高中數(shù)學(xué)選修第一冊：1.3.1空間直角坐標(biāo)系 1.3.2　空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示

1、1.3空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示1.3.1空間直角坐標(biāo)系1.3.2空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示基礎(chǔ)過關(guān)練題組一空間向量的坐標(biāo)表示1.在空間直角坐標(biāo)系中,點P(1,2,3)關(guān)于平面Oyz對稱的點的坐標(biāo)為() A.(1,-2,-3)B.(-1,-2,3)C.(-1,2,3)D.(-1,2,-3)2.空間直角坐標(biāo)系中,已知A(1,-2,3),B(3,2,-5),則線段AB的中點坐標(biāo)為()A.(-1,-2,4)B.(-2,0,1)C.(2,0,-2)D.(2,0,-1)3.在直三棱柱ABO-A1B1O1中,AOB=2,AO=4,BO=2,AA1=4,D為A1B1的中點,則在空間直角坐標(biāo)系中(O為坐標(biāo)原點),

2、DO的坐標(biāo)是,A1B的坐標(biāo)是.題組二空間向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示4.(2020黑龍江牡丹江第一高級中學(xué)高二上期中)已知O為原點,a=(1,-2,1),a-b=(-1,2,-1),則b等于()A.(2,-4,2)B.(-2,4,-2)C.(-2,0,-2)D.(2,1,-3)5.已知向量a=(1,2,3),b=(-1,0,1),則a+2b=()A.(-1,2,5)B.(-1,4,5)C.(1,2,5)D.(1,4,5)6.(2020湖南長沙明德中學(xué)高二上月考)若a=(1,2),b=(2,-1,2),c=(1,4,4),且a,b,c共面,則=.7.(2020湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)高二上期中)已知a=(

3、x,1,3),b=(-1,3,9),若a與b共線,則x的值是.8.已知O是坐標(biāo)原點,且A,B,C三點的坐標(biāo)分別是(2,-1,2),(4,5,-1),(-2,2,3),求適合下列條件的點P的坐標(biāo):(1)OP=12(AB-AC);(2)AP=12(AB-AC).題組三空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示9.已知a=(1,1,0),b=(0,1,1),c=(1,0,1),p=a-b,q=a+2b-c,則pq=()A.-1B.1C.0D.-210.直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長為2的正三角形,側(cè)棱為3,M,N分別為A1C1,BC的中點,則ABNM=()A.2B.-2C.10D.-1011.(2020重慶

4、高二上期中)如圖,建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.單位正方體ABCD-ABCD的頂點A位于坐標(biāo)原點,其中B(1,0,0),D(0,1,0),A(0,0,1).(1)若E是棱BC的中點,F是棱BB的中點,G是側(cè)面CDDC的中心,分別求出向量OE,OG,FG的坐標(biāo);(2)在(1)的條件下,分別求出(OE+OG)FG,|EG|的值.12.已知向量a=(2,1,-2),c=(-1,0,1),向量b同時滿足下列三個條件:ab=-1;|b|=3;bc.(1)求a+2c的模;(2)求向量b的坐標(biāo).題組四利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決平行和垂直問題13.設(shè)x,yR,向量a=(x,1,1),b=(1,y,1),c=(2

5、,-4,2),且ac,bc,則x+y的值為()A.-1B.1C.2D.314.(2020山西大同第一中學(xué)高二上期中)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是BC1,CD1的中點,則下列說法錯誤的是()A.MN與CC1垂直B.MN與AC垂直C.MN與BD平行D.MN與A1B1平行15.已知AB=(1,5,-2),BC=(3,1,z),若ABBC,BP=(x-1,y,-3),且BP平面ABC,則BP=.題組五利用空間向量求夾角和距離(長度)16.在空間直角坐標(biāo)系中,已知M(-1,0,2),N(3,2,-4),則MN的中點P到坐標(biāo)原點O的距離為()A.3 B.2C.2 D.317.(

6、2020四川綿陽中學(xué)高二上期中)空間直角坐標(biāo)系中的點A(3,3,1)關(guān)于平面Oxy的對稱點A與點B(-1,1,5)間的距離為()A.6 B.26C.43D.21418.(2020北京十二中高二上期中)已知點A(0,1,2),B(1,-1,3),C(1,5,-1).(1)若D為線段BC的中點,求線段AD的長;(2)若AD=(2,a,1),且ABAD=1,求a的值,并求此時向量AB與AD夾角的余弦值.19.(2020山西太原第五中學(xué)高二上月考)如圖,以棱長為1的正方體的三條棱所在直線為坐標(biāo)軸,建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,點P在線段AB上,點Q在線段DC上.(1)當(dāng)PB=2AP,且點P關(guān)于y軸的對稱

7、點為M時,求|PM|的長度;(2)當(dāng)點P是面對角線AB的中點,點Q在面對角線DC上運(yùn)動時,探究|PQ|的最小值.深度解析能力提升練題組一空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示1.(2020山東泰安第一中學(xué)高二上期末,)已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,),若a,b,c不能構(gòu)成空間的一個基底,則實數(shù)的值為() A.0B.357C.9D.6572.(2020北京東直門中學(xué)高二上期中,)已知O為原點,OA=(1,2,3),OB=(2,1,2),OP=(1,1,2),點Q在直線OP上運(yùn)動,則QAQB取得最小值時,點Q的坐標(biāo)為()A.12,34,13B.12,23,34C.43,43,83

8、D.43,43,733.(多選)(2020陜西西北大學(xué)附屬中學(xué)高二上期中,)設(shè)幾何體ABCD-A1B1C1D1是棱長為a的正方體,A1C與B1D相交于點O,則()A.A1B1AC=a2B.ABA1C=2a2C.CDAB1=-a2D.ABA1O=12a4.(多選)()已知向量ab=bc=ac,b=(3,0,-1),c=(-1,5,-3),下列等式中正確的是()A.(ab)c=bcB.(a+b)c=a(b+c)C.(a+b+c)2=a2+b2+c2D.|a+b+c|=|a-b-c|5.()已知點P是棱長為1的正方體A1B1C1D1-ABCD的底面A1B1C1D1上一點(包括邊界),則PAPC的取值

9、范圍是.題組二利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決平行、垂直問題6.(2020江蘇啟東中學(xué)高二上期中,)已知兩個向量a=(2,-1,3),b=(4,m,n),且ab,則m+n的值為(深度解析)A.1B.2C.4D.87.()在三棱柱A1B1C1-ABC中,側(cè)棱AA1底面A1B1C1,BAC=90,AB=AC=AA1=1,D是棱CC1的中點,P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點.若點Q在直線B1P上,則下列結(jié)論正確的是()A.當(dāng)點Q為線段B1P的中點時,DQ平面A1BDB.當(dāng)點Q為線段B1P的三等分點時,DQ平面A1BDC.在線段B1P的延長線上,存在一點Q,使得DQ平面A1BDD.不存在點Q,使DQ

10、與平面A1BD垂直8.()已知a=(3,2-1,1),b=(+1,0,2).若ab,則=;若ab,則+=.9.(2020浙江紹興高二上期末階段測試,)如圖,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1,AA1平面ABCD,四邊形ABCD是正方形,點E在線段A1D上,且A1E=2ED.(1)證明:BD1AC;(2)證明:BD1平面ACE.題組三利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決長度和夾角問題10.(2020安徽蕪湖高二上期末,)如圖,在三棱錐P-ABC中,ABC為等邊三角形,PAC為等腰直角三角形,PA=PC=4,平面PAC平面ABC,D為AB的中點,則異面直線AC與PD所成角的余弦值為(深度解析)A.14B.

11、24C.34D.1211.(2020湖北武漢高二期末聯(lián)考,)在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,P是底面ABCD(含邊界)上一動點,滿足A1PAC1,則線段A1P長度的取值范圍是()A.62,2B.62,3C.1,2D.2,312.(多選)(2020山東萊州第一中學(xué)高二上期末,)正方體A1B1C1D1-ABCD的棱長為2,M為B1C1的中點,下列命題中正確的是()A.AB1與BC1成60角B.若CN=13NC1,面A1MN交CD于點E,則CE=13C.P點在正方形ABB1A1邊界及內(nèi)部運(yùn)動,且MPDB1,則P點的軌跡長等于2D.E,F分別在DB1,A1C1上,且DEEB1=A1FF

12、C1=2,直線EF與AD1,A1D所成角分別是,則+=2答案全解全析基礎(chǔ)過關(guān)練1.C點P關(guān)于平面Oyz對稱的點的坐標(biāo)與點P的橫坐標(biāo)相反,故選C.2.D設(shè)中點坐標(biāo)為(x,y,z),根據(jù)中點坐標(biāo)公式得x=1+32=2,y=-2+22=0,z=3-52=-1.3.答案(-2,-1,-4);(-4,2,-4)解析如圖建系,則O(0,0,0),A1(4,0,4),B1(0,2,4),B(0,2,0),A1B=(-4,2,-4).D為A1B1的中點,D(2,1,4),DO=(-2,-1,-4).4.Aa-b=(-1,2,-1),b=a-(-1,2,-1)=(1,-2,1)-(-1,2,-1)=(2,-4,

13、2),故選A.5.Aa+2b=(1,2,3)+2(-1,0,1)=(1,2,3)+(-2,0,2)=(-1,2,5),故選A.6.答案1解析a,b,c共面,存在實數(shù)m,n,使得c=ma+nb,1=m+2n,4=m-n,4=2m+2n,解得=1.7.答案-13解析a與b共線,R,使b=a,-1=x,3=,9=3,解得=3,x=-13.8.解析由題得AB=(2,6,-3),AC=(-4,3,1).(1)OP=12(AB-AC)=12(2+4,6-3,-3-1)=12(6,3,-4)=3,32,-2,P3,32,-2.(2)AP=12(AB-AC)=12(2+4,6-3,-3-1)=12(6,3,-

14、4)=3,32,-2,OP=OA+AP=(2,-1,2)+3,32,-2=5,12,0,P5,12,0.9.Ap=a-b=(1,0,-1),q=a+2b-c=(1,1,0)+(0,2,2)-(1,0,1)=(0,3,1),pq=10+03+(-1)1=-1,故選A.10.B如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(2,0,0),M12,32,3,N32,32,0,AB=(2,0,0),NM=(-1,0,3),ABNM=2(-1)+0+0=-2,故選B.11.解析(1)由題圖知,O(0,0,0),E1,12,1,G12,1,12,F1,0,12,OE=1,12,1,OG=12,1,12,

15、OF=1,0,12,FG=OG-OF=12,1,12-1,0,12=-12,1,0.(2)(OE+OG)FG=32,32,32-12,1,0=34,EG=OG-OE=-12,12,-12,|EG|=EG2=32.12.解析(1)a=(2,1,-2),c=(-1,0,1),a+2c=(2,1,-2)+(-2,0,2)=(0,1,0),|a+2c|=0+1+0=1.(2)設(shè)b=(x,y,z),則ab=2x+y-2z=-1,|b|=x2+y2+z2=3,bc=-x+z=0,由得x=2,y=-1,z=2或x=-2,y=-1,z=-2,b=(2,-1,2)或b=(-2,-1,-2).13.Aac,ac=

16、2x-4+2=0,解得x=1,又bc,12=y-4=12,解得y=-2,則x+y=-1,故選A.14.D設(shè)正方體的棱長為1,如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,則A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),C1(0,1,1),M12,1,12,N0,12,12,MN=-12,-12,0,CC1=(0,0,1),AC=(-1,1,0),BD=(-1,-1,0),A1B1=(0,1,0),MNCC1=0,MNCC1,A說法正確;MNAC=12-12=0,MNAC,B說法正確;易知BD=2MN,且M,NBD,MNBD,C說法正確;設(shè)MN=A1

17、B1,得-12=0,-12=,0=0,無解,所以MN與A1B1不平行,D說法錯誤.故選D.15.答案337,-157,-3解析因為ABBC,所以ABBC=0,即13+51+(-2)z=0,所以z=4.因為BP平面ABC,所以BPAB,且BPBC,即1(x-1)+5y+(-2)(-3)=0,3(x-1)+y+4(-3)=0,解得x=407,y=-157,所以BP=337,-157,-3.16.A由中點坐標(biāo)公式,得P(1,1,-1),所以O(shè)P=(1,1,-1),|OP|=1+1+1=3.故選A.17.D由題意得,A(3,3,-1),所以AB=(-4,-2,6),所以|AB|=16+4+36=214

18、,故選D.18.解析(1)由題意得,D(1,2,1),AD=(1,1,-1),|AD|=1+1+1=3,即線段AD的長為3.(2)易知AB=(1,-2,1),ABAD=2-2a+1=1,解得a=1,AD=(2,1,1).cos=ABAD|AB|AD|=166=16,即向量AB與AD夾角的余弦值為16.19.解析由題意知A(1,0,1),B(1,1,0),C(0,1,0),D(1,1,1).(1)由PB=2PA得P1,13,23,所以M-1,13,-23,所以|PM|=2133.(2)當(dāng)點P是面對角線AB的中點時,P1,12,12,點Q在面對角線DC上運(yùn)動,設(shè)點Q(a,1,a),a0,1,則|P

19、Q|=(a-1)2+1-122+a-122=2a2-3a+32=2a-342+38,所以當(dāng)a=34時,|PQ|取得最小值64,此時點Q34,1,34.方法歸納利用向量坐標(biāo)求空間中線段長度的一般步驟:(1)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;(2)求出線段端點的坐標(biāo)(或線段對應(yīng)向量的坐標(biāo));(3)利用兩點間的距離公式求出線段的長(或利用向量模的坐標(biāo)公式求出對應(yīng)向量的模).能力提升練1.Da,b,c不能構(gòu)成空間的一個基底,a,b,c共面,則c=xa+yb,其中x,yR,則(7,5,)=(2x,-x,3x)+(-y,4y,-2y)=(2x-y,-x+4y,3x-2y),7=2x-y,5=-x+4y,=3x-2

20、y,解得x=337,y=177,=657.故選D.2.C點Q在直線OP上運(yùn)動,設(shè)OQ=OP=(,2)(R),則QA=OA-OQ=(1-,2-,3-2),QB=OB-OQ=(2-,1-,2-2),QAQB=6-432-23,當(dāng)=43時,QAQB最小,此時,Q43,43,83,故選C.3.AC如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,則A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),D(0,0,0),A1(a,0,a),B1(a,a,a),Oa2,a2,a2,A1B1=(0,a,0),AC=(-a,a,0),AB=(0,a,0),A1C=(-a,a,-a),CD=(0,-a,0),AB1=(0,a,a),A

21、1O=-a2,a2,-a2.A1B1AC=a2,A對;ABA1C=a2,B錯;CDAB1=-a2,C對;ABA1O=12a2,D錯.故選AC.4.BCD易得ab=ac=bc=-3+0+3=0.(ab)c=0,bc=0,所以A選項錯誤;(a+b)c-a(b+c)=ac+bc-ab-ac=0,所以(a+b)c=a(b+c),所以B選項正確;(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=a2+b2+c2,所以C選項正確;(a-b-c)2=a2+b2+c2-2ab+2bc-2ac=a2+b2+c2,即(a+b+c)2=(a-b-c)2,|a+b+c|=|a-b-c|,所以D選項正確.故選

22、BCD.5.答案12,1解析如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系,則A1(0,0,0),A(0,0,1),C(1,1,1).設(shè)P(x,y,0)(x,y0,1).則PA=(-x,-y,1),PC=(1-x,1-y,1),PAPC=-x(1-x)-y(1-y)+1=x-122+y-122+12.x,y0,1,當(dāng)x=12,y=12時,PAPC有最小值12.當(dāng)點P取(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0)時,PAPC有最大值1.PAPC的取值范圍是12,1.6.C因為ab,所以R,使得b=a,得4=2,m=-,n=3,解得=2,m=-2,n=6,所以m+n=4,故選C.解題反思在解決有關(guān)

23、平行的問題時,通常需要引入?yún)?shù),如本題中已知ab,引入?yún)?shù),使b=a,轉(zhuǎn)化為方程組求解;本題也可以利用坐標(biāo)成比例求解,即由ab,得42=m-1=n3,求出m,n.7.D如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,則A1(0,0,0),B1(1,0,0),B(1,0,1),D0,1,12,P(0,2,0),所以B1P=(-1,2,0),B1D=-1,1,12,A1B=(1,0,1),A1D=0,1,12.設(shè)存在點Q,使DQ與平面A1BD垂直,設(shè)B1Q=B1P(01),則DQ=B1Q-B1D=B1P-B1D=(-,2,0)-1,1,12=1-,2-1,-12.由DQA1B,DQA1D,得1-12=0,2-1-14=

24、0,無解,故選D.8.答案-35;710解析由ab,得ab=3(+1)+2=0,解得=-35.由ab,得+13=21,且2-1=0,解得=15,=12,所以+=710.9.證明(1)設(shè)AC與BD交于點O,A1C1與B1D1交于點O1,連接OO1,設(shè)AB=a,AA1=b.如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,則O(0,0,0),A0,-22a,0,B22a,0,0,C0,22a,0,D-22a,0,0,A10,-22a,b,D1-22a,0,b,BD1=(-2a,0,b),AC=(0,2a,0),BD1AC=0,BD1AC.(2)設(shè)E(x,y,z),A1E=2ED,A1E=2ED,即x,y+22a,z-b=

25、2-22a-x,-y,-z,解得x=-23a,y=-26a,z=b3,即E-23a,-26a,13b,AE=-23a,23a,13b.設(shè)BD1=AC+AE(,R),則(-2a,0,b)=(0,2a,0)+-23a,23a,13b,即-2a=0-23a,0=2a+23a,b=0+13b,解得=-1,=3,即BD1=-AC+3AE.BD1,AC,AE共面,又BD1平面ACE,BD1平面ACE.10.B取AC的中點O,連接OP,OB,PA=PC,ACOP,平面PAC平面ABC,平面PAC平面ABC=AC,OP平面ABC,又AB=BC,ACOB,以O(shè)為坐標(biāo)原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,PAC是等腰直角三角形,PA=PC=4,ABC為等邊三角形,A(22,0,0),C(-22,0,0),P(0,0,22),D(2,6,0),AC=(-42,0,0),PD=(2,6,-22),cos=ACPD|AC|PD|=-8424=-24.異面直線AC與PD所成角的余弦值為24.故選B.解題反思用坐標(biāo)法求解立體幾何問題,關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系.建系時,關(guān)鍵是尋找線面垂直的條件,將垂線所在直線作為z軸,利用底面的圖形特點建立x軸和y軸.11.A如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),A1(0,0,1),C1(1,1,1),P是底面ABCD(含邊界)上一動點,設(shè)P(x,y,0)(