數(shù)理方程課件3-1

1、二階常微分方程的級數(shù)解法本征值問題李莉3-1 二階常微分方程的級數(shù)解法二階線性常微分方程為具一般性，設(shè)變數(shù)x是復(fù)變數(shù)，p(x)，q(x)，y(x)為復(fù)變函數(shù)。 p(x)和q(x)稱為方程的系數(shù)。方程的解完全由方程的系數(shù)決定方程解的解析性完全由方程系數(shù)的解析性決定用級數(shù)解法解常微分方程時，得到的解總是某一指定點 的鄰域內(nèi)收斂的無窮級數(shù)。方程系數(shù)p(x)，q(x)在 點的解析性就決定了級數(shù)解在 點的解析性，或者說，決定了級數(shù)解的形式，例如是泰勒級數(shù)還是羅朗級數(shù)。二階線性常微分方程的常點和奇點如果p(x)，q(x)在 點解析，則稱 為方程的常點；如果p(x)，q(x)中至少有一個在 點不解析，則稱

2、為方程的奇點；例1：超幾何方程系數(shù)是：在有限遠處，p(x)，q(x)有兩個奇點：x=0和x=1。所以，除了x=0和x=1是超幾何方程的奇點外，有限遠處的其它點都是方程的常點。例2： 勒讓德方程在有限遠處的奇點為：方程常點鄰域內(nèi)的級數(shù)解法定理如果p(x)，q(x)在圓 內(nèi)解析，則在此圓內(nèi)常微分方程初值問題存在唯一的解y(x)，并且y(x)在此圓內(nèi)單值解析。根據(jù)這個定理，可以把y(x)在 點的鄰域 內(nèi)展開為泰勒級數(shù)將這個形式的級數(shù)解代入微分方程，比較系數(shù)，就可以求出系數(shù) 。系數(shù) 均可用 ， 表示。設(shè)方程的解為將 和 也展開為泰勒級數(shù)：代入方程有：由上式可化為：上式可化為：由冪級數(shù)的乘法：比較等式兩

3、邊 同次冪的系數(shù)有：由此可知 可以由初值 以及 表示出來，如：以此類推，可求出全部系數(shù) ，從而得到方程的級數(shù)解。例3：在 的鄰域內(nèi)求解常微分方程 解： 這里設(shè)解為則把以上結(jié)果代入方程，比較系數(shù)得：由此可得系數(shù)的遞推公式：得到：于是方程的級數(shù)解為：通過這個實例，可以看出在常點鄰域內(nèi)求級數(shù)解的一般步驟： 將相同冪次項的系數(shù)歸并，比較系數(shù)，得到系數(shù)之間的遞推關(guān)系； 反復(fù)利用遞推關(guān)系，求出系數(shù) 的普遍表達式（用 和 表示），從而最后得出級數(shù)解。 將（方程常點鄰域內(nèi)的）解展開為泰勒級數(shù)，代入微分方程；求勒讓德方程 在x=0點鄰域內(nèi)的解，其中l(wèi)是一個參數(shù)。解：x=0是方程的常點，根據(jù)定理，可知解的形式為：

4、根據(jù)上式求出：代入方程中，有：整理合并，得到根據(jù)泰勒展開的唯一性，可得：即這樣就得到了系數(shù)之間的遞推關(guān)系。反復(fù)利用遞推關(guān)系，就可以求得系數(shù)。由遞推公式得：這樣得到l階Legendre方程的級數(shù)解其中現(xiàn)在確定 和 的收斂半徑。說明 和 在|x|1處發(fā)散。在 處， 和 可表示成常數(shù)項級數(shù)：由Gauss判別法，對 ，有對 ，有可知級數(shù) 與 均發(fā)散。即方程級數(shù)解在x=1和x=-1為無限值。勒讓德多項式在實際應(yīng)用中，遇到勒讓德方程時，往往還附有邊界條件：要求在 處收斂（實際問題中， ， 是球坐標(biāo)中角度， ）。勒讓德方程的兩個無限級數(shù)形式解均不滿足這個條件。注意：勒讓德方程還有一個參數(shù)l。如果l取某些特定

5、的值，則可能找到滿足以上邊界條件的解?？疾爝f推公式只要l是個整數(shù)，則當(dāng)k=l時，由系數(shù) 開始，以后的系數(shù)均為零。級數(shù)便截止于l項，退化為l次多項式，解就可能滿足邊界條件。這樣得到的多項式，稱為l階勒讓德多項式。當(dāng) （n=0,1,2.）時，此時 稱為2n階勒讓德多項式。在以上通解中取 ，則解成為：再取 ，使 ，可得：此時 稱為2n+1階勒讓德多項式。在以上通解中取 ，則解成為：再取 ，使 ，可得：當(dāng) （n=0,1,2.）時，綜上所述，只有當(dāng)l取整數(shù)時，勒讓德方程才能在 有解，這個解就是勒讓德多項式 ?？山y(tǒng)一表示為：其中定解問題 構(gòu)成本征值問題。本征值：本征解：n階勒讓德多項式 （第一類勒讓德函數(shù)

6、）結(jié)論：當(dāng)l不是整數(shù)時，勒讓德方程的通解為： ， 在端點上均無界，此時方程在-1，1無有界解；當(dāng)l是整數(shù)時（奇數(shù)或偶數(shù)）， 和 中一個是勒讓德多項式 ，另一個仍為無窮級數(shù)，記為 ，方程的通解為： 稱為第二類勒讓德函數(shù)，它在-1，1仍是無界的。方程正則奇點鄰域中的級數(shù)解如果 是p(x)的不超過一階的極點，即 在 解析；q(x)的不超過二階的極點，即 在 解析；這種奇點稱為方程的正則奇點，否則，稱為非正則奇點。定理：設(shè) 是方程 的正則奇點，則在 的領(lǐng)域內(nèi)，方程的基礎(chǔ)解系為：或：其中在方程正則奇點鄰域內(nèi)求解思路： 將正則解 或 代入方程 通過比較系數(shù)，求出指標(biāo)和遞推關(guān)系 進而求出系數(shù)的普遍表達式實際

7、的求解過程中，總是將 形式的解代入方程。 如果能夠同時求得兩個線性無關(guān)的解，則任務(wù)完成，沒有必要再將 形式的解代入方程中； 如果只能求得一個解，那么就必須將 形式（帶有對數(shù)部分）的解代入方程中。為了能夠方便地比較系數(shù)，往往需要對p(x)和q(x)進行處理，將它們展開為在正則奇點鄰域的冪級數(shù)形式。在正則奇點鄰域內(nèi)求方程級數(shù)解的一般步驟：用 乘方程 兩側(cè)，得：其中可化為：由正則奇點的條件知，新系數(shù) ， 在方程奇點 的領(lǐng)域中是解析的，可展成泰勒級數(shù)第1步：將方程的系數(shù)展開為正則奇點鄰域的級數(shù)形式；不管第二個解可能取哪種形式，總先設(shè)定解的形式為：從上式求出：第2步：寫出第一解形式，將其代入經(jīng)過變換的方程；將以上結(jié)果代入方程得到：消去因子 后，得：其中，最低次冪項是常數(shù)項（i=0，j=0，n=0時），其系數(shù)為零的方程是判定方程（指標(biāo)方程）因為 ，所以：第3步：比較系數(shù)，得到判定方程和系數(shù)之間的遞推關(guān)系；由方程 中，一般項 的系數(shù)為零的方程，可得待定系數(shù)之間的遞推關(guān)系。第4步：通過遞推關(guān)系，得到第一解中系數(shù)的普遍表達式。當(dāng) 整數(shù)時，此時第二解不含對數(shù)項，用 代入系數(shù)求出第二解；兩個根：決定第二解的形式（設(shè) ）： 對應(yīng)于 ，所得即為 。當(dāng) 整數(shù)時，用遞推