函數(shù)、極限與連續(xù)概述和解析

1、函數(shù)、極限與連續(xù)概述和解析8/9/202211.1 函 數(shù)1.2 極 限1.3 連 續(xù)8/9/20222 實(shí)數(shù)、區(qū)間與鄰域1.1 函 數(shù) 常量與變量 函數(shù)的定義隱函數(shù)單值函數(shù)和多值函數(shù)函數(shù)的定義8/9/20223 反函數(shù)基本初等函數(shù)奇偶性初等函數(shù)單調(diào)性復(fù)合函數(shù)有界性周期性 分段函數(shù) 函數(shù)的簡單性質(zhì) 初等函數(shù)1.1 函 數(shù)8/9/202241.1.1 實(shí)數(shù)、區(qū)間與鄰域 1.實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)由有理數(shù)和無理數(shù)兩部分組成，全體實(shí)數(shù)可以用數(shù)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)來表示，每一實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合稱為實(shí)數(shù)集。實(shí)數(shù)必是數(shù)軸上某一點(diǎn)的坐標(biāo)，反之，數(shù)軸上沒一點(diǎn)的坐標(biāo)必是一個實(shí)數(shù)。每一實(shí)數(shù)集與數(shù)軸上的全體點(diǎn)形成一一對應(yīng)的關(guān)系。8/9/20

2、2252.區(qū)間區(qū)間是指介于某兩個數(shù)之間的全體在數(shù)軸上，區(qū)間是介于某兩個點(diǎn)之間實(shí)數(shù)，而這兩個數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn)。的一條線段上點(diǎn)的全體，兩點(diǎn)間的距離也就是線段的長度，稱為區(qū)間的長度。區(qū)間可以分成以下幾類：開區(qū)間，閉區(qū)間，半開區(qū)間8/9/20226上述區(qū)間都稱為有限區(qū)間.如果區(qū)間的兩個端點(diǎn)中至少有一個是(無限數(shù)）例如則稱該區(qū)間為無限區(qū)間。都是無限區(qū)間.全體實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合R 可記作也是無限區(qū)間在以上區(qū)間中，由于a，b是兩個實(shí)數(shù)，因此8/9/202273.鄰域我們把以點(diǎn)為中心，某一很小的正數(shù)稱為在后面的章節(jié)中經(jīng)常會用到一種特殊的開為半徑的開區(qū)間區(qū)間，稱之為鄰域。的鄰域，其中點(diǎn)，即記為稱為該鄰域的中心，稱為

3、該鄰域的半徑。正數(shù)8/9/20228將點(diǎn)的全體，即的一切點(diǎn)x距離小于表示與點(diǎn)鄰域鄰域，記為的去心所得到的的實(shí)數(shù)全體，稱為點(diǎn)鄰域中去掉中心點(diǎn)，即稱為稱為其中的8/9/202291.1.2 常量與變量 1.常量在某一現(xiàn)象或過程中始終保持同一數(shù)值不變的量稱為常量。8/9/2022102.變量在某一現(xiàn)象或過程中量有變化，可以取不注意一個量是常量還是變量不是絕的，同的數(shù)值，這種量稱為變量。常量與變量是相對“場合”而言的。8/9/2022111.1.3 函數(shù)的定義1.函數(shù)的定義數(shù)集D叫做這個函數(shù)的定義域因變量自變量8/9/202212注意：函數(shù)的兩要素為：定義域和對應(yīng)法則兩個函數(shù)f (x)，g(x)相等是

4、指：它們定義域相同，且對于定義域內(nèi)任意一點(diǎn)x，都有f (x) = g(x)8/9/202213（1）函數(shù)的定義域的確定函數(shù)的定義域D通常按以下兩種情形確定：當(dāng)函數(shù)是用抽象的算式（解析式）表達(dá) 當(dāng)函數(shù)在實(shí)際中應(yīng)用時(shí)，其定義域不僅要使構(gòu)成的集合。時(shí)，其定義域是使算式有意義的一切實(shí)數(shù)函數(shù)的表達(dá)式有意義，還要有實(shí)際意義來確定。其定義域是8/9/202214對應(yīng)法則-函數(shù)的表示法列表法圖像法解析法（2）函數(shù)對應(yīng)法則的表達(dá)形式8/9/202215函數(shù)的表達(dá)主要是用解析法，下面舉一個解析法表達(dá)的函數(shù)例 假設(shè)16歲以上的成年人每天服用某藥物的劑該函數(shù)的定義域是，但在定義域的不同區(qū)間上，函數(shù)關(guān)系是用兩個解析式表

5、示的。量Q是2mg，而16歲以下的未成年人每天服用該藥物的劑量Q與年齡t成正比，比例系數(shù)為歲，則劑量Q 與年齡t的函數(shù)關(guān)系為8/9/2022162.單值函數(shù)和多值函數(shù)在函數(shù)定義1-1中，如果自變量x在D內(nèi)任取一個值，對應(yīng)的函數(shù)值y總是唯一的，這樣的函數(shù)又確定了一個稱為單值函數(shù)，否則稱為多值函數(shù)注意：在本書中，若無特殊說明，所稱的函數(shù)例如在方程都有兩個y 值與之對應(yīng)中，對于每一個以x為自變量、y為因變量的多值函數(shù).因此，方程都是單值函數(shù).8/9/2022173.隱函數(shù)稱這種方式表達(dá)的函數(shù)為顯函數(shù)。如果因變量y 是用x 的明顯表達(dá)式表示出來的，而有些函數(shù)的表達(dá)方式卻不是這樣，因變量與系隱含在這個方

6、程中，這樣的函數(shù)稱為隱函數(shù)。自變量的對應(yīng)關(guān)系是由一個方程確定的，函數(shù)關(guān)都是隱函數(shù).例如8/9/202218如果變量y 與x 滿足一個方程那么就說方程當(dāng)變量x 取某區(qū)間內(nèi)的任一值時(shí)相應(yīng)地總有滿足這方程的y 值與之對應(yīng)，在該區(qū)間內(nèi)確定了以x 為自變量y 為因變量的隱函數(shù).在一定條件下，有些隱函數(shù)可以化成顯函數(shù)，但顯化有時(shí)很困難，甚至不可能。8/9/2022191.1.4 反函數(shù)定義1-2量，哪個是因變量并不是絕對的，要根據(jù)所研究一個叫做因變量，但在實(shí)際問題中，哪個是自變的具體問題而定。在函數(shù)定義中的兩個自變量，一個叫做自變量，反函數(shù)的一般定義如下：都有唯一的且滿足如果對于每一個設(shè) f(x)是定義在

7、D上的一個函數(shù)，值域?yàn)閃.8/9/202220關(guān)系式x 的與之對應(yīng)，則確定了一個定義在W上、以y 為自變量、x 為因變量的新函數(shù)，稱為y=f(x) 的反函數(shù)，記為互為反函數(shù)而原來的函數(shù)y= f (x)稱為直接函數(shù)，或稱它們我們通常用x 表示自變量，y 表示因變量這時(shí)我們說因此，可以把改寫為是 y=f(x) 的反函數(shù)。8/9/202221表示變量y 和x 的同一種函數(shù)關(guān)系，y=f(x) 和的圖形以y=x 為軸翻轉(zhuǎn)它們的圖形是同一條曲線； y=f(x) 注意：就得到的圖形.也就是說它們的圖形是關(guān)于y=x 對稱。8/9/202222見圖1-1圖1-18/9/202223例求下列函數(shù)的反函數(shù)：由改變變

8、量的記號，即得到反函數(shù)為：由y=5x+6，解得（1）y =5x+6，解得改變變量的記號，即得到反函數(shù)為：解：（2）（1）8/9/202224注1：并不是任何函數(shù)y=f(x) 都有反函數(shù)，因?yàn)閷τ趛 的某些值，滿足y=f(x)這一條件的x 值可能不止一個.有些函數(shù)的反函數(shù)存在，但不一定能夠注2：用一個顯函數(shù)表示出來，即由y=f(x)可能解不出x=g (y), 但反函數(shù)存在，這時(shí)y=f(x) 的反函數(shù)表示為隱函數(shù)形式.8/9/2022251.1.5 初等函數(shù)1.基本初等函數(shù)2.復(fù)合函數(shù)3.初等函數(shù) 8/9/202226冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)六類函數(shù)：1. 基本初等函數(shù)常函

9、數(shù)、8/9/2022271. 基本初等函數(shù)常函數(shù)常函數(shù)的定義域?yàn)樗膱D形是一條水平直線。8/9/202228冪函數(shù)冪函數(shù)的定義域依例如而定，的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)榈亩x域?yàn)榈亩x域?yàn)榈徽撊『沃?，?dāng) x0時(shí)，它總是有定義的，其圖象都經(jīng)過(1, 1)點(diǎn).為實(shí)數(shù)與與1. 基本初等函數(shù)8/9/202229冪函數(shù)為實(shí)數(shù)1. 基本初等函數(shù)8/9/2022301. 基本初等函數(shù)8/9/202231指數(shù)函數(shù)不論a為何值，函數(shù)圖象均經(jīng)過(0, 1)點(diǎn).定義域值域當(dāng) a 1時(shí)，ax 單調(diào)增；當(dāng) 0 a 1時(shí)，loga x嚴(yán)格單增；當(dāng)0 a 1時(shí)，loga x 嚴(yán)格單減.1. 基本初等函數(shù)8/9/202233三角函

10、數(shù)常用的包括以下幾種：有界函數(shù)(1) 正弦函數(shù) y = sin x.定義域值域奇函數(shù)，周期1. 基本初等函數(shù)8/9/202234有界函數(shù)（2）余弦函數(shù) y = cos x.定義域值域偶函數(shù)，周期1. 基本初等函數(shù)8/9/202235（3）正切函數(shù) y = tan x定義域值域奇函數(shù)，周期1. 基本初等函數(shù)8/9/202236（4）余切函數(shù) y = cot x定義域值域奇函數(shù)，周期1. 基本初等函數(shù)8/9/202237反三角函數(shù)反三角函數(shù)是三角函數(shù)的反函數(shù).由于三角函數(shù)都是周期函數(shù)，故對于值域的每個y 值，與之對應(yīng)的 x 值有無窮多個，因此，在三角函數(shù)的整個定義域上，其反函數(shù)是不存在的,必須限制

11、在三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間上才能建立反三角函數(shù).1. 基本初等函數(shù)8/9/202238記為故其反函數(shù)存在，稱此反函數(shù)為反正弦函數(shù)奇函數(shù)，單調(diào)增.（1）反正弦函數(shù)正弦函數(shù) y = sin x，在上單調(diào)增，定義域值域1. 基本初等函數(shù)8/9/202239記為故其反函數(shù)存在，稱此反函數(shù)為反余弦函數(shù),單調(diào)減.（2）反余弦函數(shù)余弦函數(shù) y = cos x，在上單調(diào)減，其定義域值域1. 基本初等函數(shù)8/9/202240（3）反正切函數(shù)記為故其反函數(shù)存在，稱此反函數(shù)為反正切函數(shù)，奇函數(shù)，單調(diào)增。正切函數(shù) y = tan x，在上單調(diào)增，其定義域值域1. 基本初等函數(shù)8/9/202241（4）反余切函數(shù)記為故其反函

12、數(shù)存在，稱此反函數(shù)為反余切函數(shù)單調(diào)減.余切函數(shù) y = cot x，在其定義域值域上單調(diào)減，1. 基本初等函數(shù)8/9/2022422.復(fù)合函數(shù)掌握： 復(fù)合 分解 f (u)稱為外函數(shù)，g(x)稱為內(nèi)函數(shù)，u稱為中間變量.8/9/202243例（1）設(shè)則故與可以復(fù)合成復(fù)合函數(shù)：復(fù) 合注兩個函數(shù) y = f (u)與 u = g(x)可復(fù)合成復(fù)合函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)8/9/202244注（2）設(shè)則故與不能復(fù)合成復(fù)合函數(shù).求兩個函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，實(shí)際上就是將外函數(shù)表達(dá)式中的自變量用內(nèi)函數(shù)表達(dá)式來代替，從而得到復(fù)合函數(shù)的表達(dá)式.8/9/202245例 已知求 f (x1), f (x)解：已知外函數(shù)和內(nèi)函數(shù)，求

13、復(fù)合函數(shù)的問題，直接代入即可.8/9/202246解： 故有求 f (x).令解得反函數(shù)為因?yàn)閺亩?已知8/9/202247解例8/9/202248綜上所述8/9/202249 把一個復(fù)合函數(shù)分解成幾個簡單的函數(shù)很重要，分解的關(guān)鍵是分解出來的簡單函數(shù)都是基本初等函數(shù)或是由基本初等函數(shù)經(jīng)過四則運(yùn)算得到的函數(shù)(簡單函數(shù)） 分 解將下列復(fù)合函數(shù)分解為簡單函數(shù)例#8/9/2022503.初等函數(shù)由常數(shù)和五類基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算與有限次的復(fù)合所得到的且僅用一個解析式表示的函數(shù)，統(tǒng)稱為初等函數(shù).本書中討論的函數(shù)基本上都是初等函數(shù) 例如：注并非所有函數(shù)都是初等函數(shù). 8/9/2022511.1

14、.6 分段函數(shù) 在定義域的不同部分內(nèi)用不同的解析式表示的函數(shù)，稱為分段函數(shù)。但這也不是絕對的，例如分段函數(shù)一般不是初等函數(shù).8/9/202252注用解析式表示函數(shù)，并不要求函數(shù)在整個集上，函數(shù)表達(dá)式不一樣.如例中的符號函數(shù)y = sgnx 這樣的函數(shù)稱為分段函數(shù).定義域D上有統(tǒng)一的解析表達(dá)式，在D不同子#8/9/202253注2分段函數(shù)的解析式不只一個，但它是一個函數(shù)，其定義域是各段之并. 圖象分段就是分段函數(shù).分段函數(shù)的圖像應(yīng)分段作出，但不要認(rèn)為#8/9/2022545.函數(shù)的簡單性質(zhì)（1）單調(diào)性（2）奇偶性（3）周期性（4）有界性8/9/202255xyoxyo（1）單調(diào)性8/9/202256偶函數(shù)yxox-x（2）奇偶性8/9/202257奇函數(shù)yxox-x8/9/202258例例解：8/9/202259（通常說周期函數(shù)的周