電磁場和電磁波第七章

1、關(guān)于電磁場與電磁波第七章第一張，PPT共七十五頁，創(chuàng)作于2022年6月圖 7-1 常用的導(dǎo)波裝置第二張，PPT共七十五頁，創(chuàng)作于2022年6月7.1 導(dǎo)行電磁波的一般分析 分析導(dǎo)行電磁波，就是要得出導(dǎo)行電磁波沿軸向（縱向）的傳播規(guī)律以及電磁場在橫截面內(nèi)的分布情況。通常有縱向分量法和赫茲矢量法兩種分析方法，這里僅采用縱向分量法?？v向分量法的思想是，將導(dǎo)行系統(tǒng)中的電磁場矢量分解為縱向分量和橫向分量，由亥姆霍茲方程得出縱向分量滿足的標(biāo)量微分方程，求解該標(biāo)量微分方程，得到縱向分量；再根據(jù)麥克斯韋方程組，找出橫向分量與縱向分量之間的關(guān)系，用縱向分量來表示橫向分量。第三張，PPT共七十五頁，創(chuàng)作于2022

2、年6月7.1.1 導(dǎo)行電磁波的表達(dá)式 無源區(qū)域內(nèi)，時諧電磁場滿足齊次亥姆霍茲方程： （7-1-1a） （7-1-1b） 在導(dǎo)行系統(tǒng)中，電磁波沿其軸向（縱向）傳播。建立廣義柱坐標(biāo)系 (u1, u2, z)。對于規(guī)則導(dǎo)行系統(tǒng)，電磁場在橫截面內(nèi)的分布與縱向坐標(biāo) z 無關(guān)，行波狀態(tài)下沿 z 方向傳播的導(dǎo)行電磁波可寫為 （7-1-2a） （7-1-2b） 第四張，PPT共七十五頁，創(chuàng)作于2022年6月 拉普拉斯算子可寫為 （7-1-3） 將式（7-1-2）和（7-1-3）代入式（7-1-1），可得 E (u1, u2)、 H (u1, u2) 滿足的方程為 （7-1-4a） （7-1-4b)）其中（7-

3、1-5） 當(dāng) kc 0 時，kc 稱為本征值，由導(dǎo)行系統(tǒng)的邊界條件和傳輸模式?jīng)Q定。導(dǎo)行系統(tǒng)問題歸結(jié)為求解方程（7-1-4）。第五張，PPT共七十五頁，創(chuàng)作于2022年6月7.1.2 導(dǎo)波場縱向分量與橫向分量的微分方程 將電磁場矢量表示為橫向分量和縱向分量之和，即 （7-1-6a）（7-1-6b） 將式(7-1-6)代入式(7-1-4)，可得到關(guān)于電場 E (u1, u2)以及磁場 H (u1, u2)橫向分量的矢量亥姆霍茲方程和縱向分量的標(biāo)量亥姆霍茲方程，即 （7-1-7a） （7-1-7b）第六張，PPT共七十五頁，創(chuàng)作于2022年6月 矢量方程（7-1-7a）和（7-1-7c）的求解比較困

4、難，因此通常并不直接求解 ET 和 HT，而是結(jié)合導(dǎo)行系統(tǒng)的邊界條件求解標(biāo)量波動方程（7-1-7b）和（7-1-7d），得到縱向場分量后，再利用場的橫向分量與縱向分量之間的關(guān)系求得所有橫向分量。場的橫向分量與縱向分量之間的關(guān)系式可由麥克斯韋方程組導(dǎo)出。 （7-1-7c）（7-1-7d）第七張，PPT共七十五頁，創(chuàng)作于2022年6月7.1.3 導(dǎo)波場的橫向分量與縱向分量之間的關(guān)系式 哈密頓算子也可表示為橫向分量與縱向分量之和，即（7-1-8） 將式（7-1-6）和（7-1-8）代入無源區(qū)域時諧場麥克斯韋方程組的兩個旋度方程，并注意到對于行波狀態(tài)下的導(dǎo)行波有 可得 （7-1-9a） （7-1-9b

5、） 第八張，PPT共七十五頁，創(chuàng)作于2022年6月（7-1-9c） （7-1-9d） 由橫向方程 (7-1-9a) 和(7-1-9c) 可以求得 ET 和 HT 。用 j 乘以式(7-1-9a) ，對式(7-1-9c)作 -ez 運(yùn)算，然后兩式相加，并利用矢量恒等式加以整理，可得（7-1-10） 可見，只要求得了導(dǎo)波場的縱向分量，由式（7-1-10）便可確定導(dǎo)波場的所有橫向分量。式（7-1-10）即為行波狀態(tài)下場的橫向分量與縱向分量之間的關(guān)系式，簡稱行波橫-縱關(guān)系式。第九張，PPT共七十五頁，創(chuàng)作于2022年6月 在廣義柱坐標(biāo)中， 式（7-1-10）可寫為分量形式： （7-1-11a）（7-1

6、-11b） （7-1-11c）（7-1-11d）第十張，PPT共七十五頁，創(chuàng)作于2022年6月， （7-1-12a）其中 （7-1-12b） 式（7-1-11）還可以寫成便于記憶的矩陣形式：第十一張，PPT共七十五頁，創(chuàng)作于2022年6月 若電場和磁場在傳播方向上的分量 Ez= 0、 Hz= 0 ，即電磁場各分量均在橫截面內(nèi)，則此種傳輸波型稱為橫電磁波，簡稱TEM 波或 TEM 模。對于 TEM 波，kc=0 。 TEM波是雙導(dǎo)體結(jié)構(gòu)傳輸系統(tǒng)（例如平行雙導(dǎo)線、同軸線）的主模。單導(dǎo)體結(jié)構(gòu)的規(guī)則金屬波導(dǎo)中不能傳輸TEM波。7.2 導(dǎo)行波波型的分類以及導(dǎo)行波的傳輸特性7.2.1 導(dǎo)行波波型的分類 導(dǎo)

7、行波的波型是指能夠單獨(dú)存在于導(dǎo)行系統(tǒng)中的電磁波的場結(jié)構(gòu)形式，也稱為傳輸模式。導(dǎo)行波波型大致分為三類。 1.TEM波第十二張，PPT共七十五頁，創(chuàng)作于2022年6月2.TE波和TM波 若電場在電磁波傳播方向上的分量 Ez= 0 ，即電場僅在橫截面內(nèi)，則此種波型稱為橫電波，簡稱 TE 波或 H 波。若磁場在電磁波傳播方向上的分量 Hz= 0 ，即磁場僅在橫截面內(nèi)，則此種波型稱為橫磁波，簡稱 TM 波或 E 波。 TE 波和 TM 波的 kc 0。常用的TE波和TM波傳輸系統(tǒng)是單導(dǎo)體結(jié)構(gòu)的規(guī)則金屬波導(dǎo)，如矩形波導(dǎo)、圓柱形波導(dǎo)。 3.表面波 所謂表面波是指電磁波沿傳輸線表面?zhèn)鞑サ牟ㄐ汀１砻娌ㄊ荰E 波

8、和 TM 波的混合模式。常用的表面波傳輸系統(tǒng)有介質(zhì)波導(dǎo)和光纖等。第十三張，PPT共七十五頁，創(chuàng)作于2022年6月7.2.2 導(dǎo)行波的傳輸特性1.截止波長與傳輸條件 由導(dǎo)行電磁波的表達(dá)式（7-1-2）可知，導(dǎo)行波的傳輸狀態(tài)取決于傳播常數(shù) ，而 滿足關(guān)系： （7-2-1） 對于無損耗的理想導(dǎo)行系統(tǒng), 是實(shí)數(shù)， 為工作波長，kc 是由導(dǎo)行系統(tǒng)邊界條件和傳輸模式所決定的本征值，也是實(shí)數(shù)。令 ，c 稱為截止波長。因此，隨著工作波長的不同， 2 的取值有三種可能，即 2 0， 2 0 ，即 c，則 = 為實(shí)數(shù)，導(dǎo)波場表示為第十四張，PPT共七十五頁，創(chuàng)作于2022年6月 這表明，導(dǎo)行系統(tǒng)中的電磁場沿傳輸方

9、向（ +z 軸）指數(shù)衰減，不是傳輸?shù)牟?，故稱 2 0 時為截止?fàn)顟B(tài)。(2) 2 0，即 c，則 = j 為虛數(shù)，導(dǎo)波場表示為 上式表明，導(dǎo)行系統(tǒng)中的電磁場是沿 +z 軸傳輸?shù)牡确?，故稱 2 2b 的矩形波導(dǎo)中，不同模式截止波長的分布情況如圖7-3-2所示。第三十二張，PPT共七十五頁，創(chuàng)作于2022年6月圖 7-3-2 不同模式截止波長的分布 矩形波導(dǎo)的主模是TE10模。并且，對于相同的 m 和 n， 模的截止波長相同。這種不同模式具有相同截止波長的現(xiàn)象稱為簡并現(xiàn)象，這些模式稱為簡并模。對于矩形波導(dǎo)，當(dāng) m, n 分別相等時， TEmn 和 TEmn模是簡并的，也稱為 E-H 簡并。 第三十

10、三張，PPT共七十五頁，創(chuàng)作于2022年6月【例】規(guī)則金屬矩形波導(dǎo) BJ-100 (a =22.86mm, b = 10.16mm)，其中填充 r = 2.1 的聚四氟乙烯。求截止波長較長的前五個模式的截止頻率。若工作頻率分別為 9GHz 和 11GHz，問波導(dǎo)中可能存在哪些模式？ 解： 由可得 對于 TE10 模對于 TE20模對于 TE01模對于 TE11模和 TM11模第三十四張，PPT共七十五頁，創(chuàng)作于2022年6月故僅存在 TE10 模。當(dāng)工作頻率為 9GHz 時，工作波長 = 2.300 cm，滿足或 當(dāng)工作頻率為 11GHz 時，工作波長 = 1.882 cm，此時滿足傳輸條件

11、2b 時， a 2 a 。 相位常數(shù)與波導(dǎo)波長分別為第四十二張，PPT共七十五頁，創(chuàng)作于2022年6月相速與群速分別為波阻抗為傳輸功率為第四十三張，PPT共七十五頁，創(chuàng)作于2022年6月7.4 圓柱形波導(dǎo) 規(guī)則圓柱形波導(dǎo)（簡稱圓波導(dǎo)）常用于毫米波的遠(yuǎn)距離通信、精密衰減器、天線的雙極化饋線、微波諧振器等。 對于圓波導(dǎo)，橫截面坐標(biāo)采用極坐標(biāo)(,)。設(shè)圓波導(dǎo)的橫截面半徑為 a ，如圖所示。第四十四張，PPT共七十五頁，創(chuàng)作于2022年6月7.4.1 圓波導(dǎo)中的 TE 波在極坐標(biāo)系中 H(,) 的標(biāo)量波動方程為TE 波滿足（7-4-1）（7-4-2） 應(yīng)用分離變量法，令 （7-4-3） 將式（7-4-

12、3）代入（7-4-2），整理可得 （7-4-4）第四十五張，PPT共七十五頁，創(chuàng)作于2022年6月令 （7-4-5） 則有 （7-4-6） 方程（7-4-5）的解為或記為（7-4-7） 式（7-4-6）是貝塞爾方程，其解為 （7-4-8） 第四十六張，PPT共七十五頁，創(chuàng)作于2022年6月 Jm(x) 和 Nm(x) 分別為第一類和第二類 m 階貝塞爾函數(shù)。圖7-4-2 給出了幾條低階貝塞爾函數(shù)、紐曼函數(shù)和貝塞爾函數(shù)導(dǎo)數(shù)的曲線。 第四十七張，PPT共七十五頁，創(chuàng)作于2022年6月圖 7-4-2貝塞爾函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)曲線第四十八張，PPT共七十五頁，創(chuàng)作于2022年6月 （7-4-9）應(yīng)用 TE 波

13、的邊界條件表達(dá)式 （7-3-10） ，有 所以可得 （7-4-10） 由圖7-4-2(b)可知，當(dāng) 0 時， Nm(kc)-。場量在 = 0 處應(yīng)為有限值，因此，式（7-4-8）中 B2=0?？傻?Hz 的基本表達(dá)式為 第四十九張，PPT共七十五頁，創(chuàng)作于2022年6月 （7-4-11a）表7-4-1 第一類貝塞爾函數(shù)導(dǎo)數(shù)的根值表（ ） 為 m (m = 0,1,2,) 階貝塞爾函數(shù)導(dǎo)數(shù)的第 n (n = 1,2,) 個根.貝塞爾函數(shù)導(dǎo)數(shù)的根值如表7-4-1所示。 一組 m, n 對應(yīng)于一種場結(jié)構(gòu)，而各種場結(jié)構(gòu)可同時存在于導(dǎo)行系統(tǒng)中。令 C=Hmn，于是，圓波導(dǎo)中 TEmn 模縱向磁場分量的一

14、般表達(dá)式為 第五十張，PPT共七十五頁，創(chuàng)作于2022年6月 再由行波橫-縱關(guān)系式（7-1-11），可得圓波導(dǎo)中 TE波的所有橫向電磁場分量： （7-4-11b） （7-4-11c）（7-4-11d） （7-4-11e）第五十一張，PPT共七十五頁，創(chuàng)作于2022年6月應(yīng)用 波的邊界條件 7.4.2 圓波導(dǎo)中的 波 波滿足 ， ， （7-4-12） 的方程為（7-4-13） 與 模同理，可得方程的基本解： （7-4-14） （7-4-15）可得 （7-4-16） 第五十二張，PPT共七十五頁，創(chuàng)作于2022年6月TM 波的各個場分量為表 7-4-2 第一類貝塞爾函數(shù)的根值表（ ）) （7-4-

15、17a） mn 為 m 階貝塞爾函數(shù)的第 n 個根。貝塞爾函數(shù)的根值如表 7-4-2 所示。 第五十三張，PPT共七十五頁，創(chuàng)作于2022年6月 （7-4-17b） （7-4-17c）（7-4-17d） （7-4-17e） 在 TE 波和 TM 波中，m、n 不同，場的結(jié)構(gòu)不同。 m 表示場沿圓周方向整駐波分布的個數(shù)，n 表示是沿半徑方向最大值或零點(diǎn)的個數(shù)。 第五十四張，PPT共七十五頁，創(chuàng)作于2022年6月7.4.3 圓波導(dǎo)的傳輸特性1截止波長和單模傳輸條件TEmn 模的截止波長為 （7-4-18）TMmn 模的截止波長為 （7-4-19） 圓波導(dǎo)中的幾個不同模式的截止波長列于表 7-4-3

16、，其分布如圖 7-4-3 所示。第五十五張，PPT共七十五頁，創(chuàng)作于2022年6月表7-4-3 圓波導(dǎo)中不同模式的截止波長圖 7-4-3 圓波導(dǎo)中不同模式截止波長分布圖TE11 是圓波導(dǎo)的主模，其單模傳輸條件為 第五十六張，PPT共七十五頁，創(chuàng)作于2022年6月2. 簡并現(xiàn)象 圓波導(dǎo)中存在兩種簡并現(xiàn)象，一種是 TEmn 模和 TMmn模之間的簡并（E-H簡并），另一種是極化簡并。 1）E-H 簡并 對于圓波導(dǎo)，由于 , 因此 ，故 TE0n 模和 TM1n 模為 E-H 簡并模。 2）極化簡并 對同一組 m, n 值，只要 m 0，場量沿 坐標(biāo)就可能存在cos(m) 和 sin(m) 兩種分布

17、，兩者的場結(jié)構(gòu)形式完全相同，只是極化面不同，它們相互垂直，這種簡并稱為極化簡并。利用圓波導(dǎo)的極化簡并可以設(shè)計(jì)極化分離器和極化衰減器等器件。 第五十七張，PPT共七十五頁，創(chuàng)作于2022年6月 7.4.4 圓波導(dǎo)中的常用模式圓波導(dǎo)中的常用模式有 TE11 模、TM01 模和 TE01 三種模式。1. TE11 模 TE11 模是圓波導(dǎo)中的主模，其截止波長 c = 3.413a。 TE11 模的場結(jié)構(gòu)如圖7-4-4 所示?？梢姡鋱鼋Y(jié)構(gòu)與矩形波導(dǎo)中的TE10 模相似，利用該特點(diǎn)可用方-圓波導(dǎo)變換器實(shí)現(xiàn)矩形波導(dǎo)TE10 模到圓波導(dǎo) TE11 模的激勵。 TE11 模存在極化簡并現(xiàn)象。由于圓波導(dǎo)加工中

18、可能出現(xiàn)細(xì)微的不均勻性，傳輸過程中 TE11 模場的極化面會發(fā)生旋轉(zhuǎn)。因此，盡管 TE11 模是圓波導(dǎo)中的主模，但它不宜作為傳輸模式。 第五十八張，PPT共七十五頁，創(chuàng)作于2022年6月圖7-4-4 圓波導(dǎo)中 TE11 模的場結(jié)構(gòu) 第五十九張，PPT共七十五頁，創(chuàng)作于2022年6月2TM01模 TM01 模是圓波導(dǎo)中E波的最低次模，也是圓波導(dǎo)中的第一個高次模。截止波長 c = 2.613a。因?yàn)?m=0，所以 TM01 模無極化簡并現(xiàn)象，且為軸對稱或圓對稱模。 M01 模只有H 、E 和 Ez 三個場分量，場結(jié)構(gòu)如圖7-4-5所示。由于模的場結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及軸對稱性，該模常用于雷達(dá)天線饋電系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)

19、鉸鏈中。 圓波導(dǎo)中 TM01模引起的壁電流分布為 （7-4-21） TM01 模的壁電流分布只有 z 分量。對于傳輸該模式的圓波導(dǎo)，可以沿波導(dǎo)縱向開窄槽，插入金屬探針作為測量線使用。第六十張，PPT共七十五頁，創(chuàng)作于2022年6月圖7-4-5 圓波導(dǎo)中 模的場結(jié)構(gòu) 第六十一張，PPT共七十五頁，創(chuàng)作于2022年6月模是圓波導(dǎo)的高次模，其截止波長為 ，3 模該模式也是一種無極化簡并現(xiàn)象的軸對稱模式。 模只有和三個場分量，且圖7-4-6所示。構(gòu)成閉合回路，場結(jié)構(gòu)如圓波導(dǎo)中， 模引起的壁電流分布為 （7-4-22）可見， 模的壁電流分布只有 分量。該特點(diǎn)使得 模在高頻下的損耗最小，故常被作為毫米波遠(yuǎn)

20、距離傳輸模式。 第六十二張，PPT共七十五頁，創(chuàng)作于2022年6月圖7-4-6 圓波導(dǎo)中 模的場結(jié)構(gòu) 第六十三張，PPT共七十五頁，創(chuàng)作于2022年6月7.5 波導(dǎo)的損耗 實(shí)際上波導(dǎo)壁是非理想導(dǎo)體，其電導(dǎo)率值有限，導(dǎo)行系統(tǒng)中所填充的介質(zhì)是非理想介質(zhì)，所以電磁波在導(dǎo)行系統(tǒng)中傳輸時有一定的導(dǎo)體損耗和介質(zhì)損耗。有損耗的波導(dǎo)中，電磁波的傳播常數(shù)是復(fù)數(shù) = + j，其中 為衰減常數(shù)。7.5.1 波導(dǎo)壁損耗 由于存在損耗，電磁波在傳播過程中，其電磁場量的幅度按 e-z 衰減，傳輸功率按 e-2z 衰減。因此，z 處的傳輸功率為 （7-5-1）其中, P0 為 z=0 處的傳輸功率。若僅考慮波導(dǎo)壁的損耗，

21、= c 。 第六十四張，PPT共七十五頁，創(chuàng)作于2022年6月單位長度上的損耗功率為 （7-5-2） 所以 （7-5-3） 由電磁場理論（7-5-4） （7-5-5） 其中， 是波導(dǎo)的橫截面面積，微分面元矢量 d 的方向?yàn)?z 方向。 是單位長度的波導(dǎo)壁表面面積微分面元矢量 d 的方向?yàn)椴▽?dǎo)壁內(nèi)表面的法線方向en。Es 和 Hs 是波導(dǎo)壁內(nèi)表面上的電磁場量。 第六十五張，PPT共七十五頁，創(chuàng)作于2022年6月 假定波導(dǎo)壁的電導(dǎo)率不影響波導(dǎo)中電磁場的分布，也不影響波導(dǎo)壁內(nèi)表面上的磁場；它的影響僅在于在波導(dǎo)壁內(nèi)表面上產(chǎn)生了切向電場。波導(dǎo)壁的電導(dǎo)率較大，這樣的假設(shè)不會引起顯著的誤差。在該假設(shè)下，式(

22、7-5-4)中的場量以及式(7-5-5)中的 Hs 可以用理想波導(dǎo)中的場量來替代。 根據(jù)式（7-2-17）,傳輸功率表達(dá)式（7-5-4）可寫為 （7-5-6） 在穿透深度內(nèi)的電磁波可近似看作導(dǎo)電介質(zhì)中的平面電磁波，因此有（7-5-7）其中， 為波導(dǎo)壁的復(fù)波阻抗。將式 (7-5-7) 代入 (7-5-5)，并應(yīng)用 Re =Rs，可得波導(dǎo)壁的損耗功率為第六十六張，PPT共七十五頁，創(chuàng)作于2022年6月（7-5-8）則單位長度波導(dǎo)壁的損耗功率為 （7-5-9）式中，Hst 是波導(dǎo)壁內(nèi)表面上磁場的切向分量；l 為波導(dǎo)橫截面的周界。 將式（7-5-6）和（7-5-7）代入式（7-5-3），可得（7-5-10） 其中 1Np