正定二次型與正定矩陣

1、關(guān)于正定二次型和正定矩陣第一張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月22一、基本概念定義 設(shè)A為實n階對稱矩陣，如果對于任意非零向量X，二次型f=XTAX均為正數(shù)，則稱二次型f為正定的，其矩陣A 稱為正定矩陣.定義 如果對于任意向量X，二次型f=XTAX均為非負(非正)數(shù)，則稱二次型f為半正(負)定的，其矩陣A 稱為半正(負)定矩陣.定義 如果實二次型f=XTAX對于某些向量X為正數(shù),并且對于對于某些向量X為負數(shù),則稱二次型是不定的.第二張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月33例第三張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月44二、正定矩陣的充分必要條件定理 實對稱矩陣A正定的充分必要

2、條件是其特征值都是正數(shù).證明 設(shè)實對稱矩陣A的特征值 都是正數(shù).存在正交矩陣Q,使得 QTAQ= , 為對角矩陣,其對角線元素為 , 對于 令 即 ,顯然 又 故這就證明了條件的充分性.第四張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月5設(shè)A是正定矩陣,而 是其任意特征值, X是屬于 的特征向量, 則有于是必要性得證.推論 若A是正定矩陣,則|A|0.證明 5第五張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月66例 判斷下列矩陣是否為正定矩陣解第六張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月77第七張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月88定理 實對稱矩陣A正定的充分必要條件是它與單位矩陣合同.證明

3、 充分性.設(shè)實對稱矩陣A合同與E,即存在可逆矩陣C,使得 對于任意向量XO,由于C可逆,可從 解出Y O,于是故A是正定的.必要性.設(shè)實對稱矩陣A是正定的.由于A是實對稱的,A合同于一個對角矩陣 ,其對角線元素是A的特征值 由于A是正定的,這些特征值大于零,而這樣的對角矩陣與單位矩陣合同,故A合同于單位矩陣.第八張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月9定理實對稱矩陣A 正定的充分必要條件是存在可逆矩陣P，使得A=PTP.證明設(shè)A=PTP,P可逆.對于任意 ,由于P可逆,PXo,故設(shè)A正定,則A合同于單位矩陣,即存在可逆矩陣,使得A=PTEP=PTP.第九張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022

4、年6月10例 A正定,B實對稱,則存在可逆矩陣R, 使得RTAR和RTBR同時為對角形.證明存在P,使得PTAP=E,PTBP實對稱,存在正交矩陣Q,使得 QTPTBPQ=D為對角形,令R=PQ,則為對角形.第十張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月11例A,B正定,AB正定的充分必要條件是A,B可交換.證明必要性設(shè)AB正定,則AB對稱,充分性 設(shè)A,B可交換,則AB是實對稱矩陣,A正定,A=CCT,AB=CCTBCTBC, CTBC是正定矩陣,特征值為正,AB特征值也為正數(shù),故AB正定.第十一張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月1212為了敘述下一個正定矩陣充分必要條件，我們引進定

5、義 給定實對稱矩陣則其前s行前s列元素組成的行列式稱為A的順序主子式.即第十二張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月1313的行列式.定理 實對稱矩陣 正定的充分必要條件是其順序主子式全大于零.第十三張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月1414例 用順序主子式判斷上例的矩陣的正定性.解故A正定.第十四張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月1515實對稱矩陣A正定的充分必要條件是1.其特征值都是正數(shù).2.A合同于3. 可逆.4.A的順序主子式全是正數(shù).5.A的主子式全是正數(shù).第十五張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月1616例 判斷下列二次型是否正定:第十六張，PPT共二十九

6、頁，創(chuàng)作于2022年6月17第十七張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月18例 t在什么范圍取值時二次型是正定二次型?解第十八張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月19第十九張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月20定義 實對稱矩陣A的第 行和第 列的元素組成的行列式稱為主子式.例如是2階主子式.其中只有 是2階順序主子式.第二十張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月2121實對稱矩陣A半正定的充分必要條件是1.其特征值都是非負數(shù).2.A合同于3.A的正慣性指數(shù)p=r.4.A的所有主子式非負.第二十一張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月22定理 實對稱矩陣A半正定的充分必

7、要條件是所有主子式非負.證明 設(shè)A半正定.則A+tE正定.其所有主子式個.第二十二張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月23設(shè)A的所有主子式非負.考慮矩陣 其順序主子式 是A的 階主子式之和,故 正定,對于任意非零向量X, 令 得故A半正定.第二十三張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月24例但A并非半正定，事實上，A對應的二次型主子式順序主子式第二十四張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月2525三、正定矩陣的性質(zhì)1.若A為正定矩陣,則|A|0,A可逆.2.若A為正定矩陣,則A-1也是正定矩陣.證明 A為正定矩陣,其全部特征值為正數(shù),A-1的全部特征值是它們的倒數(shù),也全是正數(shù),故

8、A-1正定.3.正定矩陣的對角線元素都是正數(shù).4. A為正定矩陣,Ak也是正定矩陣.5.A,B為同階正定矩陣,則A+B是正定矩陣.6.若A為正定矩陣,則存在可逆矩陣P,使得A=PPT.7. A為正定矩陣,A 的所有主子式大于零.第二十五張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月2626證明 由于A合同于單位矩陣,存在可逆矩陣Q,使得A=QTEQ=QTQ=QT(QT)T=PPT,P=QT.8. 若A為n階正定矩陣, 則 正定.證明 對于任意m維列向量 由于矩陣P的列向量組線性無關(guān), 是P的列向量的非零線性組合,故 而A正定,故故 是正定矩陣.第二十六張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月2727的若干性質(zhì)1.若A為n階可逆矩陣,則 為正定矩陣.證明 是實對稱矩陣 .對于任意 A可逆, 否則 故 正定.2.若A為 矩陣,且 則 為m階正定矩陣, 為n階半正定矩陣,但非正定矩陣.證明 任意 A的列向