誤差理論誤差線性參數(shù)的最小二乘法

1、第五章線性參數(shù)的最小二乘法例題例1己知某一銅棒的電阻一溫度的函數(shù)關系為R=a+bt,通過試驗，得到在七種不同溫度t卜的電阻值如F：序號1234567t/-C19.125.030.136.040.045.150.0R/G76.377.879.780.882.383.985.10050500試求公式中的a（單位G）和b（單位Q/C）。解：測量數(shù)值方程為+19.1/?=76.30d+403=82.35a+25.0b=77.80a+45.1b=83.90a+30.1b=79.75a+50.0b=85.10a+36.0b=80.80建立正規(guī)方程1X1=1X1+1X1+1Xl=7IXtJ=lXtlXt2+

2、1Xt7=245.3tjXXt+JXt2+t7Xt7=9325.83IXRJ=1XRIXR,+1XR7=566.0tjXRi=t1XRj+t,XR2+t7XR7=20044.5則正規(guī)方程為7a+245.3b=566.0245.3。+9325.8b=20044.5解正規(guī)方程得a=70.76Qb=O.288Q/C因此，銅棒的電阻一溫度數(shù)值關系為/?=70.76+0.288r例2試由卜列測杲方程組，求x.y、z的最可信賴值及其權。x=0權P=85y=0P2=108z=0P3=49xy=0.92P4=165zv=1.35P5=78zx=1.00P6=60求正規(guī)方程組各系數(shù)，如卜表所示。P:Plaiti

3、p,6a2100085850010010800001049001-100.921651651650-111.357800-I011.0060600L310165PiPlPxPap,P:Plaia3a26aJi000000000108000000000490151.01650008151.810533-60-600006060165.-6091.8351-78187257.13解:L123456L123456E從而得正規(guī)方程組為310z-165v-60z=91.8J-165x+351v-78z=-257.1J-60 x-78v+187z=165.3J310-165-6

4、0D=-165351-78-60-78187=1056235591.8-165-602=-257.1351-78=1939545.9165.3-7818731091.8-600=-165-257.1-78=-5082990-60165.3187310-16591.86=-165351-257.1=7838806.5-60-78165.3最可信賴值:a1939545.9萬一105623550.184=-5082990_Q48iD10562355z=2=7蹄06.5“742D10562355令正規(guī)方程組中4=1Py=129.5zZ例3交流電路的電抗數(shù)值方程為X=ojL一丄在角頻率aC=5比時，測得

5、X為=0.8Q馬=2Hz時，測得X為X2=0.2Q%=1Hz時，測得X為X,=-0.3G試求（1）L,C及其方差；（2）CO=3Hz時（=0.1念）電抗值及其方差。解：（1）根據(jù)題意列出測量方程如卜：X,=5厶-=0.8Q15CX.=2厶-=0.2Q-2CX3=L-=-0.3Q3C根據(jù)測最方程列出誤差方程組:volsgo農(nóng)寸.0Eo1CMGOointtoiIII寸1goi0.0434O.lOfloiioroiII2Q專II17一idio11I*-寸3o1II1001CMom1o11LCMno1o11l3-31.030lomTrwoIm0.80.819_0.20.137-03-0.273-0.0

6、190.063-0.027-0.019V2=VrV=-0.0190.063-0.0270.063-0.028=0.0051n-t0.005132=0.0051a2=0.071血=0.0434=0.101“22=101cr；=dna2=0.0434x0.00510.0002=cl22a2=1.01x0.00510.0052=（2.2）4x0.0052=0.122（2）當0）=3（%=0l）時，電抗數(shù)值x=曲一丄=3x0.182丄x0.455=0.394ceC3二32X0.0002+-X0.0052-2,=j00002xJo.00529V0.0434xl.01+0.182+x0.12=0.0019

7、I9x2.2)例4今有兩個電容器，分別測鼠其電容鼠，然后又將其串聯(lián)和并聯(lián)測鼠，得到如卜.結果(單位九尸)：C嚴0.2071G=0.2056Q+C,=0.4111-=0.1035G+C2試求電容量的最可信賴值及其精度。解：上述最后一個測量方程是非線性的，因為要化為線性的函數(shù)。為此將上述測崑方程式表示為下而的函數(shù)形式：fl(Ci,C2)=Cl/2(c1,c2)=c2厶(G，cJ=q+G曲CJ僥為了將厶化為線性函數(shù)關系，令C的近似值兀=0.2070,C?的近似值兒=0.2060,并令x,y為修正值。按臺勞級數(shù)將函數(shù)在兀、y。處展開，取一次項，則有/.(C1,C2)=/.(x0,y0)+畫兀+(獸)令

8、=Z(Q，C)-Z(A0,y0)並=1魚=0dCtdC2dCdC2df4=C；=(0.2060尸=九一(G+C?廠(0.2070+0.2060尸-C=C；=(0.2070=(dC(Q+Cj2(0.2070+0.2060)2-/A=0.2071-0.2070=0.0001/,=0.2056-0.2060=-0.00043=0.4111-(0.2070+0.2060)=-0.0019/4=0.1035-f0-2070 x-2060V0.0002：10.2070+0.2060丿代入得x=0.0001y=-0.0004x+y=-0.00190249x+0.251y=0.00025建立正規(guī)方程：aat1

9、=1x1+1x1+0.249x0.249=2.062/,=lx0.0001+1x(-0.0019)+0.249x0.00025=-0.001741x1+1x1+0249x0.251=1.0625=1x1+1x1+0.251x0.251=2.063/,./.=1x(-0.0004)+1x(-0.0019)+0.251x0.00025=-0.00224得正規(guī)方程組為2.062x+1.0625y=-0.001741.0625兀+2063y=-0.002242.062D=1.06251.06252.063=3.1251-0.002241.06252.063=-0.00122.062-0-00174=o

10、oo28-1.0625-0.002244=迎j.ooo4D3.125土迺一0.00093.125G=x=0.2070-0.0004=0.2066C2=yQ+y=0.2060-0.0009=0.2051D3.125t幾廠阪r麺aD3252.062=1.52兒=0.20710.2066=0.0005v2=0.2056-0.2051=0.0005v3=0.411-(0.2066+0.2051)=-0.0007V4=0.1035-0.2066x0.20510.2066+0.2051=0.0006工X=l35xl()Y=/4X、+5x2=/5測得數(shù)據(jù)及其相應的標準差為4=1.6325=0.002/,=0

11、.5106=0.002/3=2.1456=0.003厶=3.771內(nèi)=0.003/5=4.1876=0.003試求待求最“吃的最小二乘估計及其和應的精度。521試由測龜方程為2=1.25xxx2=2.142花=3.86召+x2=3.12求待測最a-,a-2及其相應的精度估計。5-22有三塊三等屋塊，設其數(shù)值為X,Y,乙現(xiàn)用技術干設法將他們和已知尺寸數(shù)值為L0的二等量塊進行比較測量，比較方式有以卜三種：(1)每塊三等鼠塊各與二等彊塊比較兩次。（2）第一塊三等帚塊與二等最塊比較兩次，第二塊三等駅塊與第一塊比較兩次，第三塊三等量塊與第二塊比較兩次。（3）每塊三等昴塊各與二等量塊比較一次，然后它們相互按不同的組合比較一次。上述三種比較方式所得到測杲數(shù)值方程式如卜：試問哪一種比較方式能夠得到最好測結果（提示：可以比較不同比較方式下未知數(shù)的權）?CD(3)X-Lo=LiX-Lo=L：Y-Lo二LsYLo=L(X-Lo=LsZ_Lo二LgX-Lo二L】XLo=L2Y-X=L,Y-X=L,ZY二LsZ-Y二JX-LoLxY-Lo二L2ZLo=LsY-X二JZ-X=LsZY二Le5-23今有四只人型直角尺進行