由遞推公式求通項(xiàng)公式初探

1、遞推公式求函數(shù)的通項(xiàng)公式哈十四中數(shù)學(xué)組 王麗娜 教學(xué)目標(biāo) 知道遞推公式是給出數(shù)列的一種方法；了解數(shù)列遞推公式的意義，會(huì)根據(jù)給出的遞推公式求出通項(xiàng)公式。 重點(diǎn)難點(diǎn) 熟練掌握已知遞推公式求函數(shù)通項(xiàng)公式的幾種基本形式，并能熟練的應(yīng)用到解題過程中。教學(xué)過程情境引入 國(guó)王和農(nóng)夫打賭，農(nóng)夫贏了，按照事先的規(guī)定國(guó)王要按指數(shù)冪的情況送給農(nóng)夫麥粒，那么農(nóng)夫會(huì)得到多少麥粒呢？ 歸結(jié)成數(shù)學(xué)模型，這是一個(gè)數(shù)列數(shù)列an的通項(xiàng)公式是，依次用n=1,2,3,64代替公式中的n，就可以求出這個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)。數(shù)列an還可以用如下方法給出：第1個(gè)格子里的麥粒數(shù)是1，從第2個(gè)格子起，每個(gè)格子里的麥粒數(shù)都是前一個(gè)格子里的麥粒數(shù)的2倍，

2、也就是說，a1=1， an=2an-1(2n64)（參照教科書）由上面數(shù)列的第1項(xiàng)，根據(jù)項(xiàng)an與an-1間的關(guān)系式，可以得出這個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)。如果已知數(shù)列an的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an-1（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式。 例題1. 已知數(shù)列an的第1項(xiàng)是1，以后的各項(xiàng)由公式給出，寫出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)。（參考教科書）解： 2 已知， 求（疊加法） 解一：可以寫出：， 觀察可得： 解二：由題設(shè)： 小結(jié)：遞推模型為an+1=an+f(n)可以用疊加法，如上述兩種解法。第一種解法只適合小題。如果是大題，第一種解法的基礎(chǔ)上應(yīng)該用數(shù)學(xué)歸

3、納法證明。練一練：（2008全國(guó)）在數(shù)列an中，a1=1, ，設(shè)bn=.求證：bn是等差數(shù)列。求an證明：=1. bn是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列。 從而 例3. 已知， 求（疊乘法） 解一： 觀察可得： 解二：由 即 小結(jié)：遞推模型為an+1=an.f(n)可以用采用疊加法，例4.已知數(shù)列an中， .(nN)解： 是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列。 小結(jié)：遞推模型為，可以取倒數(shù)化為等差數(shù)列。練一練：例：（2004年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試全國(guó)卷理）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn=2an+(-1)n,寫出數(shù)列的前3項(xiàng)a1,a2,a3;求數(shù)列的通項(xiàng)公式證明：對(duì)任意的整數(shù)，有 這個(gè)題由S

4、n=2an+(-1)n與Sn-1=2an-1+(-1)n-1相減得：求出a2,a3，從表面看是由a1,a2,a3猜出通項(xiàng)an，再用數(shù)學(xué)歸納法證明.但是從a1,a2,a3或再求出a4,a5也很難猜想出其通項(xiàng)公式，所以要讓學(xué)生單獨(dú)解決這個(gè)問題就很困難了。如果在解決這類問題之前，能夠有一些訓(xùn)練，可能就容易一些。例5.（2007年山東省模擬題）數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn. Sn.=2an-3n. (nN)求an的通項(xiàng)公式。解：當(dāng)時(shí)， ，與已知條件二式作差，得 即 。是以6為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列。小結(jié)：遞推模型可以通過待定系數(shù)法化為 （an+1+）=c(an+),化為等比數(shù)列練一練：已知：a1=1,a

5、n=2an-1+1求證：an+1是等比數(shù)列;求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.解：（1）an=2an-1+1,an+1=2(an-1+1)an+1是以a1+1=2為首項(xiàng)，以2位公比的等比數(shù)列.由已知得：an=2n-1例6已知數(shù)列an滿足， ，(nN)求a2010解： 所以數(shù)列an以3為周期。a2010=0小結(jié)：an為周期數(shù)列，則周期為T(T為正整數(shù))時(shí)，,可將an轉(zhuǎn)化為a1,a2,aT處理。練習(xí)：例7.（08年浙江模擬）在數(shù)列an中，已知a1=1,且當(dāng)時(shí)，則a3+a3等于( )A. B. C D 小結(jié)：an與前n-1項(xiàng)均有關(guān)。在例1中如果只給第2個(gè)問題，而沒有第1個(gè)問題，怎么辦？你能不能想到把例1的遞推關(guān)

6、系化成an+a=2(an-1+a)(1)的形式.例如：要把a(bǔ)n=2an-1+5化為an-a=2(an-1-a),還原回去，an=2an-1-a,對(duì)照得:a=-5, a+5=2(an-1+5) 數(shù)列an+5是以a1+5=6為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列. 從而，已知型的遞推公式，求通項(xiàng)公式就可以解決了。解決的基本思想方法是，采用待定系數(shù)法。設(shè)an-a=p(an-1-a)，還原回去后求a，從而得數(shù)列an-a是以a1-a為首項(xiàng),以p為公比的等比數(shù)列. 逆向考慮這個(gè)問題。若an-2n是以3為公比，以1為首項(xiàng)的等比數(shù)列，把它還原成遞推公式的形式是怎樣的? an-2n=3(an-1-2n-1).a1-21=

7、1， 也就是說已知a1=3, an=3an-1-2n-1,其中an=3an-1-2n-1可化為an-2n=3(an-1-2n-1),a1-21=1,數(shù)列an-2n是以a1-21=1為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列. an-2n=3n-1 an=3n-1+2n 能不能用類比的方法，解決下面的問題：已知a1=1, an=2an-1+3n.求an解：設(shè) 即： 即是以為首項(xiàng)以2為公比的等比數(shù)列。再比如由還原成，再已知我們就可以得到遞推公式：若直接已知遞推公式求此數(shù)列的通項(xiàng)公式呢？解：設(shè)可化成即： 解得可化為即數(shù)列是以2為公比，以為首項(xiàng)的等比數(shù)列。 以上通過逆向思維，給出了以下兩種類型的遞推公式且數(shù)列為等比數(shù)列或等差數(shù)列還可以作一些變式訓(xùn)練：已知 提示：(1)取倒數(shù)化為型。(2)平方