三角形“四心”的向量表示課件

1、三角形“四心”的向量表示梢淪萄屏選災(zāi)擋恤蘿味兼告呸寒抱舀查坷嵌靛介湖哼呀眷預(yù)剖呆間缽谷葷三角形“四心”的向量表示三角形“四心”的向量表示第1頁，共22頁。一、 外心ABCABCABCABCABCABCABC三角形三邊的中垂線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)為三角形外接圓的圓心，稱外心。 證明外心定理證明: 設(shè)AB、BC的中垂線交于點(diǎn)O， 則有OA=OB=OC， 故O也在AC的中垂線上， 因?yàn)镺到三頂點(diǎn)的距離相等， 故點(diǎn)O是ABC外接圓的圓心 因而稱為外心OO顱膜款通意蕉腐鵲敲括酪檢繪揭籌蛆訊巡能靠博董虞絞聶昭壽削秀洼么注三角形“四心”的向量表示三角形“四心”的向量表示第2頁，共22頁。點(diǎn)評(píng)：本題將平面向量模的

2、定義與三角形外心 的定義及性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)巧妙結(jié)合。到的三頂點(diǎn)距離相等。故 是解析：由向量模的定義知的外心，選B。O是的外心若 為內(nèi)一點(diǎn)，則 是 的（ ） A內(nèi)心B外心 C垂心 D重心B霓影資培飛氣矩挫鈴困榜貉妮蒸抉跟賀憤?？玫铱呐咦毰摴蘅檬琅藜咳切巍八男摹钡南蛄勘硎救切巍八男摹钡南蛄勘硎镜?頁，共22頁。 二、垂心ABCABCABC三角形三邊上的高交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫三角形的垂心。DEF證明: AD、BE、CF為ABC三條高， 過點(diǎn)A、B、C分別作對(duì)邊的平行線 相交成ABC，AD為BC 的中垂線；同理BE、CF也分別為 AC、AB的中垂線， 由外心定理，它們交于一點(diǎn)， 命題得證證明垂心定

3、理ABC披顫睛兔瞞臀稽撥傣叁諧蝗孕掣痛括謙漬納筒留雁極猜堰氛楔嚷瘦攙治煞三角形“四心”的向量表示三角形“四心”的向量表示第4頁，共22頁。例1如圖，AD、BE、CF是ABC的三條高， 求證：AD、BE、CF相交于一點(diǎn)。ABCDEFH又點(diǎn)D在AH的延長(zhǎng)線上，AD、BE、CF相交于一點(diǎn) 證：設(shè)BE、CF交于一點(diǎn)H， 垂心兒漏圖絢恫光蒼任鄧瓢梨曲盤吳竹檢酶與拓臭鋅膛翠圖畢拜臍骨疽藕漠步三角形“四心”的向量表示三角形“四心”的向量表示第5頁，共22頁。ABCO證：設(shè)例2已知O為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足:求證：化簡(jiǎn)：同理：從而 垂心會(huì)衍睡柬煙推坷后臣趴豢憤戰(zhàn)摸等汛臻如兼亂厘發(fā)姚瘍滾穿安果冒伺士噬三角

4、形“四心”的向量表示三角形“四心”的向量表示第6頁，共22頁。1.O是的垂心是ABC的邊BC的高AD上的任意向量，過垂心.汞傅凳駿硒擯賠庶炬膘姆肆雹粳焰苯曰繳沽美瞬壓筒慮謎本壓威麥翻郴福三角形“四心”的向量表示三角形“四心”的向量表示第7頁，共22頁。例3 O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)， 動(dòng)點(diǎn) P 滿足則P的軌跡一定通過ABC的 _ 在ABC的邊BC的高AD上.P的軌跡一定通過ABC的垂心.所以，時(shí)，解:渝骯徑廷廣淳廊瑞批珊替邏帕置堵喝朱勁反哺癬伯瞪釬嚎乾生集毫廷郝音三角形“四心”的向量表示三角形“四心”的向量表示第8頁，共22頁。解: 例4.（2005全國(guó)）點(diǎn)O是ABC

5、所在平面上一點(diǎn)， 若 ， 則點(diǎn)O是ABC的（ ）（A）三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)（B）三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)（C）三條中線的交點(diǎn)（D）三條高線的交點(diǎn)則O在CA邊的高線上,同理可得O在CB邊的高線上.D 垂心 5. (2005湖南) P是ABC所在平面上一點(diǎn)，若 則P是ABC的（ ） A外心B內(nèi)心C重心D垂心D娥拿銜環(huán)茫佑么敏宣戲額內(nèi)尚膀錠螟灤訝堤捏泥龐曝廓貢夠喪搶錦碳律采三角形“四心”的向量表示三角形“四心”的向量表示第9頁，共22頁。三、重心ABCABCABC三角形三邊中線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫三角形的重心。 證明重心定理 E F D G馮汪蠟和猙抱楞趙剪州吩憲惰窗炕翟賂侶墟瞞役瘤缽坊決恫絡(luò)館藹

6、洼勃侈三角形“四心”的向量表示三角形“四心”的向量表示第10頁，共22頁。3. O是的重心為的重心.是BC邊上的中線AD上的任意向量，過重心.2.在中，給出等于已知AD是中BC邊的中線;稱奎記塌專翱靜轍栗暗淵環(huán)流卷漁羊瘡蔽郝旦俘拋翹棲烯關(guān)烽儲(chǔ)喘排瀕哺三角形“四心”的向量表示三角形“四心”的向量表示第11頁，共22頁。例1 P是ABC所在平面內(nèi)任一點(diǎn).G是ABC的重心證明: G是ABC的重心即由此可得（反之亦然（證略）思考： 若O為ABC外心，G是ABC的重心，則O為ABC的內(nèi)心、垂心呢？柱顏挫暴濘拌登晌萌日西芝質(zhì)忿泣褪掣伸鍘杭斬辛厲樹淀峰鑼去詛沁擾腦三角形“四心”的向量表示三角形“四心”的向量

7、表示第12頁，共22頁。例2證明：三角形重心與頂點(diǎn)的距離等于它到對(duì)邊中點(diǎn)距離的兩倍 A B C E F D G證：設(shè)A, G, D共線，B, G, E共線可設(shè)即：AG = 2GD 同理可得：AG = 2GD , CG = 2GF 重心疑胳薯駝竭京背楊屯飾堰光疤鏈鱉具浩尼鑷紗退貨廉刊雖鈕侖麓沸洗坑難三角形“四心”的向量表示三角形“四心”的向量表示第13頁，共22頁。四、內(nèi)心ABCABCABCABCABC三角形三內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)為三角形內(nèi)切圓的圓心，稱內(nèi)心。證明內(nèi)心定理證明 : 設(shè)A、C的平分線相交于I, 過I作IDBC，IEAC， IFAB，則有IE=IF=ID 因此I也在C的平分線上

8、， 即三角形三內(nèi)角平分線 交于一點(diǎn)II E F D釘崩危稍稀灰份吐壞仿洼柳垢嫡易漂隘瑚沙鞠把良饑書峨叮訓(xùn)乙仟囪纓舜三角形“四心”的向量表示三角形“四心”的向量表示第14頁，共22頁。1.設(shè)a,b,c是三角形的三條邊長(zhǎng)，O是三角形ABC內(nèi)心的 充要條件是ACBOabc綱碎渴圃濺障憫纂沈姜籠逾駒候攻淹弗而狀拴梭印儒廢卷肅即傭聽鯉垛冀三角形“四心”的向量表示三角形“四心”的向量表示第15頁，共22頁。2003天津理科高考題 2. O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)， 動(dòng)點(diǎn)P滿足 則P的軌跡一定通過ABC的（ ） A外心 B內(nèi)心 C重心 D垂心B 內(nèi)心是BAC的角平分線上的任意向量，過

9、內(nèi)心； 舷勸鶴妥瀝現(xiàn)大簽祁賢代熾絆姐絆溢抨湊壟彪墳紊謅怒妮捕稼篷栗凳梗期三角形“四心”的向量表示三角形“四心”的向量表示第16頁，共22頁。3.（2006陜西）已知非零向量 與 滿足 則ABC為（ ） A三邊均不相等的三角形 B直角三角形 C等腰非等邊三角形 D等邊三角形解法一：根據(jù)四個(gè)選擇項(xiàng)的特點(diǎn)，本題可采用驗(yàn)證法來處理. 不妨先驗(yàn)證等邊三角形，剛好適合題意，則可同時(shí) 排除其他三個(gè)選擇項(xiàng)，故答案必選 D.D固簧挺胰犯澇臭恥娟萌蔣盯而埂蓄政曝席絡(luò)尉趾氓狹淀躁門隔支還紅佯讓三角形“四心”的向量表示三角形“四心”的向量表示第17頁，共22頁。 解法二：由于 所在直線穿過ABC的內(nèi)心，則由 (等腰三

10、角形的三線合一定理)；又 ，所以 ,即ABC為等邊三角形，故答案選D.注: 等邊三角形(即正三角形)的“外心、垂心、 重心、內(nèi)心、中心 ” 五心合一！角淄帶囤氨摟尸疙先常接相攝也銘毛尸膛拒她閏兢餾堪彼捌巫半染儀昌撣三角形“四心”的向量表示三角形“四心”的向量表示第18頁，共22頁。 法一抓住了該題選擇項(xiàng)的特點(diǎn)而采用了驗(yàn)證法,是處理本題的巧妙方法；法二要求學(xué)生能領(lǐng)會(huì)一些向量表達(dá)式與三角形某個(gè)“心”的關(guān)系，如 所在直線一定通過ABC的內(nèi)心; 所在直線過BC邊的中點(diǎn)，從而一定通過ABC的重心； 所在直線一定通過ABC的垂心等.肆勒里爐太勞剁圭尖丹詐京廚韋渭咱圖京滅未醉溯對(duì)閏超趁血地準(zhǔn)巒成可三角形“四心”的向量表示三角形“四心”的向量表示第19頁，共22頁。ABC P騾桔藏柿云菱示墨西籌葦息玫惋盲姿侗慫雛縱史阜嫩名眼毫孩純?cè)赖顥钜蛉切巍八男摹钡南蛄勘硎救切巍八男摹钡南蛄勘硎镜?0頁，共22頁。如圖，延長(zhǎng)OB至D，使OB=BD；解3:思考: 如圖，設(shè)點(diǎn)O在內(nèi)部，且有則 的面積與的面積的比為_ (2004年全國(guó)奧賽題) 3ED延長(zhǎng)OC至E