三系統(tǒng)能控性

1、第三節(jié) 系統(tǒng)的能控性Saturday, August 6, 202217.3 系統(tǒng)的能控性 在線性系統(tǒng)的定性分析中，系統(tǒng)的能控、能觀測(cè)性分析是一個(gè)很重要的內(nèi)容。它們是系統(tǒng)的兩個(gè)基本屬性。 能控性和能觀測(cè)性描述了輸入 對(duì)狀態(tài) 的控制能力和對(duì)狀態(tài)的反映能力。我們知道系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能受閉環(huán)零、極點(diǎn)的支配。用閉環(huán)輸入反饋難以任意配置零、極點(diǎn)，只能由狀態(tài)反饋來(lái)實(shí)現(xiàn)。能任意支配狀態(tài)和觀測(cè)狀態(tài)就顯得很重要了。這就是研究系統(tǒng)能控性和能觀測(cè)性的目的。Saturday, August 6, 20222一、能控性定義：系統(tǒng)能控性直觀概念：例7-3-1：系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下：顯然，只能控制 而不能影響 ，我們稱(chēng)狀態(tài)變量 是

2、可控的，而 是不可控的。只要系統(tǒng)中有一個(gè)狀態(tài)變量是不可控的，則該系統(tǒng)是不可控的。Saturday, August 6, 20223例7-3-2：系統(tǒng)傳遞函數(shù)為： ，其信號(hào)流圖如下可見(jiàn)，輸入 到所有的狀態(tài)變量都有一條通道相連，所以系統(tǒng)狀態(tài)完全可控。Saturday, August 6, 20224能控性定義： 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為： ，如果存在一個(gè)無(wú)約束的控制 ，能在有限的時(shí)間t內(nèi)，把系統(tǒng)從任意狀態(tài) 轉(zhuǎn)移到任意其他的狀態(tài) ，則稱(chēng)系統(tǒng)狀態(tài)完全能控，簡(jiǎn)稱(chēng)系統(tǒng)能控。 對(duì)于簡(jiǎn)單的系統(tǒng)，可以根據(jù)能控性的定義或方塊圖（信號(hào)流圖）來(lái)判斷系統(tǒng)的可控性（見(jiàn)例7-3-1和例7-3-2）。但是對(duì)于較復(fù)雜的系統(tǒng)

3、，用上述方法可能會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤，需要借助一些定理來(lái)判斷。Saturday, August 6, 20225二、能控性判據(jù)：1、能控性判據(jù)：線性定常連續(xù)系統(tǒng) 中，狀態(tài)完全能控的充分必要條件是能控性矩陣 滿秩。 即 若輸入 ，則： 當(dāng) 為單輸入（標(biāo)量）時(shí)， 為 方陣。此時(shí)系統(tǒng)能控的充要條件是： 為非奇異陣。討論：當(dāng) 為多輸入時(shí)（矢量）時(shí)， 為 維矩陣，求秩困難。可用下列方法解決： Saturday, August 6, 20226例7-3-3：上式為線性定常連續(xù)的單輸入系統(tǒng)，我們稱(chēng)之為可控標(biāo)準(zhǔn)型。所以 非奇異，不論 取何值，系統(tǒng)都是狀態(tài)能控的。Saturday, August 6, 20227例7-3

4、-4：系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為： 確定能控性條件。解：信號(hào)流圖如下：從信號(hào)流圖中可以看出， 能控， 能控的條件是 。所以系統(tǒng)完全可控的條件是 。若用能控性判據(jù)判斷： 若要 非奇異，只要求 即可。Saturday, August 6, 202282.能控性判據(jù)：能控性判據(jù)只能判定系統(tǒng)是否可控，而不能說(shuō)明哪些狀態(tài)變量可控，哪些狀態(tài)變量不可控?？煽匦耘袚?jù)要解決這個(gè)問(wèn)題。設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：當(dāng) 有互異特征根時(shí) 時(shí)，必存在非奇異陣 ，作線性變換 有：式中，Saturday, August 6, 20229 從上式看出：若 陣中某行元素全為零，則此行對(duì)應(yīng)的狀態(tài)變量不可控。如果有若干行元素全為零，則有若干個(gè)狀態(tài)變量

5、不可控。如果 中沒(méi)有元素全為零的行，則 可控。 可控時(shí)， 可控嗎？ 結(jié)論：非奇異線性變換不改變系統(tǒng)的能控性。Saturday, August 6, 202210說(shuō)明線性變換后，系統(tǒng)的能控性矩陣為：因?yàn)椋?均滿秩，所以 滿秩，故 能控。判據(jù)：設(shè)線性連續(xù)定常系統(tǒng) 的特征值 互異，則系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充要條件是：經(jīng)非奇異線性變換后的對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型 中的 陣不包含元素全為零的行。其中， 。Saturday, August 6, 202211當(dāng) 有重特征根時(shí)，必可化為約當(dāng)陣。作線性變換 判據(jù)設(shè)系統(tǒng)具有重特征值，其中 ，則系統(tǒng)狀態(tài)能控的充要條件是：經(jīng)非奇異線性變換后的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型中，與每個(gè)約當(dāng)塊的最后一行相對(duì)應(yīng)

6、的 陣的行，其元素不全為零。Saturday, August 6, 202212說(shuō)明把狀態(tài)方程化成約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型，把n個(gè)狀態(tài)變量按照特征值分成k組，各組之間沒(méi)有耦合關(guān)系。要保證系統(tǒng)能控，必須使各組的狀態(tài)變量都受輸入 的控制。在每一個(gè)約當(dāng)塊中對(duì)應(yīng)的狀態(tài)變量是互相耦合的。其耦合關(guān)系如下（以 為例）：假設(shè)：它對(duì)應(yīng)的狀態(tài)變量為 ，則：只要 ，則 與 有關(guān)，不論 是否為零 都與 有關(guān)，所以 可控。表示約當(dāng)塊最大部分的狀態(tài)變量受u的控制，則相當(dāng)于該約當(dāng)塊的一組狀態(tài)變量都受u的控制。Saturday, August 6, 202213例7-3-5：狀態(tài)方程為： 試判定其穩(wěn)定性。 解：由 得 :對(duì)應(yīng)的特征向量為： 對(duì)角