2021-2022學年甘肅省蘭州市第一中學高二下學期期中考試文科數(shù)學試題（解析版）

1、2021-2022學年甘肅省蘭州市第一中學高二下學期期中考試文科數(shù)學試題說明：本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.答案寫在答題卡上，交卷時只交答題卡.第卷(共60分)一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1. 若復數(shù)，則z的虛部為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由，先求出，再結(jié)合復數(shù)的除法運算求出復數(shù)，得到答案.【詳解】因為 ，所以，所以，所以復數(shù)z的虛部為故選：B2. 若定義在區(qū)間上的函數(shù)的導函數(shù)為增函數(shù)，則為上的凹函數(shù).在下列四個函數(shù)中，為上的凹函數(shù)的是（

2、 ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求導，再根據(jù)函數(shù)的解析式判斷導函數(shù)的單調(diào)性判斷.【詳解】A.，則，在上遞減，在上遞增，故為上不是凹函數(shù)；B.，則在上為增函數(shù)，故為上的凹函數(shù)；C.，則在上為減函數(shù)，故為上不是凹函數(shù)；D.，則在上為減函數(shù)，故為上不是凹函數(shù).故選：B.3. 已知函數(shù)，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出的值，利用導數(shù)的定義可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】因為，所以，所以.故選：C.4. 一組樣本數(shù)據(jù)：，由最小二乘法求得線性回歸方程為，若，則實數(shù)m的值為（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B【解析】【分析】求出樣本中心點，再利用

3、回歸直線必過樣本的中心點計算作答.【詳解】依題意，則這個樣本的中心點為，因此，解得，所以實數(shù)m的值為6.故選：B5. 下面的結(jié)構(gòu)圖中1，2，3三個方框中依次應填入的內(nèi)容是（ ）A. 復數(shù)、整數(shù)、小數(shù)B. 復數(shù)、無理數(shù)、整數(shù)C. 復數(shù)、無理數(shù)、自然數(shù)D. 復數(shù)、小數(shù)、整數(shù)【答案】B【解析】【分析】由復數(shù)、實數(shù)、有理數(shù)的分類分析即得解【詳解】由復數(shù)的分類可得：1處填入復數(shù)由實數(shù)的分類可得：2處填入無理數(shù)由有理數(shù)的分類可得：3處填入整數(shù)故選：B6. 右圖是計算函數(shù)的值的程度框圖，在、處應分別填入的是 A. B. C. D. 【答案】B【解析】【詳解】第一個判斷框,否的話,即,故填,第二個判斷狂,是的

4、話,即,故填.由此可知選.7. 在同一平面直角坐標系中，將直線按變換后得到的直線的方程，若以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，則直線的極坐標方程為A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直線直角坐標方程，將直線上的點按坐標變換得到直線的方程；利用直角坐標與極坐標的互化公式，寫出直線的極坐標的方程；【詳解】將直線按變換后得到的直線， ，即，化為極坐標方程為.故選A.【點睛】本題考查了坐標變換的應用，極坐標與直角坐標方程的互化，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題8. 對命題“正三角形的內(nèi)切圓切于三邊的中點”可類比猜想出：四面都為正三角形的正四面體的內(nèi)切球切于四個面的什么

5、位置？A. 正三角形的頂點B. 正三角形的中心C. 正三角形各邊的中點D. 無法確定【答案】B【解析】【詳解】分析：由題意結(jié)合幾何體的空間關(guān)系進行類比推理即可求得最終結(jié)果.詳解：繪制正三棱錐的內(nèi)切球效果如圖所示，很明顯切點在面內(nèi)而不在邊上，則選項AC錯誤，由“正三角形的內(nèi)切圓切于三邊的中點”可類比猜想出：四面都為正三角形的正四面體的內(nèi)切球切于四個面的正三角形的中心.本題選擇B選項.點睛：在進行類比推理時，要盡量從本質(zhì)上去類比，不要被表面現(xiàn)象所迷惑；否則只抓住一點表面現(xiàn)象甚至假象就去類比，就會犯機械類比的錯誤9. 在極坐標系中，曲線C1：2sin，曲線C2：4cos，過極點直線與曲線C1，C2分

6、別交于異于極點的A，B兩點，則|AB|的最大值為（）A. B. 4C. 2D. 5【答案】C【解析】【分析】設出過極點的直線的極坐標方程，用極坐標方程求長度的方法即可作答.【詳解】設過極點的直線的極坐標方程為，由得點A的極徑，由得點B的極徑，于是得，其中銳角滿足，而，則，即時，所以的最大值為.故選：C10. 在極坐標系中，曲線關(guān)于（ ）A. 直線對稱B. 直線對稱C. 點對稱D. 極點對稱【答案】A【解析】【分析】由，得直角坐標方程： ，圓心為 ，又因為直線即： 過點，由此便可得出答案.【詳解】由曲線，即：，又因為，化簡得曲線的直角坐標方程： ，故圓心為 .又因為直線,直角坐標方程為： ，直線

7、過點，故曲線關(guān)于直線對稱故選：A.【點睛】本題主要考查曲線及直線的極坐標方程與直角坐標方程的轉(zhuǎn)化，以及圓關(guān)于過圓心的直線對稱的知識，屬于中等難度題目.11. 已知定義在1，+）上的函數(shù)，若x1，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. 1，6B. 2，9）C. （1，9D. 1，6）【答案】D【解析】【分析】二次求導得到在上單調(diào)遞增，從而根據(jù)單調(diào)性解不等式，列出不等式組，求出實數(shù)a的取值范圍.【詳解】，令，當時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以恒成立，所以在上單調(diào)遞增，由得：，在上恒成立，其中在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以，所以，由得：，因為，所以.綜上：故選：D12. 定義在（0，+）上的函數(shù)f（

8、x）滿足，且f（4）ln（4e4），則不等式f（ex）ex+x的解集為（）A. （4，+）B. （，2）C. （ln2，+）D. （ln4，+）【答案】D【解析】【分析】令g（x）f（x）lnxx，由題目條件知g（x）在（0，+）上單調(diào)遞增，不等式f（ex）ex+x可轉(zhuǎn)化為g（ex）+x+exex+x，即g（ex）0，所以ex4，解不等式即可得出答案.詳解】解：令g（x）f（x）lnxx， 因為定義在（0，+）上的函數(shù)f（x）滿足xf（x）1x0，所以g（x），所以g（x）在（0，+）上單調(diào)遞增，因為f（4）ln（4e4）4+ln4，所以g（4）0，則不等式f（ex）ex+x可轉(zhuǎn)化為g（ex）

9、+x+exex+x，即g（ex）0= g（4），所以ex4，所以xln4故選：D第卷(非選擇題共90分)二填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分) 13. 已知條件，p是q的充分條件，則實數(shù)k的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】設，則，再對分兩種情況討論得解.【詳解】記，因為p是q的充分條件，所以.當時，即，符合題意；當時，由可得，所以，即.綜上所述，實數(shù)的k的取值范圍是故答案為：14. 已知實數(shù)x，y滿足方程，則的最大值為_【答案】【解析】【分析】利用三角換元法，再用輔助角公式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可求出答案.【詳解】因為，所以令，則，所以的最大值為.故答案為：15. 甲、乙、丙、丁4

10、位同學各自對A，B兩變量進行回歸分析，分別得到散點圖與殘差平方和如下表：甲乙丙丁散點圖殘差平方和115106124103則試驗結(jié)果體現(xiàn)擬合A，B兩變量關(guān)系的模型擬合精度高的同學是_.【答案】丁【解析】【分析】根據(jù)散點圖中各樣本點條狀分布越均勻，同時殘差平方和越小，即可判斷其線性回歸模型的擬合效果越好.【詳解】對于已經(jīng)獲取的樣本數(shù)據(jù)，表達式中為確定的數(shù)，則殘差平方和越小，越大，由此知丁同學的線性回歸模型的擬合效果最好，故答案為：丁.16. 由樣本數(shù)據(jù)得到的回歸方程為：，已知如下數(shù)據(jù)：，則實數(shù)的值為_.【答案】4【解析】【分析】令，則由回歸方程過過樣本中心點可得.【詳解】令，則回歸方程過樣本中心點

11、，因為，所以有，即.故答案為：4三、解答題 (解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.共70分)17. 求證：【答案】見解析【解析】【分析】利用分析法推出使結(jié)論成立的充分條件即可詳解】證明：，即證明：，左右兩邊同時平方，左邊，右邊，則左邊右邊，即：，所以：.【點睛】本題考查分析法的應用，不等式的證明，考查計算能力以及邏輯推理能力18. 已知復數(shù).（1）若z在復平面中所對應的點在直線上，求m的值；（2）求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）首先根據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的乘法法則化簡復數(shù)，根據(jù)復數(shù)的幾何意義表示出復數(shù)所對應的點的坐標，再代入直線方程即可得解；（2）根據(jù)復數(shù)模的計算公式

12、及二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得；【詳解】解：（1）因為所以z在復平面中所對應的點的坐標為，因為點在直線上，所以，解得.（2），因為，且，所以，所以的取值范圍為.19. 在直角坐標系中，曲線C方程為：，以O為極點x軸的正半軸為極軸建立極坐標系（1）求曲線C的極坐標方程；（2）直線的普通方程是，直線與曲線C交于O，M兩點，與直線交于點N，求線段的長【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)極坐標公式與直角坐標轉(zhuǎn)化公式求解即可；（2）分別求出點M,N的極坐標，利用極徑的幾何意義求弦長即可.【小問1詳解】因為，曲線C的方程為：， 即，所以曲線C的極坐標方程為，即【小問2詳解】直線的極坐標方程是，直線曲

13、線C交于O，M兩點，設，則由，解得，即點M的極坐標為；設，則有，解得，即點N的極坐標為所以線段的長20. 已知函數(shù)，（其中，且），（1）若，求實數(shù)k的值；（2）能否從（1）的結(jié)論中獲得啟示，猜想出一個一般性的結(jié)論并證明你的猜想【答案】（1）；（2），證明見解析.【解析】【分析】（1）分別代入并化簡，可得，即可求出答案；（2）猜想：，分別代入表達式，化簡并整理即可證明.【詳解】（1）.因為函數(shù)與具有相同的單調(diào)性，且都是單調(diào)函數(shù)，是單調(diào)函數(shù)，.（2）由，猜想：.證明：.所以.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查了歸納推理，解題的關(guān)鍵是仔細觀察找到規(guī)律及指數(shù)的正確運算，考查了學生的推理能力，屬于中檔題.21. 已知函數(shù)（1）若，不等式恒成立，求的取值范圍；（2）若曲線存在過點的切線，求證：【答案】（1） （2）證明見解析【解析】【分析】（1）對原不等式進行參變分離，得到，進而令，從而轉(zhuǎn)化為求出的最大值即可；（