橢圓及其標準方程

1、 PAGE 橢圓及其標準方程（第一課時）教學目標：使學生理解并掌握橢圓的定義、焦距；使學生掌握橢圓的標準方程及其推導方法；培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)規(guī)律、尋求規(guī)律、認識規(guī)律并利用規(guī)律解決實際問題的能力。教學重點：橢圓的定義及其標準方程教學難點：橢圓標準方程的推導比較復雜的根式的化簡教學方法：講授法教學過程：一、復習回顧1、曲線方程的概念2、圓的幾何特征二、試驗取一條一定長的細繩，把它的兩端固定在板上的F1和F2兩點，當繩長大于F1和F2的距離時，用鉛筆尖在板上慢慢地移動，可以畫出一條怎樣的曲線？若繩長等于F1和F2的距離，按照同樣的方法會作出怎樣的曲線呢？若繩長小于F1和F2的距離呢？（提前一天布置學生自己

2、在家完成）結論：第一種情況作出的圖形是一條封閉的曲線；第二種情況作出的圖形是一條線段；第三種情況不能作出任何曲線。從第一種情況畫圖過程可以看出，曲線上任意一點與點F1、F2的距離的和等于定長（即繩子的長），也可以說，這條曲線是與點F1、F2的距離的和為定長的點的軌跡（或點的集合），我們把這樣的曲線叫橢圓。大家能舉出一些現(xiàn)實生活中常見的橢圓的例子嗎？三、新課1、定義：平面內與兩個定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距。2、建立橢圓的方程（1）回憶：求曲線方程的步驟建系、取點 列式 代換 化簡 證明（2）建系的一

3、般原則有哪些？原點取在定點或已知線段的中點，坐標軸取在定直線上或圖形的對稱軸上。（3）建立坐標系方案一：方案二：方案三：（4）求橢圓方程（方案二）設M（x，y）是橢圓上任意一點，并設橢圓的焦距為2c（c0），則F1（c，0），F(xiàn)2（c，0），又設M與F1、F2的距離的和等于2a。（提問：為什么要令|F1F2|2c，2a？）由橢圓的定義，橢圓就是點的集合：，（提問：應如何化簡？答：將式子有理化。有理化方法有兩種：直接兩邊平方去根號；先移項，后平方。提問：為什么要先移項，后平方？答：若不先移項，兩邊平方后，方程的左邊要用和的平方公式，第一項、第二項平方去掉根號，而兩項的積的2倍更復雜了。）移項，得

4、兩邊平方，得整理，得兩邊再次平方，得整理，得 （*）（問：a與c的關系如何，為什么？）由橢圓的定義可知：，即，令，其中（問：為什么令？答：使方程變得簡單整齊，同時這一代換還有明確的幾何意義。）代入（*）式，得兩邊同時除以，得，這個方程叫做橢圓的標準方程，它所表示的橢圓的焦點在x軸上，焦點是F1（c，0），F(xiàn)2（c，0），這里c2a2b2。3、課堂練習（方案三）如果使點F1和F2在y軸上，a、b、c的意義同上，請同學們再求一次橢圓的方程。如果使點F1和F2在y軸上，則F1（0，c），F(xiàn)2（0，c），a、b、c的意義同上，那么所得方程為，。4、公式的結構特點：橢圓的兩種標準方程中，總是，即橢圓的標

5、準方程中，哪個項的分母大，焦點就在相應的那個軸上；反之，焦點在哪個軸上，相應的那個項的分母就大。5、例題（1）已知橢圓的方程是，求橢圓的焦點坐標、焦距。分析：橢圓的方程可變形為：，即焦點在x軸上，焦點坐標為，焦距為。（2）平面內兩個定點的距離是8，一動點到這兩個定點的距離的和是10。判斷該動點的軌跡。求出軌跡的標準方程。分析：2a10，2c8；2a2c。該動點的軌跡是橢圓。當焦點在x軸上時，標準方程為橢圓的標準方程為：當焦點在y軸上時，標準方程為2a10，2c8；2a2c橢圓的標準方程為：四、小結本課我們學習了橢圓的定義、焦點、焦距的概念，求出了橢圓的兩種標準方程。（1）當橢圓的焦點在x軸上時，標準方程為，焦點坐標是（c，0），（c，0）。（2）當橢圓的焦點在y軸上時，標準方程為，焦點坐標是（0，c），（0，c）。（3）橢圓的兩種標準方程中，總是，即橢圓的標準方程中，哪個項的分母大，焦點就在相應的那個軸上；反之，焦點在哪個軸上，相應的那個項的分母就大。（4）始終滿足（不要與勾股定理混淆）。五、作業(yè)P96、習題8