1113導(dǎo)數(shù)的幾何意義

1、1.1.3 導(dǎo)數(shù)的幾何意義一.曲線的切線y=f(x)PQMxyOxyPy=f(x)QMxyOxy 如圖,曲線C是函數(shù)y=f(x)的圖象, P(x0,y0)是曲線C上的任意一點(diǎn), Q(x0+x, y0+y)為P鄰近一點(diǎn), PQ為C的割線, PM/x軸, QM /y軸, 為PQ的傾斜角.PQoxyy=f(x)割線切線T 請看當(dāng)點(diǎn)Q沿著曲線逐漸向點(diǎn)P接近時(shí), 割線PQ繞著點(diǎn)P逐漸轉(zhuǎn)動(dòng)的情況. 我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)點(diǎn)Q沿著曲線無限接近點(diǎn)P即x0時(shí), 割線PQ有一個(gè)極限位置PT.則我們把直線PT稱為曲線在點(diǎn)P處的切線. 設(shè)切線的傾斜角為,那么當(dāng)x0時(shí), 割線PQ的斜率, 稱為曲線在點(diǎn)P處的切線的斜率.即: 這個(gè)

2、概念: 提供了求曲線上某點(diǎn)切線的斜率的一種方法; 切線斜率的本質(zhì)函數(shù)平均變化率的極限. 注意,曲線在某點(diǎn)處的切線: (1) 與該點(diǎn)的位置有關(guān); (2) 要根據(jù)割線是否有極限位置來判斷與求解。如有極限, 則在此點(diǎn)有切線, 且切線是唯一的; 如不存在,則在此點(diǎn)處無切線; (3)曲線的切線,并不一定與曲線只有一個(gè)交點(diǎn), 可以有多個(gè),甚至可以無窮多個(gè).例1求拋物線y=x2過點(diǎn)(1，1)的切線的斜率。解：過點(diǎn)(1，1)的切線斜率是f (1)= 因此拋物線過點(diǎn)(1，1)的切線的斜率為2.例2求雙曲線y= 過點(diǎn)(2， )的切線方程。解：因?yàn)?所以這條雙曲線過點(diǎn)(2， )的切線斜率為 ， 由直線方程的點(diǎn)斜式，

3、得切線方程為例3求拋物線y=x2過點(diǎn)( ，6)的切線方程。解：點(diǎn)( ，6)不在拋物線上，設(shè)此切線過拋物線上的點(diǎn)(x0，x02)，因?yàn)?又因?yàn)榇饲芯€過點(diǎn)( ，6)和點(diǎn)(x0，x02), 所以此切線方程的斜率為2x0，所以 即x025x0+6=0，解得x0=2，或x0=3，所以切線方程為y=4x4或 y=6x9. 例4求曲線y=sinx在點(diǎn)( )處的切線方程.解：k= 切線方程是 即 例5y=x3在點(diǎn)P處的切線斜率為3，求點(diǎn)P的坐標(biāo).解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)(x0，x03)斜率3= 3x02=3，x0=1. P點(diǎn)的坐標(biāo)是(1，1)或(1，1) .練習(xí)題1曲線y=x2在x=0處的（ ） A切線斜率為1 B切線方程為y=2x C沒有切線 D切線方程為y=0D2已知曲線y=2x2上的一點(diǎn)A(2，8)，則點(diǎn)A處的切線斜率為（ ） A4 B16 C8 D2C3函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)f (x0)的幾何意義是（ ） A在點(diǎn)x=x0處的函數(shù)值 B在點(diǎn)(x0，f(x0)處的切線與x軸所夾銳角的正切值 C曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處的切線的斜率 D點(diǎn)(x0，f(x0)與點(diǎn)(0，0)連線的斜率C4已知曲線y=x3上過點(diǎn)(2，8)的切線方程為12xay16=0，則實(shí)數(shù)a的值為（ ） A1 B1 C2 D2B5若f (x0)=3，則（ ） A3 B6 C9 D12