2022年《利用向量法求空間角》教案

1、3.2.3 立體幾何中的向量方法利用空間向量求空間角 教學(xué)目標1. 使同學(xué)學(xué)會求異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的向量方法；2.使同學(xué)能夠應(yīng)用向量方法解決一些簡潔的立體幾何問題；3.使同學(xué)的分析與推理才能和空間想象才能得到提高 . 教學(xué)重點求解二面角的向量方法教學(xué)難點二面角的大小與兩平面法向量夾角的大小的關(guān)系教學(xué)過程一、復(fù)習引入1用空間向量解決立體幾何問題的“ 三步曲”（1）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系,用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面,把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；（化為向量問題 ）（2 ）通過向量運算,討論點、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間距離和夾角等問題；（進行

2、向量運算）（3）把向量的運算結(jié)果“ 翻譯” 成相應(yīng)的幾何意義；（回到圖形）2向量的有關(guān)學(xué)問：（ 1）兩向量數(shù)量積的定義：ab|a|b|cosa ,ba （ 2）兩向量夾角公式：cosa,b|a|bab|（3）平面的法向量：與平面垂直的向量O b 二、學(xué)問講解與典例分析學(xué)問點 1：面直線所成的角（范疇： 0 , ）2（1）定義：過空間任意一點 o 分別作異面直線 a 與 b 的平行線 a與 b,那么直線 a與 b所成的銳角或直角,叫做異面直線 a 與 b 所成的角 . （2）用向量法求異面直線所成角設(shè)兩異面直線a、b 的方向向量分別為a 和 b ,|ObaaC 1y問題 1 ：當 a 與 b 的

3、夾角不大于90 時,異面直線 a、b 所成的角與 a 和 b 的夾角的關(guān)系？a,bb問題 2 ： a 與 b 的夾角大于90 時,異面直線a、b 所成的角O與 a 和 b 的夾角的關(guān)系？a,b|mn|結(jié)論：異面直線a、b 所成的角的余弦值為cos|cosm ,n|m|n|摸索： 在正方體ABCDA 1B 1C 1D 1中,如E 與F 分別為A 1B 1、xzF 1E 1B 1D1A 1C 1D 1的四等分點,求異面直線DF 與BE 的夾角余弦值？CD（1 ）方法總結(jié)： 幾何法；向量法BA（2 ）cosDF 1,BE 1與cosDF 1,E 1B相等嗎？（3 ）空間向量的夾角與異面直線的夾角有什

4、么區(qū)分？例 1 如圖,正三棱柱ABCA 1C 1 的底面邊長為a ,側(cè)棱長為2a,求AC 和CB 所成的角 . 解法步驟： 1.寫出異面直線的方向向量的坐標；C1A Z B 12. 利用空間兩個向量的夾角公式求出夾角；C解：如圖建立空間直角坐標系a,Axyz,就a,1a ,0 ,B 10,a,2axADBy A0 0,0,C 13a ,12a ,C3x 2222AC 1 3 a , 1 a , 2 a ,CB 1 3 a , 1 a , 2 a 2 2 2 23 2即 cos AC 1 , CB 1 AC 1 CB 1 2 a2 1| AC 1 | CB 1 | 3 a 2AC 和 CB 所成

5、的角為3練習 1：在 Rt AOB 中,AOB=90 ,現(xiàn)將 AOB 沿著平面 AOB 的法向量方向平移到 A1O1B1的位置,已知 OA=OB=OO 1,取 A1B1、A1O1 的中點 D 1 、F1,求異面直線 BD1 與 AF 1所成的角的余弦值；解：以點 O 為坐標原點建立空間直角坐標系,并設(shè) OA=1 , 1 1 1就 A1,0,0 , B0,1,0 ,F1 ,0,1 ,D 1 , ,12 2 21 1 1AF 1 , 0 1, , BD 1 , 1, 2 2 21cos AF 1 , BD 1 AF 1 BD 1 4 0 1 30| AF 1 | BD 1 | 5 3 104 2所

6、以,異面直線 BD1 與 AF1 所成的角的余弦值為學(xué)問點 2 、直線與平面所成的角（范疇： 0 , ）2摸索：設(shè)平面的法向量為 n ,就n,BA與的關(guān)系？BAO（圖 2）BAAO（圖 1）nOBnsin|cos2n ,n,BAn, BA2AB|據(jù)圖分析可得：結(jié)論：例 2、如圖, 正三棱柱ABCA 1B 1C 1的底面邊長為 a ,側(cè)棱長為2 ,求AC 和面AA 1B 1B所成角的正弦值 . 分析： 直線與平面所成的角步驟：AC 13a ,1a ,2 1. 求出平面的法向量222. 求出直線的方向向量3. 求以上兩個向量的夾角,銳角 其余角為所求角y 解：如圖建立空間直角坐標系A(chǔ)xyz,就AA

7、 10 , 0 ,2a,AB,0a, 0 ,AC 13a ,1a ,2a 22設(shè)平面AA 1B 1B的法向量為nx ,y ,z A Z CC1B 1由n nAA 102az0y0AB0z0ay0取x1,n,1 ,00 xADBcosAC 1,n|AC 1n|3a21x 2AC 1|N223 aAC 和面AA 1B 1B所成角的正弦值1. 2練習： 正方體ABCDA 1B 1C 1D 1的棱長為 1,點 E 、 F 分別為 CD 、DD 的中點 .求直線B 1C 1與平面AB1C所成的角的正弦值. 學(xué)問點 3 ：二面角 （范疇：0,）xB 1zC1D1y1AB BAACD方向向量法： 將二面角轉(zhuǎn)

8、化為二面角的兩個面 的方向向量 （在二面角的面內(nèi)且垂直于二面. 角的棱）的夾角；如圖,設(shè)二面角l的大小為,其中ABl,ABB ,CDl,CDA coscosAB,CDABCDl C D |AB|CD|結(jié)論：B 處.從 A ,B 到直線 （ 庫A 處,乙站在水壩斜面上的點例 3 、如圖,甲站在水庫底面上的點底與水壩的交線）的距離 AC 和 BD 分別為 a 和 b ,CD 的長為 c , AB 的長為 d .求庫底與水壩所成二面角的余弦值 . 解：如圖 AC a,BD b,CD c,AB d .依據(jù)向量的加法法就 , AB AC CD DB .2d 2 AB AC CD DB 22 2 2AC

9、CD BD 2 AC CD AC DB CD DB 2 2 2a c b 2 AC DBa 2 c 2 b 2 2 CA DB于是,得2 CADBa22b2c2d2. 設(shè)向量 CA 與 DB 的夾角為,就是庫與水壩所成的二面角因此2abcosa2b22 cd2.d所以cosa2b2c2.2 ab庫底與水壩所成二面角的余弦值是a2b2c2d2.2ab法向量法n 1n 1, n2n2n 1,n21nn2n 1,n2n 1, n 2l coscosn 1,n2cosl cosn 1,n2結(jié)論：或歸納： 法向量的方向：一進一出,二面角等于法向量夾角；同進同出,二面角等于法向量夾角的補角 . 例 4、如

10、圖, ABCD 是始終角梯形,ABC90,SA面 ABCD ,SAABBC1,zSABDCAD1,求面 SCD 與面 SBA所成二面角的余弦值. ED 1y2解：如圖建立空間直角坐標系A(chǔ)xyz,就A0 ,0 ,0 ,C,1,10,D0 ,10,S00,1, 2易知面 SBA的法向量為n 1AD0 ,1,02CD ,110,SD0,1,1 22設(shè)面 SCD 的法向量為n 2x ,y,z ,就有xy0,取z1,得x,1 y2,n2 ,111, 2yz022cosn1,n2|n 1|n 2|6n1n23又n 方向朝面內(nèi),n 方向朝面外,屬于“ 一進一出 ” 的情形,二面角等于法向量夾角即所求二面角的余弦值為6. 3練習： 正方體ABCDA 1B 1C 1D 1的棱長為 1,點 E 、 F 分別為 CD 、DD 的中點 .求二面角FAED的余弦值；解：由題意知,F0,1,1,E1,1,0,就AF0,1,1, AE1,1,02222設(shè)平面 AEF 的法向量為nx ,y ,z ,就nAF0yx1z0,取y1,得xz2A 1z2nAE01y02n,1,22 B 1C1F又平面 AED 的法向量為A