多自由度系統(tǒng)自由振動的基本方法和一般理論

1、多自由度系統(tǒng)自由振動的基本方法和一般理論 第4章 多自由度系統(tǒng)的振動 4-2 多自由度系統(tǒng)自由振動的一般理論4.2.1 運動方程的建立建立運動方程的基本方法 直接平衡法: 適合于自由度較少的集中質(zhì)量離散系統(tǒng)； 適合任意的多自由度系統(tǒng)； 分布質(zhì)量系統(tǒng)，離散化，有限單元法。N質(zhì)點 , 具有L個完整約束，n自由度系統(tǒng) 研究對象： 動能： 勢能： 拉格朗日廣義函數(shù) ： 第4章 多自由度系統(tǒng)的振動 4.2.2 固有頻率和固有振型自由振動解 ： A振幅矢量 x 位移矢量 無阻尼固有頻率 初相角 齊次方程組 ： 無法確定A中的所有元素，但可確定其相對比值； A中的 n-1個未知元素和 , 可由方程(4.2.

2、6)唯一確定。 特點：特征值問題： 為特征值，A為特征矢量。非零解條件 頻率方程： 頻率方程關(guān)于 2的n個根，即系統(tǒng)的固有頻率。 4.2.2 固有頻率和固有振型 第4章 多自由度系統(tǒng)的振動 性質(zhì)1. 動能T正定，即M正定，且M和K對稱，則 i2 必為實根；證明： 設(shè)滿足方程(4.2.6)的某個特征對= 2 和A為復(fù)數(shù)，則有M和K為對稱矩陣 以上二式相減 : M正定 :證畢 # 性質(zhì)2. 若勢能V也是正定，即K正定，即系統(tǒng)具有足夠的約束，不會發(fā)生剛體位移 ，則 i2 必為正的實根；證略。 特征根性質(zhì) 第4章 多自由度系統(tǒng)的振動 設(shè)系統(tǒng)的 n 個特征值互異: 系數(shù)矩陣奇異，矩陣的秩= n1。 計算

3、A i 的具體過程 ： 任選 n1個方程; 取A i 中某個元素為單位1，化為 n1階非齊次方程組; 求解得A i ，作歸一化處理得歸一化振型 i 。n 個特征對：特征矢量的計算過程 第4章 多自由度系統(tǒng)的振動 特征矢量的計算過程(續(xù)) 第4章 多自由度系統(tǒng)的振動 例4.2.1 計算例中三層框架的固有頻率和固有振型。 解:特征方程： 例 第4章 多自由度系統(tǒng)的振動 例續(xù) 第4章 多自由度系統(tǒng)的振動 例4.2.2 求例所述系統(tǒng)的固有頻率和振型矩陣。 解:特征方程： 例 第4章 多自由度系統(tǒng)的振動 4.2.3 主坐標(biāo) 在特定的初始條件下，系統(tǒng)可能以單一的振型振動主振動 ji ( j =1 , 2

4、, , n) 第i 階歸一化振型矢量的各元素 自由振動一般解: 主坐標(biāo): 坐標(biāo)變換的矩陣形式 : 振型矩陣 ：由各歸一化振型矢量 i 組成的矩陣； x為物理坐標(biāo)，X為振型坐標(biāo)特殊形式的廣義坐標(biāo)。 4.2.3 主坐標(biāo) 第4章 多自由度系統(tǒng)的振動 4.2.4 振型矢量的正交性運動方程的特點： 耦合，求解困難，費時！ 解耦，變成 n 個獨立的單自由度系統(tǒng) 。措施：前提：坐標(biāo)變換，基矢量具有正交和完備的性質(zhì)。第i 階主振動 : 第j 階主振動: 4.2.4 振型矢量的正交性 第4章 多自由度系統(tǒng)的振動 模態(tài)質(zhì)量: 模態(tài)剛度: 等效模態(tài)單自由度: 正交性條件: 系統(tǒng)的動能和勢能可以用主坐標(biāo)表示 ! 拉格

5、朗日方程 主坐標(biāo)表示系統(tǒng)的動能和勢能 第4章 多自由度系統(tǒng)的振動 4.2.5 振型矢量的歸一化 方法1: 令振型矢量中最大的元素等于單位1 ; 方法2: 關(guān)于質(zhì)量矩陣歸一化的振型矩陣： 4.2.6 初始條件 由物理坐標(biāo)的初始條件確定模態(tài)坐標(biāo)的初始條件： 4.2.5 振型矢量的歸一化 第4章 多自由度系統(tǒng)的振動 分量形式： 4.2.6 初始條件 第4章 多自由度系統(tǒng)的振動 4.2.7 關(guān)于特征根的重根問題 不失一般性，假定某一特征根為二重根：系數(shù)矩陣的秩等于n2。 4.2.7 關(guān)于特征根的重根問題 第4章 多自由度系統(tǒng)的振動 4-3 多自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動瑞雷耗散函數(shù)： 拉格朗日方程： 運

6、動方程： 方程解耦的關(guān)鍵：阻尼矩陣 C的對角化！ 4-3 多自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動 第4章 多自由度系統(tǒng)的振動 4.3.1 阻尼的處理 瑞雷阻尼: 振型折算阻尼系數(shù):通常利用前兩階振型的阻尼比來近似計算 和 1和2可通過實驗方法測試，也可以根據(jù)經(jīng)驗來選定 ! 4.3.1 阻尼的處理 第4章 多自由度系統(tǒng)的振動 高階的阻尼比: 瑞雷阻尼擴大了高階阻尼，即抑制了高階振型對響應(yīng)的影響 ! 振型疊加法: 模態(tài)截斷求系統(tǒng)的響應(yīng): 瑞雷阻尼的振型阻尼比 第4章 多自由度系統(tǒng)的振動 4.3.2 響應(yīng)的計算 坐標(biāo)變換按振型分解: 根據(jù)正交性條件(4.2.28)和(4.3.5)以及關(guān)系(4.3.6) 運動方

7、程：單自由度系統(tǒng)的運動方程，根據(jù)初始條件求解。4.3.2 響應(yīng)的計算 第4章 多自由度系統(tǒng)的振動 初始條件: 分量形式: 模態(tài)坐標(biāo) X i的自由振動響應(yīng): 按振型疊加求響應(yīng) : 模態(tài)坐標(biāo)方程 : 模態(tài)坐標(biāo)響應(yīng) 第4章 多自由度系統(tǒng)的振動 4-4 多自由度系統(tǒng)的受迫振動分析 4.4.1 概述運動方程： 模態(tài)分析法： 運動方程解耦； 選用較少的低階模態(tài)反映響應(yīng)的總體特征 ； 直接用振型阻尼比 i 計算響應(yīng)； 只能適用于線性系統(tǒng)； 選取振型的階數(shù)與荷載的頻譜特性有關(guān)。 選用較少的高階模態(tài)反映響應(yīng)的局部變形特征 ； 4-4 多自由度系統(tǒng)的受迫振動分析 第4章 多自由度系統(tǒng)的振動 在每個小區(qū)間內(nèi)直接對運

8、動方程進(jìn)行積分; 適合于任意系統(tǒng) ; 具有低通濾波的作用，f c=1/t 逐步積分法： 彈性階段，先解耦，再求模態(tài)坐標(biāo)的受迫振動響應(yīng)。 4.4.2 無阻尼受迫振動的響應(yīng)計算運動方程 ： (1) 簡諧荷載引起的振動及系統(tǒng)的共振 共振法測固有頻率。 4.4.2 無阻尼受迫振動的響應(yīng)計算 第4章 多自由度系統(tǒng)的振動 (2) 任意荷載引起的振動與模態(tài)分析法 正交性條件 初始條件 : 模態(tài)坐標(biāo)的無阻尼受迫振動響應(yīng): (2) 任意荷載引起的振動與模態(tài)分析法 第4章 多自由度系統(tǒng)的振動 4.4.3 有阻尼受迫振動的響應(yīng)計算(1) 簡諧荷載引起的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)代入方程，比較系數(shù) 周期荷載: 按富里葉展開; 一般荷載

9、: 聯(lián)合運用模態(tài)分析法和數(shù)值積分法。 運動方程 ：4.4.3 有阻尼受迫振動的響應(yīng)計算 第4章 多自由度系統(tǒng)的振動 (2) 模態(tài)分析法求任意荷載引起的穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 初始條件 : (2) 模態(tài)分析法求任意荷載引起的穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 第4章 多自由度系統(tǒng)的振動 (3) 傳遞函數(shù) 復(fù)數(shù)形式解: 運動方程： (4.4.21) 單點激振: 分量形式 : (3) 傳遞函數(shù) 第4章 多自由度系統(tǒng)的振動 多輸入和多輸出離散系統(tǒng)傳遞函數(shù): 單點激振: 分量形式: 多輸入和多輸出離散系統(tǒng)多輸入多輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 第4章 多自由度系統(tǒng)的振動 【例】四層剪切型框架結(jié)構(gòu)，在結(jié)構(gòu)的頂部作用水平簡諧荷載：F=cos pt，求： 系統(tǒng)

10、的固有頻率，固有振型及各階的模態(tài)質(zhì)量和模態(tài)剛度；(2) 用振型分析法分別求當(dāng) p=0, 1和1.3 2 時頂層的水平位移。解：(1) 選各層的水平位移為廣義坐標(biāo) 例 第4章 多自由度系統(tǒng)的振動 特征值問題 : 圖4.4.1 四層剪切型框架的振型圖(2階)(3階)(4階)(1階)模態(tài)質(zhì)量: 模態(tài)剛度:四層剪切型框架的振型圖 第4章 多自由度系統(tǒng)的振動 (2) 三個激振頻率下分別計算頂層的水平位移響應(yīng) 頂層水平位移響應(yīng) : N=1N=2N=3N=4 p1=01.9701032.4921032.6021032.604103 p2=0.5 12.6261033.1761033.2891033.2911

11、03 p3=1.3 3-1.301104-3.630104-5.228104-4.987104表不同模態(tài)截斷下的頂層水平位移響應(yīng) x 11/ F 1 前兩種情況: N=2具有一定精度， N=3具有足夠精度； 后一種情況: 振型不能截斷，p3已接近 4 。表 第4章 多自由度系統(tǒng)的振動 4.4.4 模態(tài)加速度法運動方程 ：偽靜態(tài)響應(yīng) ： 第二項為加速度的影響模態(tài)加速度法。 4.4.4 模態(tài)加速度法 第4章 多自由度系統(tǒng)的振動 第r個自由度的響應(yīng): 【例】同例，用模態(tài)加速度法求解。 解：先求 K 的逆 例 第4章 多自由度系統(tǒng)的振動 N=1N=2N=3N=4 p1=02.6041032.60410

12、32.6041032.604103 p2=0.5 13.2611033.2881033.2911033.291103 p3=1.3 35.044104-2.506104-5.206104-4.987104表4.4.2 模態(tài)加速度法計算的頂層水平位移響應(yīng) x 11/ F 1 p1不需要振型疊加； p2取一階振型就有足夠的精度； 對于p3，第四階振型仍為主模態(tài)，振型不能截斷。表 第4章 多自由度系統(tǒng)的振動 習(xí)題 4.1 圖示伸臂梁上面有兩個集中質(zhì)量m1=m2=m，梁的抗彎剛度為EI，不計梁的質(zhì)量，試建立系統(tǒng)的自由振動微分方程，并求系統(tǒng)的固有特性。 題4.1圖運動微分方程: 第4章 多自由度系統(tǒng)的振

13、動 習(xí)題 4.2 若習(xí)題中的A為固定端，重新計算習(xí)題。( 題4.2圖 )( 基本結(jié)構(gòu) ) 第4章 多自由度系統(tǒng)的振動 習(xí)題 4.3 圖示三跨連續(xù)梁的跨中各有一個集中質(zhì)量，梁的抗彎剛度為EI，不計梁的質(zhì)量，試建立系統(tǒng)的自由振動微分方程，并利用對稱性求系統(tǒng)的固有特性。 題4.3圖對稱模態(tài)反對稱模態(tài)對稱模態(tài)( 對稱模態(tài)的半結(jié)構(gòu) )( 反對稱模態(tài)的半結(jié)構(gòu) )運用位移法畫單位荷載彎矩圖. 第4章 多自由度系統(tǒng)的振動 習(xí)題 ( 對稱模態(tài)的半結(jié)構(gòu) ) 第4章 多自由度系統(tǒng)的振動 習(xí)題 ( 反對稱模態(tài)的半結(jié)構(gòu) ) 第4章 多自由度系統(tǒng)的振動 習(xí)題 4.4 求下列情況下系統(tǒng)的自由振動響應(yīng)：(1) 例4.1 中分

14、別在m1和m2處施加豎向集中力Fp，然后突然釋放；(2) 兩處同時施加豎向集中力Fp ，然后突然釋放；(3) 分別在m1和m2處作用一個脈沖力使之產(chǎn)生初速度v0。 題4.4圖解：已求得柔度矩陣： 固有頻率： 關(guān)于M 歸一化振型矩陣： 第4章 多自由度系統(tǒng)的振動 習(xí)題 4.4(續(xù))模態(tài)變換: 各模態(tài)坐標(biāo)的響應(yīng): 模態(tài)疊加求響應(yīng): 第4章 多自由度系統(tǒng)的振動 習(xí)題 4.4(續(xù)) (1) 在m1處施加豎向集中力FP引起的兩質(zhì)塊的初始變形，初始條件為： 轉(zhuǎn)化為模態(tài)坐標(biāo)的初始條件: 模態(tài)坐標(biāo)的響應(yīng): 系統(tǒng)響應(yīng): 第4章 多自由度系統(tǒng)的振動 習(xí)題 4.5 按習(xí)題的三種情況，分別求習(xí)題中三跨連續(xù)梁的自由振動

15、響應(yīng)。 題4.5圖 第4章 多自由度系統(tǒng)的振動 習(xí)題 4.6 質(zhì)點m在空間運動，固定m的三個彈簧剛度系數(shù)均為k，各固定點的坐標(biāo)如圖所示，當(dāng)m在坐標(biāo)原點時各彈簧處于自然位置。(1) 建立質(zhì)點的運動方程；(2)將質(zhì)點沿坐標(biāo)軸方向各移動單位位移然后自由釋放，分別求質(zhì)點自由振動的響應(yīng)。 (0.6, 0.8, 0)(0, 0.5, 0.5)(0.5, 0, 0.5)題圖 第4章 多自由度系統(tǒng)的振動 習(xí)題 4.7 圖示簡支梁上有三個質(zhì)量m1=m2 =m3=m置于等分處，梁的抗彎剛度為EI，跨中有彈簧支承，k=EI / l3，不計梁的質(zhì)量。(1) 求各質(zhì)點自由振動的微分方程；(2) 求有彈簧支承和無彈簧支承

16、兩種情況下系統(tǒng)的自振頻率和主振型；(3) 在質(zhì)量塊重力作用下的靜平衡位置，突然撤去彈簧，求梁自由振動的響應(yīng)。 題4.7圖 第4章 多自由度系統(tǒng)的振動 習(xí)題 題4.8圖4.8 圖示結(jié)構(gòu)，梁的抗彎剛度為EI，彈簧的剛度系數(shù)k=EI / l3 ，梁在跨受均布動荷載 q的作用，已知激振頻率 p與系統(tǒng)的基頻之比為1/2。(1) 建立系統(tǒng)的運動方程；(2) 求自振頻率和主振型；(3) 求彈簧支座的最大動反力；(4) 求跨中點的最大動彎矩。 第4章 多自由度系統(tǒng)的振動 習(xí)題 4.9 圖示L形桿，抗彎剛度為EI，A為剛結(jié)點。桿在A、B兩點簡支，。在C、D兩點各有質(zhì)量為m的集中質(zhì)量，在D點作用水平簡諧力。(1) 建立系統(tǒng)的運動方程；(2) 求桿的自振頻率和主振型；(3) 求A截面處的最大動彎矩。 題圖 第4章 多自由度系統(tǒng)的振動 習(xí)題 題4.10圖4.10 圖示剛架，各桿的長度均為l，抗彎剛度為EI，在各桿的中間固定有集中質(zhì)量，在垂直桿的質(zhì)塊上作用有水平簡諧荷載，m1=m2=m 。(1) 試確定系統(tǒng)的自由度，并建立運動微分方程；(2) 求自振頻率和主振型；(3) 求m1的最大動位移和截面A處的最大動彎矩。 第4章 多自由度系