2022年《綜合法與分析法》參考教案

1、學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載綜合法與分析法教學(xué)目的：1把握綜合法、分析法證明不等式；2嫻熟把握已學(xué)的重要不等式；3增強(qiáng)同學(xué)的規(guī)律推理才能 教學(xué)重點(diǎn)： 綜合法、分析法 教學(xué)難點(diǎn)： 不等式性質(zhì)的綜合運(yùn)用一、復(fù)習(xí)引入：1重要不等式：假如a,bR,那么a2b22 ab 當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取a號(hào)號(hào).2定理 ：假如 a,b 是正數(shù),那么a2bab 當(dāng)且僅當(dāng)b 時(shí)取3 公式的等價(jià)變形 ：aba22b2,ab（a2b）24ba2（ab0）,當(dāng)且僅當(dāng) ab 時(shí)取“”號(hào)；ab5比較法之一（作差法）步驟：作差 比較法之二（作商法）步驟：作商 二、講解新課： 變形 判定與 0 的關(guān)系 結(jié)論 變形 判定與 1 的關(guān)系 結(jié)論（一）

2、1綜合法： 利用某些已經(jīng)證明過的不等式（例如算術(shù)平均數(shù)與幾何 平均數(shù)定理） 和不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要證明的不等式成立,這種證明方法通常叫做綜合法2用綜合法證明不等式的規(guī)律關(guān)系是：AB 1B 2B nB3綜合法的思維特點(diǎn)是：由因?qū)Ч?即由已知條件動(dòng)身,利用已知的數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)和公式,推出結(jié)論的一種證明方法（二） 1 分析法： 證明不等式時(shí),有時(shí)可以從求證的不等式動(dòng)身,分析使這 個(gè)不等式成立的條件, 把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些條件是否具備的問題,假如 能夠確定這些條件都已具備, 那么就可以確定原不等式成立, 這種方法通常叫做 分析法2用分析法證明不等式的規(guī)律關(guān)系是：BB 1B 2B nA學(xué)習(xí)好資料

3、 歡迎下載3分析法的思維特點(diǎn)是： 執(zhí)果索因4分析法的書寫格式 ：要證明命題 B 為真,只需要證明命題 B 為真,從而有 這只需要證明命題 B 為真,從而又有 這只需要證明命題 A 為真 而已知 A 為真,故命題 B 必為真例 1：已知 a b是正數(shù),且 ab,求證： a33 b2 a bab2轉(zhuǎn)化嘗試, 就是不斷查找并簡(jiǎn)化 欲證不等式成立的充分條件, 到一個(gè)明顯或易證其成立的充分條件為止 . 其規(guī)律關(guān)系是：BB 1B 2B nA證明： a0,b0,且ababa b , 要證3 a3 ba b ab ,只要證 2 22 a b a2 ab b只要證a2abb2ab,只要證a22abb20. ab

4、0,ab 20即a22ab2 b0得證 . 注： 分析法 的思維特點(diǎn)是： 執(zhí)果索因 .對(duì)于思路不明顯 ,感到無從下手的問題宜用分析法探究證明途徑 .另外 ,不等式的基本性質(zhì)告知我們 樣的變形 ,分析時(shí)貴在變形 ,不通思變 ,變就通聯(lián)想嘗試,就是由已知的不等式及題設(shè)條件動(dòng)身產(chǎn)生可以對(duì)不等式做這樣或那聯(lián)想 ,大膽嘗試 ,巧用已知不等式及不等式性質(zhì)做適當(dāng)變形,推導(dǎo)出要求證明的不等式.其規(guī)律關(guān)系是：AB1B2BnB法二：證明： a0,b0,且ab3 a2 ab2 2 a b,3 b2 ba2 2 ab , 3 a2 ab3 b2 ba2 2 a b2 2 ab ,a33 b2 a b2 ab法三a3a

5、3b3aab3學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載注：綜合法 的思維特點(diǎn)是： 執(zhí)因索果 . 基本不等式以及一些已經(jīng)得證的不等式往往與待證的不等式有著這樣或那樣的聯(lián)系,作由此及彼的聯(lián)想 往往能啟示我們證明的方向 .嘗試時(shí)貴在聯(lián)想, 浮想聯(lián)翩,思潮如涌 ；例 2.（P23 例 1）已知a,b,c是不全相等的正數(shù) ,求證cb22ab 三式ab2c2b c2a2ca2b26 abc證明：b2c22bc,a0, ab2c22abc同理bc2a22abcc a2b22abc 由于 a,b,c 不全相等,所以b2c22bc, c2a22ca, a2不能全取 “ =”號(hào),從而、三式也不能全取“ =”號(hào) a2b2ab2c2bc

6、2a2ca2b26abc法二：ab2bc22 ca3 33 ab3c3法三：ab2ac2bc2ba2ca2cb26 6法四：ab2ba22法五：a2 bc2b c2a2c a2b23 3a b22 c b 2 ca2例 3（P23 例 2）.已知a1,a 2,anR,且a 1a2an1,求證（1a 1 1a21an2n轉(zhuǎn)變 :同樣的條件 ,怎樣證明 : （2a12a22an3n證明：a 1R,1a11a 1a1即21a 12a 1,同理1a 22a 2 1a n2a n由于a1,a 2,anR,由不等式的性質(zhì),得（1a 1 1a2 1a n2na 1a 2an2n由于ia1時(shí),1a i學(xué)習(xí)好資

7、料歡迎下載a2an1時(shí)取等2a i取等號(hào),所以原式在a 1號(hào)變式：已知a1,a 2,an2R,且a 1a2an1,求證（2a 12a2an3n36例 4、（P24 例 3）求證27證（略）四、課堂練習(xí)：1設(shè) a, b, c R,bc2a22 abc |a2b1 求證：a2b22a22 求證：a2b22 bc23 如 a + b = 1, 求證：a1b1 22|ab2證： 1 a22b2a2b2a2b2022a2b22abc2cc 2a22a2 同理：b2c22bc,22c2c2ab三式相加：a22 bb2a223 由冪平均不等式：1a1b1a12ba21b2ab21 21222222 c22a1b1222d2已知 a,b,c,dR,求證 :ac+bd學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載分析一 :用分析法證法一 :1當(dāng) ac+bd0時(shí),明顯成立2當(dāng) ac+bd0 時(shí),欲證原不等式成立 , 只需證 ac+bd 2a 2+b 2c 2+d 2 即證 a 2c 2+2abcd+b 2d 2a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2即證 2abcdb 2c 2+a 2d 22即證 0bc-ad由于 a,b,c,dR,所以上式恒成立 , 綜合 1、2可知:原不等式成立分析二 :用綜合法證法二 :a 2+b 2c 2+d 2=a 2c 2+a