語(yǔ)句與執(zhí)行命令同步，也可以先編寫(xiě)好一個(gè)較大的復(fù)雜的應(yīng)用程序（M文件）后再一起運(yùn)行。（3）強(qiáng)大的科學(xué)計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)處理能力MATLAB是一個(gè)包含大量計(jì)算算法的集合。其擁有600多個(gè)工程中要用到的數(shù)學(xué)運(yùn)算函數(shù)，可以方便的實(shí)現(xiàn)用戶所需的各種計(jì)算功能。函數(shù)中所使用的算法都是科研和工程計(jì)算中的最新研究成果，而前經(jīng)過(guò)了各種優(yōu)化和容錯(cuò)處理。在通常情況下，可以用它來(lái)代替底層編程語(yǔ)言，如C和C+ 。在計(jì)算要

12、求相同的情況下，使用MATLAB的編程工作量會(huì)大大減少。（4）出色的圖形處理功能MATLAB自產(chǎn)生之日起就具有方便的數(shù)據(jù)可視化功能，以將向量和矩陣用圖形表現(xiàn)出來(lái)，并且可以對(duì)圖形進(jìn)行標(biāo)注和打印。高層次的作圖包括二維和三維的可視化、圖象處理、動(dòng)畫(huà)和表達(dá)式作圖?？捎糜诳茖W(xué)計(jì)算和工程繪圖。（5）應(yīng)用廣泛的模塊集合工具箱MATLAB對(duì)許多專門的領(lǐng)域都開(kāi)發(fā)了功能強(qiáng)大的模塊集和工具箱。一般來(lái)說(shuō)，它們都是由特定領(lǐng)域的專家開(kāi)發(fā)的，用戶可以直接使用工具箱學(xué)習(xí)、應(yīng)用和評(píng)估不同的方法而不需要自己編寫(xiě)代碼。（6）實(shí)用的程序接口和發(fā)布平臺(tái)新版本的MATLAB可以利用MATLAB編譯器和C/C+數(shù)學(xué)庫(kù)和圖形庫(kù)，將自己的MA

13、TLAB程序自動(dòng)轉(zhuǎn)換為獨(dú)立于MATLAB運(yùn)行的C和C+代碼。允許用戶編寫(xiě)可以和MATLAB進(jìn)行交互的C或C+語(yǔ)言程序。（7）應(yīng)用軟件開(kāi)發(fā)（包括用戶界面） 在開(kāi)發(fā)環(huán)境中，使用戶更方便地控制多個(gè)文件和圖形窗口；在編程方面支持了函數(shù)嵌套，有條件中斷等；在圖形化方面，有了更強(qiáng)大的圖形標(biāo)注和處理功能，包括對(duì)性對(duì)起連接注釋等。4.IIR數(shù)字低通濾波器的設(shè)計(jì)4.1 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法 TC 3.1 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法 f C l 2 IIR濾波器是一種數(shù)字濾波器，濾波器的系統(tǒng)函數(shù)如式 由于它的脈沖響應(yīng)序列是無(wú)限長(zhǎng)的，故稱無(wú)限沖激響應(yīng)濾波器。IIR濾波器的設(shè)計(jì)就是根據(jù)濾波器某些性能指標(biāo)要求，設(shè)

14、計(jì)濾波器的分子和分母多項(xiàng)式。它和FIR濾波器相比優(yōu)點(diǎn)是在滿足相同性能指標(biāo)要求條件下，IIR濾波器的階數(shù)要明顯低于FIR濾波器。但I(xiàn)IR濾波器的相位是非線性的。IIR濾波器設(shè)計(jì)方法可分為三種：模擬濾波器變換（經(jīng)典設(shè)計(jì)法）、直接設(shè)計(jì)法、參數(shù)模型設(shè)計(jì)法、最大平滑濾波器設(shè)計(jì)。本設(shè)計(jì)選用的是模擬濾波器變化法（經(jīng)典設(shè)計(jì)法）。4.2 IIR濾波器經(jīng)典設(shè)計(jì) TC 3.2 IIR濾波器經(jīng)典設(shè)計(jì) f C l 2 基于模擬濾波器變換原理，首先是根據(jù)濾波器的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)出相應(yīng)的模擬濾波器，然后再將設(shè)計(jì)好的模擬濾波器變換成滿足給定技術(shù)指標(biāo)的數(shù)字濾波器。這就是IIR濾波器設(shè)計(jì)的經(jīng)典法。在MATLAB中，經(jīng)典法設(shè)計(jì)IIR數(shù)

15、字濾波器采用下面的主要步驟：模擬低通濾波原型頻率變換模擬離散化IIR濾波器圖 IIR經(jīng)典法設(shè)計(jì)步驟第二步完成后，一個(gè)達(dá)到期望性能指標(biāo)的模擬濾波器（低通、高通、帶通和帶阻）已經(jīng)設(shè)計(jì)出來(lái)。第三步離散化主要任務(wù)就是把模擬濾波器變換成數(shù)字濾波器，即把模擬濾波器的系數(shù)映射成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)傳遞函數(shù)s域至z域映射有脈沖響應(yīng)不變法和雙線性映射兩種方法。（1）脈沖響應(yīng)不變法。設(shè)計(jì)過(guò)程是：按照技術(shù)要求設(shè)計(jì)一個(gè)模擬低通濾波器，得到模擬低通濾波器的傳輸函數(shù)轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。 將傳輸函數(shù)從s平面?zhèn)鲹Q到z平面的方法有多種，但工程上常用的是脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法。我們先研究脈沖響

16、應(yīng)不變法。設(shè)模擬濾波器的傳輸函數(shù)為，相應(yīng)的單位沖激響應(yīng)是，=LT，LT.代表拉氏變換，對(duì)進(jìn)行等間隔采樣，采樣間隔為T，得到，將h(n)= 作為數(shù)字濾波器的單位取樣響應(yīng)，那么數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)便是h(n)的Z變換。因此脈沖響應(yīng)不變法是一種時(shí)域上的轉(zhuǎn)換方法，它是h(n)在采樣點(diǎn)上等于。設(shè)模擬濾波器只有單階極點(diǎn)，且分母多項(xiàng)式的階次高于分子多項(xiàng)式的階次，將用部分分式表示： ，式中為的單階極點(diǎn)。將逆拉氏變換得到： ，式中u(t)是單位階躍函數(shù)。對(duì)進(jìn)行等間隔采樣，采樣間隔為T,得到： 對(duì)上式進(jìn)行Z變換，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)： ，的極點(diǎn)映射到z平面，其極點(diǎn)變成，系數(shù)不變化。下面分析從模

17、擬濾波器轉(zhuǎn)換到數(shù)字濾波器，s平面和z平面之間的映射關(guān)系，從而找到這種轉(zhuǎn)換方法的優(yōu)缺點(diǎn)。這里我們以采樣信號(hào)作為橋梁，推導(dǎo)其映射關(guān)系。設(shè)的采樣信號(hào)用表示， 對(duì)進(jìn)行拉氏變換，得到： 式中是在采樣點(diǎn)t=n T時(shí)的幅度值，它與序列h(n)的幅度值相等，它與序列h(n)的幅度值相等，即h(n)= ，因此得到：上式表示采樣信號(hào)的拉氏變換與相應(yīng)的序列的Z變換之間的映射關(guān)系可用下式表示： 我們知道模擬信號(hào)的傅立葉變換和其采樣信號(hào)的傅立葉變換和其采樣信號(hào)的傅立葉變換之間的關(guān)系滿足式： 將代入上式，得 由上式得到： 上式表明將模擬信號(hào)的拉氏變換在s平面上沿虛軸按照周期延遲后，再按照映射關(guān)系，映射到z平面上，就得到H

18、（z）。 （2）雙線性變換法這種變換方法，采用非線性頻率壓縮方法，將整個(gè)頻率軸上的頻率范圍壓縮到/T之間，再用轉(zhuǎn)換到z平面上。設(shè)Ha（s），s=j，經(jīng)過(guò)非線性頻率壓縮后用Ha（s1），=j1表示，這里用正切變換實(shí)現(xiàn)頻率壓縮： 式中T仍是采樣間隔，當(dāng)1從-/T經(jīng)過(guò)0變化到/T時(shí)，則由-經(jīng)過(guò)0變化到+，實(shí)現(xiàn)了s平面上整個(gè)虛軸完全壓縮到平面上虛軸的/T之間的轉(zhuǎn)換。這樣便有 再通過(guò) 轉(zhuǎn)換到z平面上，得到： 上式稱為雙線性變換。從s平面映射到平面，再?gòu)钠矫嬗成涞絲平面，其映射情況如圖所示。由于從s平面到平面具有非線性頻率壓縮的功能，因此不可能產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象。另外，從平面轉(zhuǎn)換到z平面仍然采用標(biāo)準(zhǔn)轉(zhuǎn)換關(guān)系

19、 ，平面的 /T之間水平帶的左半部分映射z平面單位圓內(nèi)部，虛軸映射單位圓。這樣，Ha（s）因果穩(wěn)定，轉(zhuǎn)換成的H（z）也是因果穩(wěn)定的。下面分析模擬頻率和數(shù)字頻率之間的關(guān)系。令 ，有 圖4.2 雙線性變化法映射上式說(shuō)明，s平面上與平面上的成非線性正切關(guān)系，如圖4.3所示。在=0附近接近線性關(guān)系；當(dāng)增加是，增加得愈來(lái)愈快；當(dāng)趨近時(shí)，趨近于。正是因?yàn)檫@種非線性關(guān)系，消除了頻率混疊現(xiàn)象。圖4.3 雙線性變換法的頻率變換與之間的非線性關(guān)系是雙線性變換法的缺點(diǎn)，直接影響數(shù)字濾波器頻響逼真的模仿模擬濾波器的頻響，幅度特性和相位特性失真的情況如圖4.4所示。這種非線性影響的實(shí)質(zhì)問(wèn)題是：如果的刻度是均勻的，則影射

20、到z平面的刻度不是均勻的，而是隨增加愈來(lái)愈密。圖4.4 雙線性變換法幅度和相位特性的非線性映射雙線性變換法可由簡(jiǎn)單的代數(shù)公式將Ha（s）直接轉(zhuǎn)換成H（z），這是該變換法的優(yōu)點(diǎn)。4.3 MATLAB仿真步驟（1）根據(jù)給定的性能指標(biāo)和方法不同，首先對(duì)設(shè)計(jì)性能指標(biāo)中的頻率指標(biāo)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換后的頻率指標(biāo)作為模擬濾波器原型設(shè)計(jì)性能指標(biāo)。（2）估計(jì)模擬低通濾波器最小階數(shù)和邊界頻率，利用MATLAB工具函數(shù)buttord、cheb1ord等。（3）設(shè)計(jì)模擬低通濾波器原型，利用MATLAB工具函數(shù)buttap、cheb1ap等。（4）由模擬低通原型經(jīng)頻率變換獲得模擬濾波器（低通、高通、帶通、帶阻），利用MAT

21、LAB工具函數(shù)lp2lp、lp2hp、lp2bp、lp2bs。（5）將模擬濾波器離散化獲得IIR數(shù)字濾波器，利用MATLAB工具函數(shù)bilinear。 程序清單數(shù)字性能指標(biāo)給出通帶截止頻率，阻帶截止頻率，通帶衰減，阻帶衰減等。數(shù)字頻率和的取值范圍為0，單位：弧度，而MATLAB工具函數(shù)常采用標(biāo)準(zhǔn)化頻率，和的取值范圍為01。模擬性能指標(biāo)給出通帶截止頻率，阻帶起始頻率，通帶衰減，阻帶衰減等。模擬頻率和的單位均為弧度/秒。技術(shù)指標(biāo)：通帶截止頻率=2，阻帶截止頻率，通帶衰減小于3dB，阻帶衰減大于15dB,采樣頻率。程序如下：Wp= 2000*2*pi; Ws=3000*2*pi; Rp=3; Rs=15; Fs=10000; Ts=1/Fs; Nn=128;N,Wn=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,s) b,a=butter(N,Wn,s); z,p,k=buttap(N); Bap,Aap=zp2tf(z,p,k); b,a=lp2