數(shù)學(xué)概念及其教學(xué)

1、數(shù)學(xué)概念及其教學(xué)楊 孝 斌1一、數(shù)學(xué)概念的意義和結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)概念的意義概念是反映事物本質(zhì)屬性和特征的思維形式.概念來自本質(zhì)，而本質(zhì)來自存在. 列寧2 數(shù)學(xué)概念是反映（現(xiàn)實(shí)世界）空間形式和數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)屬性的思維形式.數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生和發(fā)展有各種不同的途徑：1）直接從它的現(xiàn)實(shí)模型中抽象概括得出，如幾何中的點(diǎn)、線、面、體等概念；2）在已有概念的基礎(chǔ)上進(jìn)一步抽象概括而形成，如群、環(huán)、域等；3）人們將客觀事物的屬性理想化、純粹化得到數(shù)學(xué)概念，如“直線”；4）在一定的數(shù)學(xué)對象結(jié)構(gòu)中產(chǎn)生數(shù)學(xué)概念，如“三線八角”；5）根據(jù)數(shù)學(xué)本身發(fā)展的需要而產(chǎn)生，如負(fù)數(shù)、虛數(shù)、n 維空間等.3 數(shù)學(xué)概念是用數(shù)學(xué)語言來表達(dá)的，其主要

2、形式是語詞和符號.如：角、三角形、平行、階乘！等等. 同一數(shù)學(xué)概念可能有不同的詞語表達(dá)，如：“等邊三角形”又可表達(dá)為“正三角形”.4概念是人類思維的基本結(jié)構(gòu)單位.概念又是命題、推理和論證的基礎(chǔ).可以說每一門學(xué)科，都是一個(gè)概念的系統(tǒng).52.概念的內(nèi)涵和外延概念的內(nèi)涵（內(nèi)包）概念所反映的這類事物的共同的本質(zhì)屬性，即確定的涵義，是對概念的質(zhì)的規(guī)定；概念的外延（外包）概念所反映的這類事物的全體，即確定的對象范圍，是對概念的量的描述.6注：1）概念的內(nèi)涵和外延分別指一個(gè)概念“是什么樣的？”和“是指哪些對象？”2）概念的內(nèi)涵和外延既是統(tǒng)一的又是互相聯(lián)系、互相制約的，在一定的條件下，概念的內(nèi)涵和外延是互相確

3、定的.3）概念的內(nèi)涵和外延之間還表現(xiàn)在發(fā)展中的反變關(guān)系即：概念的內(nèi)涵越多，則外延越?。桓拍畹膬?nèi)涵越少，則外延越大.7舉例：在自然數(shù)系中，“偶數(shù)”概念的內(nèi)涵和外延分別是什么？“平行四邊形”的內(nèi)涵和外延分別是什么？8 對于“矩形”這個(gè)概念，如果增加“有一組鄰邊相等”這個(gè)性質(zhì)后，就成為外延縮小的概念正方形；在矩形內(nèi)涵中減少“有一個(gè)角是直角”的屬性，就得到外延擴(kuò)大的概念平行四邊形.9 概念的限定和概括是明確概念內(nèi)涵和外延的邏輯方法，即給概念下定義.10二、概念間的關(guān)系 根據(jù)概念的外延集有無重合之處，概念間的關(guān)系可分為相容關(guān)系和不相容關(guān)系.規(guī)定：所有概念的外延集都是非空集合.11相容關(guān)系 若AB,則稱概

4、念甲概念乙之間有相容關(guān)系.又可進(jìn)一步具體分為同一關(guān)系、屬種關(guān)系和交叉關(guān)系.設(shè)集合A、B、C為概念甲、乙、丙的外延集.12A=BAB同一關(guān)系（或全同關(guān)系）如：“不大于”和“小于或等于”注：數(shù)學(xué)中的恒等變形就是利用概念間的同一關(guān)系進(jìn)行的 .屬種關(guān)系比如：實(shí)數(shù)和有理數(shù)、平行四邊形和矩形.又稱從屬關(guān)系，甲稱為屬概念，乙稱為種概念借用生物學(xué)中的概念13AB交叉關(guān)系比如：矩形和菱形、非負(fù)有理數(shù)和非正有理數(shù)利用概念間的交叉關(guān)系可以概括出新的概念矩形的外延集和菱形的外延集的交集是“正方形”14不相容關(guān)系（ 又稱在同一屬概念丙之下的全異關(guān)系）矛盾關(guān)系（ ） 反對關(guān)系（ ）大前提：AB15 相對于屬概念“實(shí)數(shù)”而

5、言，其種概念“有理數(shù)”與“無理數(shù)”之間就是矛盾關(guān)系但相對于屬概念“復(fù)數(shù)”而言，它們就是反對關(guān)系相對于屬概念“三角形”而言，其種概念“銳角三角形”與“直角三角形”之間就是反對關(guān)系概念間的不相容關(guān)系是數(shù)學(xué)中反證法、窮舉法的依據(jù)之一16三、 概念的定義 概念的定義就是揭示一個(gè)概念的內(nèi)涵或外延的邏輯方法揭示內(nèi)涵的定義稱為內(nèi)涵定義，明確外延的定義稱為外延定義17定義的結(jié)構(gòu)：被定義項(xiàng)（B）、定義項(xiàng)（D）、定義聯(lián)項(xiàng)概念定義的表達(dá)主要是：B就是D常見的還有：“ B是D”；“B等于D”；“B當(dāng)且僅當(dāng)D”；“D叫做B”；“D稱為B”等腰三角形 就是 有兩邊相等的三角形 B連項(xiàng)D18下定義的方式方法（）屬種定義方式

6、：被定義項(xiàng) = （鄰近的屬）+（種差）B （連項(xiàng)） D矩形 就是 一個(gè)角是直角的平行四邊形 種差鄰近的屬B （連項(xiàng)） D又稱之為“屬概念種差”定義法派生出兩種特殊形式：發(fā)生式定義和關(guān)系定義19發(fā)生式定義 以被定義概念所反映的對象產(chǎn)生或形成的過程作為種差下定義的方式例：圓就是把定長線段的一端固定，使另一端旋轉(zhuǎn)一周而成的一條封閉曲線換言之：到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡20關(guān)系定義 以被定義概念所反映的對象之間的關(guān)系作為種差下定義的方式例：“偶數(shù)”就是能被2整除的整數(shù)注：屬加種差的定義方式，有一定的局限性例：“范疇”這一概念就無法采用這種方式定義21（）外延定義 列舉“被定義概念所屬的、所有互不相

7、容的種概念”的方式下定義例：正、負(fù)整數(shù)，正、負(fù)分?jǐn)?shù)和零統(tǒng)稱為有理數(shù)； D B有理數(shù)和無理數(shù) 統(tǒng)稱為 實(shí)數(shù) D B注：約定式定義也屬于揭示外延的方法例如：0！=1 等等22（）語詞定義 用語詞說明被定義項(xiàng)的含義的方式例 ：“ ”表示空集；“ ”表示屬于；“ ”表示“連加”此外，還有遞歸定義，公理化定義等等233 下定義應(yīng)遵循的規(guī)則規(guī)則1 定義要相稱，就是定義項(xiàng)和被定義項(xiàng)的外延必須全同若定義項(xiàng)的外延大于被定義項(xiàng)的外延，則定義“過寬”；若定義項(xiàng)的外延小于被定義項(xiàng)的外延，則定義“過窄”24“兩條不相交的直線稱為平行直線”；（還可以重合）“無理數(shù)就是不盡方根”過窄“無限小數(shù)叫無理數(shù)”過寬25規(guī)則2 定義

8、要符合邏輯，就是要明白、清晰，不得循環(huán)、不得同義反復(fù).“相交成直角的兩條直線，叫做互相垂直的直線”與“兩邊互相垂直的角，叫做直角”這兩個(gè)定義出現(xiàn)了循環(huán).“類似的圖形稱為相似形”就是自我定義、空洞無物的同義反復(fù)。26規(guī)則3 定義要簡明、扼要、精練，不要越級、不要重復(fù). “有四條邊且兩組對邊分別平行的多邊形稱為平行四邊形”就不簡明了，因?yàn)槎噙呅尾皇瞧叫兴倪呅蔚泥徑膶俑拍睿?“兩組對邊分別平行且相等的四邊形稱為平行四邊形”也是不簡明，因?yàn)榱信e的種差之間不獨(dú)立.27規(guī)則4 定義中的定義項(xiàng)一般不應(yīng)包含負(fù)概念. 反映對象不具有某種屬性的概念，叫做負(fù)概念. 中學(xué)數(shù)學(xué)中較少使用包含負(fù)概念的定義方式平行線是在

9、同一平面內(nèi)不相交的直線；無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)；奇數(shù)是不能被2整除的整數(shù)。284 原始概念：數(shù)學(xué)中無定義的概念，又叫原名.如：點(diǎn)、直線、平面、集合等.29四、概念的科學(xué)分類（劃分） 劃分就是把一個(gè)概念（屬）按照某一屬性分成若干個(gè)具有不相容關(guān)系的種概念. 劃分實(shí)質(zhì)是反映一類事物的分類，它和整體事物分解是根本不同的，劃分后的各子項(xiàng)都具有母項(xiàng)的本質(zhì)屬性，但分解后的部分，卻不一定都具有整體的特性.30例： 將“三角形”劃分為“直角三角形”“銳角三角形”“鈍角三角形”，它們都具有三角形的本質(zhì)屬性；但如果把“三角形”分解為“三條邊”、“三個(gè)角”等部分，那么這些部分就不會有“三角形”的整體特征了.31（1）

10、劃分的三要素：劃分的母項(xiàng)、子項(xiàng)和劃分的標(biāo)準(zhǔn). 被分的屬概念稱為劃分的母項(xiàng)，分得的若干種概念稱為劃分的子項(xiàng)，劃分所依據(jù)的屬性稱為劃分的標(biāo)準(zhǔn).32（2）劃分的規(guī)則規(guī)則1 劃分要相稱，即劃分應(yīng)不重不漏.例如：整數(shù)分為正整數(shù)、負(fù)整數(shù)，即出現(xiàn)遺漏。若分為非正整數(shù)、非負(fù)整數(shù)，即出現(xiàn)重復(fù).規(guī)則2 劃分要用同一的標(biāo)準(zhǔn).例如：將三角形劃分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形和等腰三角形四類就是一個(gè)混亂、錯(cuò)誤的劃分.規(guī)則3 劃分要逐級逐次進(jìn)行，不要越級.例如：把實(shí)數(shù)劃分為整數(shù)、分?jǐn)?shù)、無理數(shù)就不符合這一要求.33（3）二分法 將屬概念劃分為具有相互矛盾關(guān)系的兩個(gè)種概念的劃分方法稱為二分法多邊形34五、數(shù)學(xué)概念的教學(xué)1.重視數(shù)學(xué)概念的引入現(xiàn)實(shí)性原則（1）以感性材料為基礎(chǔ)引入新概念（