高中數(shù)學(xué)選擇性必修二(人教A版2019) 同步講義與練習(xí)

1、高中數(shù)學(xué)選擇性必修二（人教 A 版 2019)同步講義與練習(xí)4.1.1 數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式14.1.2 數(shù)列的遞推公式 74.2.1.1 等差數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式 114.2.1.2 等差數(shù)列的性質(zhì)164.2.2.1 等差數(shù)列前n 項(xiàng)和公式的推導(dǎo)及簡單應(yīng)用214.2.2.2 等差數(shù)列前n 項(xiàng)和的性質(zhì)及應(yīng)用244.3.1.1 等比數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式 294.3.1.2 等比數(shù)列的應(yīng)用及性質(zhì)344.3.2.1 等比數(shù)列前n 項(xiàng)和公式384.3.2.2 等比數(shù)列前n 項(xiàng)和公式的應(yīng)用434.4 數(shù)學(xué)歸納法50第四章微專題數(shù)列求和55第四章章末復(fù)習(xí)57第四章章末練習(xí)1 60第四章章末練習(xí)2 62第四

2、章章末檢測試卷645.1.1 變化率問題和導(dǎo)數(shù)的概念695.1.2 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 745.2.1 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 795.2.2 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則 835.2.3 簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 875.3.1 函數(shù)的單調(diào)性 915.3.2.1 函數(shù)的極值975.3.2.2 函數(shù)的最大( 小) 值102第五章微專題導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的經(jīng)典題型突破107第五章章末復(fù)習(xí)108第五章章末練習(xí)1 110第五章章末練習(xí)2 112第五章章末復(fù)習(xí)115選擇性必修二綜合檢測試卷一117選擇性必修二綜合檢測試卷二121第2頁 共2頁4.1.1 數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式知識(shí)點(diǎn)一數(shù)列及其有關(guān)概念1一般地，我們把按照確定的順序排列的一

3、列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)列的第一個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第1 項(xiàng)，常用符號(hào)a1 表示，第二個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第2 項(xiàng)，用a2 表示，第n 個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第n 項(xiàng)，用an 表示其中第1 項(xiàng)也叫做首項(xiàng)2. 數(shù)列的一般形式可以寫成a1，a2，a3，an，簡記為an1. 思考數(shù)列1,2,3 與數(shù)列3,2,1 是同一個(gè)數(shù)列嗎？知識(shí)點(diǎn)二數(shù)列的分類分類標(biāo)準(zhǔn) 名稱 含義 有窮數(shù)列 項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列按項(xiàng)的個(gè)數(shù)無窮數(shù)列 項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列知識(shí)點(diǎn)三函數(shù)與數(shù)列的關(guān)系數(shù)列an 是從正整數(shù)集N *( 或它的有限子集1,2，n) 到實(shí)數(shù)集R 的函數(shù)，其自變量是序號(hào)n，對應(yīng)的函數(shù)值是數(shù)

4、列的第n 項(xiàng)an，記為an = f(n)知識(shí)點(diǎn)四數(shù)列的單調(diào)性遞增數(shù)列 從第2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列遞減數(shù)列 從第2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列常數(shù)列 各項(xiàng)都相等的數(shù)列知識(shí)點(diǎn)五通項(xiàng)公式1如果數(shù)列an 的第n 項(xiàng)an 與它的序號(hào)n 之間的對應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式2通項(xiàng)公式就是數(shù)列的函數(shù)解析式，以前我們學(xué)過的函數(shù)的自變量通常是連續(xù)變化的，而數(shù)列是自變量為離散的數(shù)的函數(shù)第1頁 共 124 頁2. 1,1,1,1 是一個(gè)數(shù)列 ( )3. 數(shù)列1,3,5,7 可表示為1,3,5,7 ( )4. 如果一個(gè)數(shù)列不是遞增數(shù)列，那么它一定是遞減數(shù)列 (

5、 )5. an 與an 表達(dá)不同的含義 ( )一、數(shù)列的有關(guān)概念和分類【例1】. 下列數(shù)列哪些是有窮數(shù)列？哪些是無窮數(shù)列？哪些是遞增數(shù)列？哪些是遞減數(shù)列？哪些是常數(shù)列？(1)1,0.84,0.842,0.843，；(2)2,4,6,8,10，；(3)7,7,7,7，；(4) 13，19，127，181，；(5)10,9,8,7,6,5,4,3,2,1；(6)0，-1,2，-3,4，-5， .【跟蹤訓(xùn)練1.1】. 下列數(shù)列哪些是有窮數(shù)列？哪些是遞增數(shù)列？哪些是遞減數(shù)列？哪些是常數(shù)列？(1)2 017,2 018,2 019,2 020,2 021；(2)0，12(3)1，12，23，14，n -

6、 1，；n， 1，；2n-11， 1 ，- 1 ， 1(4) -1 2 2 3 3 4 4 5(5)1,0，-1，sin n，；2(6)9,9,9,9,9,9.，；二、由數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式【例2】. 寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前4 項(xiàng)分別是下列各數(shù)：(1) - 1，1 ，- 1 ，12 3 41，2，9(2) ，8；2 2(3)0,1,0,1；(4)9,99,999,9 999.第2頁 共 124 頁【跟蹤訓(xùn)練2.1】. 寫出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前4 項(xiàng)分別是下列各數(shù)：1 ，1 ，5，13(1) -；2 4 8 1622 - 1 ，3 ，42 - 1 2 -

7、1(2) 2 3 4(3)7,77,777,7 777.，52 - 1 5；三、數(shù)列通項(xiàng)公式的簡單應(yīng)用【例3】. 已知數(shù)列an 的通項(xiàng)公式是an = 2n2 - n，n N *.(1) 寫出數(shù)列的前3 項(xiàng)；(2) 判斷45 是否為數(shù)列an 中的項(xiàng)，3 是否為數(shù)列an 中的項(xiàng)【跟蹤訓(xùn)練3.1】. 已知數(shù)列an 的通項(xiàng)公式為an = qn，n N *，且a4 - a2 = 72.(1) 求實(shí)數(shù)q 的值；(2) 判斷-81 是否為此數(shù)列中的項(xiàng)延伸探究已知數(shù)列an 的通項(xiàng)公式為an = n2 - 5n + 4，n N *. 問當(dāng)n 為何值時(shí)，an 取得最小值？并求出最小值四、數(shù)列單調(diào)性的應(yīng)用【例4】.

8、 已知數(shù)列an 的通項(xiàng)公式是an = (n + 1) 10n，n N *. 試問該數(shù)列有沒有最大項(xiàng)？若 11有，求出最大項(xiàng)和最大項(xiàng)的序號(hào)；若沒有，請說明理由1. 下列說法正確的是 ( )A. 數(shù)列1,3,5,7，2n - 1 可以表示1,3,5,7，B. 數(shù)列1,0，-1，-2 與數(shù)列-2，-1,0,1 是相同的數(shù)列C. 數(shù)列 n + 1 的第k 項(xiàng)為1 + 1n kD. 數(shù)列0,2,4,6,8， 可記為2n2. 已知數(shù)列an 的通項(xiàng)公式為an =1 + -1 n+12，n N *，則該數(shù)列的前4 項(xiàng)依次為 ( )A. 1,0,1,0 B. 0,1,0,1 C. 12，0，12，0 D. 2,

9、0,2,03. ( 多選) 下面四個(gè)數(shù)列中，既是無窮數(shù)列又是遞增數(shù)列的是 ( )A. 1，1 ，1 ，1 ，1 ， B. sin ，sin 2 ，sin 3 ，sin n 2 3 4 n 7 7 7 7C. - 1，- 1 ，- 1 ，- 1 ，- 1， D. 1， 2， 3， n，2 4 82n-1，第3頁 共 124 頁4. 已知數(shù)列 3， 7， 11， 15，則該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是 ，5 3 是該數(shù)列的第 項(xiàng)5. 數(shù)列3,5,9,17,33， 的一個(gè)通項(xiàng)公式是1. ( 多選) 下列說法正確的是 ( )A. 數(shù)列可以用圖象來表示 B. 數(shù)列的通項(xiàng)公式不唯一C. 數(shù)列中的項(xiàng)不能相等 D.

10、數(shù)列可以用一群孤立的點(diǎn)表示2. 數(shù)列-1,3，-7,15， 的一個(gè)通項(xiàng)公式可以是 ( )A. an = (-1)n(2n - 1)，n N * B. an = (-1)n(2n - 1)，n N *C. an = (-1)n+1(2n - 1)，n N * D. an = (-1)n+1(2n - 1)，n N *3. 數(shù)列 23，45，67，89， 的第10 項(xiàng)是 ( )A.1617B.1819C.20 21D.22234. 設(shè)an = 1n+1n + 1+1n + 2+1n + 3+ + 1n2(n N *)，則a2 等于 ( )A. 14B. 12+ 13C. 12+ 13+ 14D.

11、12+ 13+ 14+ 155. 數(shù)列0.3,0.33,0.333,0.333 3， 的通項(xiàng)公式為 ( )A. an = 19(10n - 1)，n N * B. an = 29(10n - 1)，n N *C. an = 131* D. an = 31 - ，n N (10n - 1)，n N *10n106. 323 是數(shù)列n(n + 2) 的第 項(xiàng)a27. 若數(shù)列an 的通項(xiàng)公式是an = 3 - 2n，n N * 則a2n = ；a3= .8. 已知數(shù)列an 的通項(xiàng)公式為an = 2 020 - 3n，則使an 0 成立的正整數(shù)n 的最大值為第4頁 共 124 頁9. 寫出下列各數(shù)列的

12、一個(gè)通項(xiàng)公式：(1)4,6,8,10，；1 ，3 ，7 ，15 ，31 (2)，；2 4 8 16 32(3) - 1，8 ，- 15 ，24， .5 7 910. 在數(shù)列an 中 ，a1 = 2，a17 = 66，通項(xiàng)公式是關(guān)于n 的一次函數(shù)(1) 求數(shù)列an 的通項(xiàng)公式；(2) 求a2 020；(3)2 020 是否為數(shù)列an 中的項(xiàng)？11. ( 多選) 數(shù)列 2，0， 2，0， 的通項(xiàng)公式可以是 ( )A. an =221 - (-1)n (n N *) B. an = 1 + -1 n(n N *)C. an = 2，n 為奇數(shù)0，n 為偶數(shù)*) D. an = 22(1 - cos

13、n) (n N *)12. 已知an = n2 - 21n2，則數(shù)列an 中相等的連續(xù)兩項(xiàng)是 ( )A. 第9 項(xiàng)，第10 項(xiàng) B. 第10 項(xiàng)，第11 項(xiàng) C. 第11 項(xiàng)，第12 項(xiàng) D. 第12 項(xiàng)，第13 項(xiàng)13. 設(shè)函數(shù)f(x) = 3 - a x - 3，x 7， 數(shù)列an 滿足an = f(n)，n N *，且數(shù)列an 是遞增ax-6，x 7，數(shù)列，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍是 ( )A.9 B.，349 C. (1,3) D. (2,3)，3414. 某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，圖(1)，(2)，(3)，(4) 為最簡單的四個(gè)圖案，這些圖案都由小正方形構(gòu)成，小正方形數(shù)越多刺繡越漂

14、亮現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡( 小正方形的擺放規(guī)律相同)，設(shè)第n 個(gè)圖形包含f(n) 個(gè)小正方形，則f(6) = .第5頁 共 124 頁15. 如圖1 是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)( 簡稱ICME - 7) 的會(huì)徽圖案，會(huì)徽的主體圖案是由如圖2的一連串直角三角形演化而成的，其中OA1 = A1A2 = A2A3 = A7A8 = 1，如果把圖2 中的直角三角形繼續(xù)作下去，記OA1，OA2，OAn， 的長度構(gòu)成數(shù)列an，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為 ( )A. an = n，n N * B. an = n + 1，n N *C. an = n，n N * D. an = n2，n N *16. 在數(shù)列an 中 ，

15、an = n2n2 + 1.(1) 求證：此數(shù)列的各項(xiàng)都在區(qū)間(0,1) 內(nèi)；(2) 區(qū)間 1 ，2 內(nèi)有沒有數(shù)列中的項(xiàng)？若有，有幾項(xiàng)？3 3第6頁 共 124 頁4.1.2 數(shù)列的遞推公式知識(shí)點(diǎn)一數(shù)列的遞推公式如果一個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式1. 思考僅由數(shù)列an 的關(guān)系式an = an-1 + 2(n 2，n N *) 就能確定這個(gè)數(shù)列嗎？知識(shí)點(diǎn)二數(shù)列的前n 項(xiàng)和Sn 與an 的關(guān)系1把數(shù)列an 從第1 項(xiàng)起到第n 項(xiàng)止的各項(xiàng)之和，稱為數(shù)列an 的前n 項(xiàng)和，記作Sn，即Sn = a1 + a2 + +a n.2an =S1，n

16、 = 1，Sn - Sn-1，n 2.2. 在數(shù)列an 中，若an+1 = 2an，n N *，則a2 = 2a1. ( )3. 利用an+1 = 2an，n N * 可以確定數(shù)列an ( )4. 遞推公式是表示數(shù)列的一種方法 ( )5. S2n 表示數(shù)列an 中所有偶數(shù)項(xiàng)的和. ( )一、由遞推公式求數(shù)列的指定項(xiàng)【例5】. 設(shè)數(shù)列an 滿足an =1，n = 1，1 + 1，n 2，n N *.an-1寫出這個(gè)數(shù)列的前5 項(xiàng)【跟蹤訓(xùn)練5.1】.已知數(shù)列an 的首項(xiàng)a1 = 1，且滿足an+1 = 12an +12n，則此數(shù)列的第3 項(xiàng)是 ( )A. 1 B. 12C.34D.58【跟蹤訓(xùn)練5

17、.2】. 已知數(shù)列an 滿足an+1 = 1 - 1an，且a1 = 2，則a2 020 的值為 ( )A. 12B. - 1 C. 2 D. 1第7頁 共 124 頁二、由遞推公式求通項(xiàng)公式【例6】. 在數(shù)列an 中，a1 = 1，an+1 = an + 1n-1n + 1，則an 等于 ( )A.1nB.2n - 1nC.n - 1nD.12n【跟蹤訓(xùn)練6.1】. 已知數(shù)列an 滿足a1 = 1，an = an-1 + n + 1 - n(n 2)，求an.【跟蹤訓(xùn)練6.2】. (2) 已知數(shù)列an 滿足a1 = 1，ln an - ln an-1 = 1(n 2)，求an.三、利用Sn

18、與an 的關(guān)系求通項(xiàng)公式【例7】. 設(shè)Sn 為數(shù)列an 的前n 項(xiàng)和，Sn = 2n2 - 30n. 求a1 及an.【跟蹤訓(xùn)練7.1】. 已知Sn 是數(shù)列an 的前n 項(xiàng)和，根據(jù)條件求an.(1)Sn = 2n2 + 3n + 2；(2)Sn = 3n - 1.1. 已知在數(shù)列an 中 ，a1 = 2，an+1 = an + n(n N *)，則a4 的值為 ( )A. 5 B. 6 C. 7 D. 82. 已知數(shù)列an 的前n 項(xiàng)和Sn = n2 - 2n，則a2 + a18 等于 ( )A. 36 B. 35 C. 34 D. 333. 已知數(shù)列an 中，a1 = 1，a2 = 2，且a

19、nan+2 = an+1(n N *)，則a2 020 的值為 ( )A. 2 B. 1 C. 12D. 144. 設(shè)Sn 為數(shù)列an 的前n 項(xiàng)和，Sn = n2 + n，則an =5. 數(shù)列1,3,6,10,15， 的遞推公式可以是a n = an-1 + (n N *，n 2)由a10 = 55，則a12 =第8頁 共 124 頁1. 已知數(shù)列an 滿足an = 4an-1 + 3(n 2，n N *)，且a1 = 0，則此數(shù)列的第5 項(xiàng)是 ( )A. 15 B. 255 C. 16 D. 632. 數(shù)列 12，- 14，18，- 116， 的第n 項(xiàng)a n 與第n + 1 項(xiàng)an+1

20、的關(guān)系是 ( )n 與第n + 1 項(xiàng)an+1 的關(guān)系是 ( )A. an+1 = 2an B. an+1 = -2an C. an+1 = 12an D. an+1 = - 12an3. ( 多選) 數(shù)列2,4,6,8,10， 的遞推公式是 ( )A. an = an-1 + 2(n 2，n N *) B. an = 2an-1(n 2，n N *)C. a1 = 2，an = an-1 + 2(n 2，n N *) D. a1 = 2，an+1 = an + 2(n N *)4. 已知數(shù)列an 滿足a1 = 2，an+1 - an + 1 = 0(n N *)，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式an 等于

21、 ( )A. n2 + 1 B. n + 1 C. 1 - n D. 3 - n5. ( 多選) 已知數(shù)列an 的前n 項(xiàng)和滿足Sn = 2n+1 - 1，下列說法正確的是 ( )A. a1 = 3 B. an = 2n(n 2) C. an = 2n D. an = 2n(n 2)6. 已知在數(shù)列an 中 ，a1 = 2，an = - 1an-1(n 2，n N *)，則a2 020 =7. 已知數(shù)列an 的前n 項(xiàng)和為Sn = -n2，n N *，則an =8. 已知在數(shù)列an 中 ，a1a2 a n = n2(n N *)，則a9 =9. 已知數(shù)列an 滿足an+1 - an = n +

22、 2(n N *)，且a1 = 1.(1) 求a2，a3，a4 的值；(2) 令bn = 4an - 68n，求數(shù)列bn 的前4 項(xiàng)10. 已知數(shù)列an 滿足a1 = -1，an+1 = an + 1n n + 1 ，n N *，求通項(xiàng)公式an.第9頁 共 124 頁11. 已知數(shù)列an 滿足a1 = 0，an+1 =an - 33an + 1(n N *)，則a2 020 等于 ( )A. - 3 B. 0 C. 3 D. 312. 下圖是某省從1 月21 日至2 月24 日的新冠肺炎每日新增確診病例變化曲線圖若該省從1 月21 日至2 月24 日的新冠肺炎每日新增確診人數(shù)按日期順序排列構(gòu)成

23、數(shù)列an，an 的前n 項(xiàng)和為Sn，則下列說法中正確的是 ( )A. 數(shù)列an 是遞增數(shù)列 B. 數(shù)列Sn 是遞增數(shù)列C. 數(shù)列an 的最大項(xiàng)是a11 D. 數(shù)列Sn 的最大項(xiàng)是S1113. 已知數(shù)列an 滿足a1 0，且an+1 = nn + 1an，則數(shù)列an 的最大項(xiàng)是 ( )A. a1 B. a9 C. a10 D. 不存在14. 設(shè)an 是首項(xiàng)為1 的正項(xiàng)數(shù)列，且(n + 1)a2n+1 - na2n + an+1an = 0(n N *)，則它的通項(xiàng)公式an =15. 在一個(gè)數(shù)列中，如果對任意n N *，都有anan+1an+2 = k(k 為常數(shù))，那么這個(gè)數(shù)列叫做等積數(shù)列，k

24、叫做這個(gè)數(shù)列的公積已知數(shù)列an 是等積數(shù)列，且a1 = 1，a2 = 2，公積為8，則a1 + a2 + a3 + +a 12 =16. 已知數(shù)列an 滿足：a1 = m(m 為正整數(shù))，an+1 =an，an 為偶數(shù)，23an + 1，an 為奇數(shù).若a4 = 4，求m 所有可能的取值第10頁 共 124 頁4.2.1.1 等差數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式知識(shí)點(diǎn)一等差數(shù)列的概念一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d 表示，公差可正可負(fù)可為零1. 思考你能根據(jù)等差數(shù)列的概念寫出它的數(shù)學(xué)表達(dá)式嗎？

25、知識(shí)點(diǎn)二等差中項(xiàng)的概念由三個(gè)數(shù)a，A，b 組成的等差數(shù)列可以看成是最簡單的等差數(shù)列這時(shí)，A 叫做a 與b 的等差中項(xiàng)且2A = a + b.2. 思考下列所給的兩個(gè)數(shù)之間，插入一個(gè)什么數(shù)后三個(gè)數(shù)就會(huì)成為一個(gè)等差數(shù)列：(1)2,4； (2) - 1,5； (3)0,0；(4)a，b.知識(shí)點(diǎn)三等差數(shù)列的通項(xiàng)公式首項(xiàng)為a1，公差為d 的等差數(shù)列an 的通項(xiàng)公式an = a1 + (n - 1)d.3. 思考由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可以看出，要求an，需要哪幾個(gè)條件？知識(shí)點(diǎn)四從函數(shù)角度認(rèn)識(shí)等差數(shù)列an若數(shù)列an 是等差數(shù)列，首項(xiàng)為a1，公差為d，則an = f(n) = a1 + (n - 1)d = n

26、d + (a1 - d)(1) 點(diǎn)(n，an) 落在直線y = dx + (a1 - d) 上，這條直線的斜率為d，在y 軸上的截距為a1 - d；(2) 這些點(diǎn)的橫坐標(biāo)每增加1，函數(shù)值增加d.第11頁 共 124 頁4. 數(shù)列4,4,4， 是等差數(shù)列 ( )5. 數(shù)列an 的通項(xiàng)公式為an =1，n = 1， 則an 是等差數(shù)列 ( )n + 1，n 2，6. 若一個(gè)數(shù)列從第2 項(xiàng)起每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差都是常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列 ( )7. 若三個(gè)數(shù)a，b，c 滿足a + c = 2b，則a，b，c 一定是等差數(shù)列 ( )一、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其應(yīng)用【例8】. 在等差數(shù)列an 中，(1

27、) 已知a5 = -1，a8 = 2，求a1 與d；(2) 已知a1 + a6 = 12，a4 = 7，求an.【跟蹤訓(xùn)練8.1】. 在等差數(shù)列an 中，求解下列各題：(1) 已知公差d = - 13，a7 = 8，則a1 = .(2) 已知a3 = 0，a7 - 2a4 = -1，則公差d = .(3) 已知an 的前3 項(xiàng)依次為2,6,10，則a15 = .二、等差數(shù)列的判定與證明【例9】. 已知數(shù)列an 滿足a1 = 2，an+1 =(1) 數(shù)列 1an2anan + 2.(2) 求an.延伸探究將本例中的條件“a1 = 2，an+1 =2an”換 為“a1 = 4，an = 4 - 4

28、an + 2 an-1(n 1)，記bn = 1”an - 2(1) 試證明數(shù)列bn 為等差數(shù)列；(2) 求數(shù)列an 的通項(xiàng)公式第12頁 共 124 頁【跟蹤訓(xùn)練9.1】. 已知數(shù)列an 滿足(an+1 - 1) (an - 1) = 3(an - an+1)，a1 = 2，令bn = 1an - 1(1) 證明：數(shù)列bn 是等差數(shù)列；(2) 求數(shù)列an 的通項(xiàng)公式.三、等差中項(xiàng)及應(yīng)用【例10】. 在-1 與7 之間順次插入三個(gè)數(shù)a，b，c，使這五個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，求此數(shù)列【跟蹤訓(xùn)練10.1】. 已知 1a，1b，1c成等差數(shù)列求證 ：b + ca，a + cb，a + bc也成等差數(shù)列【跟蹤訓(xùn)

29、練10.2】. 若m 和2n 的等差中項(xiàng)為4,2m 和n 的等差中項(xiàng)為5，求m 和n 的等差中項(xiàng)【跟蹤訓(xùn)練10.3】.已知a，b，c 成等差數(shù)列，證明：a2(b + c)，b2(c + a)，c2(a + b) 也成等差數(shù)列四、等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用【例11】. 某公司經(jīng)銷一種數(shù)碼產(chǎn)品，第一年可獲利200 萬元，從第二年起由于市場競爭方面的原因，其利潤每年比上一年減少20 萬元，按照這一規(guī)律，如果公司不開發(fā)新產(chǎn)品，也不調(diào)整經(jīng)營策略，從哪一年起，該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損？1. 已知等差數(shù)列an 的通項(xiàng)公式an = 3 - 2n(n N *)，則它的公差d 為 ( )A. 2 B. 3 C. - 2

30、D. - 32. 若5，x，y，z，21 成等差數(shù)列，則x + y + z 的值為 ( )A. 26 B. 29 C. 39 D. 523. 在等差數(shù)列an 中，若a1 = 84，a2 = 80，則使an 0，且an+1 a4a5 B. a3a6 a4 + a5 D. a3a6 = a4a514. 已知數(shù)列an 滿足a1 = 1，若 點(diǎn)an an+1 在直線x - y + 1 = 0 上，則an = .，n n + 115. 已知數(shù)列an 滿足a2n+1 = a2n + 4，且a1 = 1，an 0，則an = .16. 若數(shù)列bn 對于n N *，都有bn+2 - bn = d(d 為常數(shù))

31、，則稱數(shù)列bn 是公差為d 的準(zhǔn)等差數(shù)列例如cn =4n - 1，n 為奇數(shù)， 則數(shù)列cn 是公差為8 的準(zhǔn)等差數(shù)列設(shè)數(shù)列an 滿足：a14n + 9，n 為偶數(shù)，= a，對于n N *，都有an + an+1 = 2n.(1) 求證：數(shù)列an 為準(zhǔn)等差數(shù)列；(2) 求數(shù)列an 的通項(xiàng)公式第15頁 共 124 頁4.2.1.2 等差數(shù)列的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)一等差數(shù)列通項(xiàng)公式的變形及推廣設(shè)等差數(shù)列an 的首項(xiàng)為a1，公差為d，則an = dn + (a1 - d) (n N *)，an = am + (n - m)d(m，n N *)，d =an - am n - m(m，n N *，且m n)其中，的

32、幾何意義是點(diǎn)(n，an) 均在直線y = dx + (a1 - d) 上可以用來利用任一項(xiàng)及公差直接得到通項(xiàng)公式，不必求a1.可用來由等差數(shù)列任兩項(xiàng)求公差知識(shí)點(diǎn)二等差數(shù)列的性質(zhì)1若an，bn 分別是公差為d，d 的等差數(shù)列，則有數(shù)列 結(jié)論c + an 公差為d 的等差數(shù)列(c 為任一常數(shù))can 公差為cd 的等差數(shù)列(c 為任一常數(shù))an + an+k 公差為kd 的等差數(shù)列(k 為常數(shù)，k N *)pan + qbn 公差為pd + qd 的等差數(shù)列(p，q 為常數(shù))2. 下標(biāo)性質(zhì)：在等差數(shù)列an 中，若m + n = p + q(m，n，p，q N *)，則am + an = ap +

33、aq.特別地，若m + n = 2p(m，n，p N *)，則有am + an = 2ap.3在等差數(shù)列中每隔相同的項(xiàng)選出一項(xiàng)，按原來的順序排成一列，仍然是一個(gè)等差數(shù)列4等差數(shù)列an 的公差為d，則d 0 an 為遞增數(shù)列；d 0 B. d 0 D. a1d 0 B. a2 + a101 0 的最小正整數(shù)n 為 ( )A. 7 B. 8 C. 9 D. 106. 已知an 是等差數(shù)列，a4 + a6 = 6，其前5 項(xiàng)和S5 = 10，則其首項(xiàng)a1 = ，公差d =第22頁 共 124 頁7. 設(shè)Sn 為等差數(shù)列an 的前n 項(xiàng)和，若a1 = 1，公差d = 2，Sk+2 - Sk = 24，

34、則k =8. 在等差數(shù)列an 中 ，S10 = 4S5，則a1 d=9. 在等差數(shù)列an 中 ，a10 = 30，a20 = 50.(1) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2) 若Sn = 242，求n.10. 已知an 為等差數(shù)列，Sn 為數(shù)列an 的前n 項(xiàng)和，且S7 = 7，S15 = 75，求數(shù)列Sn nn.11. 在小于100 的自然數(shù)中，所有被7 除余2 的數(shù)之和為 ( )A. 765 B. 665 C. 763 D. 66312. 設(shè)Sn 是數(shù)列an 的前n 項(xiàng)和，且a1 = -1，an+1 = SnSn+1，則Sn =13. 已知兩個(gè)等差數(shù)列an 與bn 的前n 項(xiàng)和分別是Sn 和Tn，且

35、an bn = (2n + 1) (3n - 2)，則 S9T9=14. 現(xiàn)有200 根相同的鋼管，把它們堆成正三角形垛，要使剩余的鋼管盡可能少，那么剩余鋼管的根數(shù)為15. 如圖所示，將若干個(gè)點(diǎn)擺成三角形圖案，每條邊( 包括兩個(gè)端點(diǎn)) 有n(n 1，n N *) 個(gè)點(diǎn)，相應(yīng)的圖案中總的點(diǎn)數(shù)記為an，則a2 + a3 + a4 + +a n 等于 ( )A.3n22B.n n + 1 2C.3n n - 1 2D.n n - 1 216. 已知等差數(shù)列an 的公差d 0，前n 項(xiàng)和為Sn，且a2a3 = 45，S4 = 28.(1) 求數(shù)列an 的通項(xiàng)公式；(2) 若bn =Snn + c(c

36、為非零常數(shù))，且數(shù)列bn 也是等差數(shù)列，求c 的值第23頁 共 124 頁4.2.2.2 等差數(shù)列前n 項(xiàng)和的性質(zhì)及應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)一等差數(shù)列前n 項(xiàng)和的性質(zhì)1若數(shù)列an 是公差為d 的等差數(shù)列，則數(shù)列Sn nd2.2設(shè)等差數(shù)列an 的公差為d，Sn 為其前n 項(xiàng)和，則Sm，S2m - Sm，S3m - S2m， 仍構(gòu)成等差數(shù)列，且公差為m2d.S偶3若等差數(shù)列an 的項(xiàng)數(shù)為2n，則S2n = n(an + an+1)，S偶- S奇= nd，S奇=an+1 an.S偶4若等差數(shù)列an 的項(xiàng)數(shù)為2n + 1，則S2n+1 = (2n + 1)an+1，S偶- S奇= -an+1，S奇=n.n + 11

37、. 思考在性質(zhì)3 中 ，an 和an+1 分別是哪兩項(xiàng)？在性質(zhì)4 中 ，an+1 是哪一項(xiàng)？知識(shí)點(diǎn)二等差數(shù)列an 的前n 項(xiàng)和公式的函數(shù)特征1公式Sn = na1 +n n - 1 d2可化成關(guān)于n 的表達(dá)式：Sn = d2n2 + a1 - d n. 當(dāng)d 0 時(shí)，S2n關(guān)于n 的表達(dá)式是一個(gè)常數(shù)項(xiàng)為零的二次函數(shù)式，即點(diǎn)(n，Sn) 在其相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象上，這就是說等差數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式是關(guān)于n 的二次函數(shù)，它的圖象是拋物線y = d2橫坐標(biāo)為正整數(shù)的一系列孤立的點(diǎn)x2 + a1 - d x 上22等差數(shù)列前n 項(xiàng)和的最值(1) 在等差數(shù)列an 中，當(dāng)a1 0，d 0 時(shí) ，Sn 有最

38、大值，使Sn 取得最值的n 可由不等式組an 0，an+1 0當(dāng)a1 0 時(shí) ，Sn 有最小值，使Sn 取到最值的n 可由不等式組an 0，an+1 0(2)Sn =d2n2 + a1 - dn 有最小值；當(dāng)d 0 時(shí)，S2時(shí) ，Sn 有最大值當(dāng)n 取最接近對稱軸的正整數(shù)時(shí)，Sn 取到最值第24頁 共 124 頁一、等差數(shù)列前n 項(xiàng)和的性質(zhì)S奇【例18】. 在等差數(shù)列an 中，S10 = 120，且在這10 項(xiàng)中，S偶= 1113，則公差d =【跟蹤訓(xùn)練18.1】.等差數(shù)列an 的前m 項(xiàng)和為30，前2m 項(xiàng)和為100，求數(shù)列an 的前3m 項(xiàng)的和S3m.【跟蹤訓(xùn)練18.2】. 已知數(shù)列an

39、是項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等差數(shù)列，它的奇數(shù)項(xiàng)的和是50，偶數(shù)項(xiàng)的和為34，若它的末項(xiàng)比首項(xiàng)小28，則該數(shù)列的公差是【跟蹤訓(xùn)練18.3】. 已知一個(gè)等差數(shù)列的前10 項(xiàng)和為100，前100 項(xiàng)和為10，求前110 項(xiàng)之和二、等差數(shù)列前n 項(xiàng)和的最值問題【例19】. 在等差數(shù)列an 中，a1 = 25，S8 = S18，求前n 項(xiàng)和Sn 的最大值【跟蹤訓(xùn)練19.1】. 在等差數(shù)列an 中 ，a10 = 18，前5 項(xiàng)的和S5 = -15.(1) 求數(shù)列an 的通項(xiàng)公式；(2) 求數(shù)列an 的前n 項(xiàng)和的最小值，并指出何時(shí)取最小值三、求數(shù)列|an| 的前n 項(xiàng)和【例20】. 數(shù)列an 的前n 項(xiàng)和Sn = 1

40、00n - n2(n N *)(1) 判斷an 是不是等差數(shù)列，若是，求其首項(xiàng)、公差；(2) 設(shè)bn = |an|，求數(shù)列bn 的前n 項(xiàng)和【跟蹤訓(xùn)練20.1】. 在等差數(shù)列an 中 ，a10 = 23，a25 = -22.(1) 數(shù)列an 前多少項(xiàng)和最大？(2) 求|an| 的前n 項(xiàng)和Sn.第25頁 共 124 頁四、等差數(shù)列前n 項(xiàng)和公式的實(shí)際應(yīng)用【例21】. 某單位用分期付款的方式為職工購買40 套住房，共需1 150 萬元，購買當(dāng)天先付150 萬元，按約定以后每月的這一天都交付50 萬元，并加付所有欠款利息，月利率為1%，若交付150 萬元后的一個(gè)月開始算分期付款的第一個(gè)月，問分期付

41、款的第10 個(gè)月應(yīng)付多少錢？全部付清后，買這40 套住房實(shí)際花了多少錢？1. 已知數(shù)列an 滿足an = 26 - 2n，則使其前n 項(xiàng)和Sn 取最大值的n 的值為 ( )A. 11 或12 B. 12 C. 13 D. 12 或132. 一個(gè)等差數(shù)列共有10 項(xiàng)，其偶數(shù)項(xiàng)之和是15，奇數(shù)項(xiàng)之和是12.5，則它的首項(xiàng)與公差分別是( )A. 0.5,0.5 B. 0.5,1 C. 0.5,2 D. 1,0.53. ( 多選) 設(shè)an 是等差數(shù)列，Sn 為其前n 項(xiàng)和，且S5 S8 ，則下列結(jié)論正確的是( )A. d S5 D. S6 與S7 均為Sn 的最大值4. 已知在等差數(shù)列an 中 ，|a

42、5| = |a9|，公差d 0，則使得其前n 項(xiàng)和Sn 取得最小值的正整數(shù)n的值是5. 已知等差數(shù)列的前12 項(xiàng)和為354，前12 項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)和與奇數(shù)項(xiàng)和之比為32 27，則公差d =1. 在等差數(shù)列an 中 ，a1 = 1，其前n 項(xiàng)和為Sn，若S88-S66= 2，則S10 等于 ( )A. 10 B. 100 C. 110 D. 1202. 若等差數(shù)列an 的前m 項(xiàng)的和Sm 為20，前3m 項(xiàng)的和S3m 為90，則它的前2m 項(xiàng)的和S2m為 ( )A. 30 B. 70 C. 50 D. 60第26頁 共 124 頁3. 已知數(shù)列2n - 19，那么這個(gè)數(shù)列的前n 項(xiàng)和Sn ( )A.

43、 有最大值且是整數(shù) B. 有最小值且是整數(shù)C. 有最大值且是分?jǐn)?shù) D. 無最大值和最小值4. ( 多選) 已知Sn 是等差數(shù)列an 的前n 項(xiàng)和，且S6 S7 S5，下列判斷正確的是 ( )A. d 0C. S12 a5，則Sn 取得最小值時(shí)n 的值為9. 已知在等差數(shù)列an 中 ，a1 = 9，a4 + a7 = 0.(1) 求數(shù)列an 的通項(xiàng)公式；(2) 當(dāng)n 為何值時(shí)，數(shù)列an 的前n 項(xiàng)和取得最大值？10. 在數(shù)列an 中 ，a1 = 8，a4 = 2，且滿足an+2 - 2an+1 + an = 0(n N *)(1) 求數(shù)列an 的通項(xiàng)公式；(2) 設(shè)Tn = |a1|+|a2|+

44、 +|a n|，求Tn.11. 若數(shù)列an 的前n 項(xiàng)和是Sn = n2 - 4n + 2，則|a1|+|a2|+ +|a 10| 等于 ( )A. 15 B. 35 C. 66 D. 100S1512. 已知等差數(shù)列an 的前n 項(xiàng)和為Sn，a2 = 11，15的n 為 ( )-S77= -8，則Sn 取最大值時(shí)A. 6 B. 7 C. 8 D. 9第27頁 共 124 頁13. 已知Sn，Tn 分別是等差數(shù)列an，bn 的前n 項(xiàng)和，且 SnTn= 2n + 14n - 2(n N *)，則a10b3 + b18+a11b6 + b15=14. 已知等差數(shù)列an 的前n 項(xiàng)和為Sn，且S4

45、S8= 13，那么S8S16=15. 設(shè)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)之和為44，偶數(shù)項(xiàng)之和為33，則這個(gè)數(shù)列的中間項(xiàng)是 ，項(xiàng)數(shù)是16. 已知數(shù)列an 的前n 項(xiàng)和為Sn，an 0，a1 2,6Sn = (an + 1) (an + 2)(1) 求證：an 是等差數(shù)列；(2) 令bn = 3anan+1，數(shù)列bn 的前n 項(xiàng)和為Tn，求證 ：Tn 1) 或 = q，n N * .an1. 思考為什么等比數(shù)列的各項(xiàng)和公比q 均不能為0?知識(shí)點(diǎn)二等比中項(xiàng)如果在a 與b 中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b 成等比數(shù)列，那么G 叫做a 與b 的等比中項(xiàng)，此時(shí)，G2 = ab.2. 思考當(dāng)G2 = ab 時(shí)

46、，G 一定是a，b 的等比中項(xiàng)嗎？知識(shí)點(diǎn)三等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 1q若等比數(shù)列an 的首項(xiàng)為a1，公比為q，則an = a n-1(n N *)知識(shí)點(diǎn)四等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推廣和變形等比數(shù)列an 的公比為q，則n-m= aan = a n-1 = a1q mq1qqn. 其中當(dāng)中m = 1 時(shí)，即化為.當(dāng)中q 0 且q 1 時(shí) ，y =a1 qq x 為指數(shù)型函數(shù)x 為指數(shù)型函數(shù)3. 數(shù)列1，-1,1，-1， 是等比數(shù)列 ( )4. 若一個(gè)數(shù)列從第2 項(xiàng)起每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比為常數(shù)，則該數(shù)列為等比數(shù)列 ( )5. 等比數(shù)列的首項(xiàng)不能為零，但公比可以為零 ( )6. 常數(shù)列一定為等比數(shù)列 ( )第29

47、頁 共 124 頁一、等比數(shù)列中的基本運(yùn)算【例22】. 在等比數(shù)列an 中：(1)a1 = 1，a4 = 8，求an；(2)an = 625，n = 4，q = 5，求a1；(3)a2 + a5 = 18，a3 + a6 = 9，an = 1，求n.【跟蹤訓(xùn)練22.1】. 在等比數(shù)列an 中：(1) 若它的前三項(xiàng)分別為5，-15,45，求a5；(2) 若a4 = 2，a7 = 8，求an.二、等比中項(xiàng)的應(yīng)用【例23】. 如果-1，a，b，c，-9 成等比數(shù)列，那么b = ，ac = .【跟蹤訓(xùn)練23.1】. 在等比數(shù)列an 中 ，a1 = -16，a4 = 8，則a7 等于 ( )A. - 4

48、 B. 4 C. - 2 D. 2三、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推廣及應(yīng)用【例24】. 在等比數(shù)列an 中(1) 已知a3 = 4，a7 = 16，且q 0，求an；(2) 若an 為遞增數(shù)列，且a5 = a10,2(an + an+2) = 5a 2 n+1，求通項(xiàng)公式an.【跟蹤訓(xùn)練24.1】. 已知等比數(shù)列an 滿足a1 = 3，a1 + a3 + a5 = 21，則a3 + a5 + a7 等于 ( )A. 21 B. 42 C. 63 D. 84四、靈活設(shè)元求解等比數(shù)列問題【例25】.有四個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，將這四個(gè)數(shù)分別減去1,1,4,13 成等差數(shù)列，則這四個(gè)數(shù)的和是【跟蹤訓(xùn)練25.1】.

49、有四個(gè)實(shí)數(shù)，前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，且它們的乘積為216，后三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，且它們的和為12，求這四個(gè)數(shù)【跟蹤訓(xùn)練25.2】. 在2 和20 之間插入兩個(gè)數(shù)，使前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則插入的兩個(gè)數(shù)的和為 ( )A. - 4 或 352B. 4 或 352C. 4 D.35 2第30頁 共 124 頁1. 在等比數(shù)列an 中，若a2 = 4，a5 = -32，則公比q 應(yīng)為 ( )A 12B2 C. 12D-22. ( 多選) 已知a 是1,2 的等差中項(xiàng)，b 是-1，-16 的等比中項(xiàng)，則ab 等于 ( )A. 6 B. - 6 C. - 12 D. 123. 若等比數(shù)列的首項(xiàng)

50、為4，末項(xiàng)為128，公比為2，則這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為 ( )A. 4 B. 8 C. 6 D. 324. 等比數(shù)列an 中 ，|a1| = 1，a5 = -8a2，a5 a2，則an 等于 ( )A. (-2)n-1 B. - (-2n-1) C. (-2)n D. - (-2)n5. 在等比數(shù)列an 中 ，a1 = -2，a3 = -8，則數(shù)列an 的公比為 ，通項(xiàng)公式為an = .1. 在數(shù)列an 中，若an+1 = 3an，a1 = 2，則a4 為 ( )A. 108 B. 54 C. 36 D. 182. ( 多選) 在等比數(shù)列an 中 ，a 1 = 11 = 18，q = 2，則a 4

51、與a8 的等比中項(xiàng)為 ( )4 與a8 的等比中項(xiàng)為 ( )A. - 4 B. 4 C. - 14D. 143. 在等比數(shù)列an 中 ，an 0，且a1 + a2 = 1，a3 + a4 = 9，則a4 + a5 的值為 ( )A. 16 B. 27 C. 36 D. 814. 數(shù)列an 是公差不為0 的等差數(shù)列，且a1，a3，a7 為等比數(shù)列bn 的連續(xù)三項(xiàng)，則數(shù)列bn 的公比為 ( )A. 2 B. 4 C. 2 D. 12第31頁 共 124 頁5. 若正項(xiàng)數(shù)列an 滿足a1 = 2，an+1 - 3an+1an - 4an = 0，則數(shù)列an 的通項(xiàng)公式a2 2n等于 ( )A. 22

52、n-1 B. 2n C. 22n+1 D. 22n-36. 若an 為等比數(shù)列，且a3 + a4 = 4，a2 = 2，則公比q =7. 已知an 是等差數(shù)列，公差d 不為零若a2，a3，a7 成等比數(shù)列，且2a1 + a2 = 1，且a1 = ，d = .8. 已知等比數(shù)列an 的前三項(xiàng)依次為a - 1，a + 1，a + 4，則an = .9. 在等比數(shù)列an 中 ，a3 = 32，a5 = 8.(1) 求數(shù)列an 的通項(xiàng)公式an；(2) 若a n = 1n = 12，求n.10. 在等比數(shù)列an 中：(1) 已知a3 = 2，a5 = 8，求a7；(2) 已知a3 + a1 = 5，a5

53、 - a1 = 15，求通項(xiàng)公式an.11. 已知a，b，c，d 成等比數(shù)列，且曲線y = x2 - 2x + 3 的頂點(diǎn)是(b，c)，則ad 等于 ( )A. 3 B. 2 C. 1 D. - 212. 已知等比數(shù)列an 滿足a 1 = 11 = 14，a3a5 = 4(a4 - 1)，則a2 等于 ( )A. 2 B. 1 C. 12D. 1813. ( 多選) 已知等差數(shù)列a，b，c 三項(xiàng)之和為12，且a，b，c + 2 成等比數(shù)列，則a 等于 ( )A. - 2 B. 2 C. - 8 D. 814. 若數(shù)列an 的前n 項(xiàng)和為Sn，且an = 2Sn - 3，則an 的通項(xiàng)公式是第3

54、2頁 共 124 頁15. 已知在等差數(shù)列an 中 ，a2 + a4 = 16，a1 + 1，a2 + 1，a4 + 1 成等比數(shù)列，把各項(xiàng)按如圖所示排列則從上到下第10 行，從左到右的第11 個(gè)數(shù)值為16. 設(shè)數(shù)列an 是公比小于1 的正項(xiàng)等比數(shù)列，已知a1 = 8，且a1 + 13,4a2，a3 + 9 成等差數(shù)列(1) 求數(shù)列an 的通項(xiàng)公式；(2) 若bn = an(n + 2 - )，且數(shù)列bn 是單調(diào)遞減數(shù)列，求實(shí)數(shù) 的取值范圍第33頁 共 124 頁4.3.1.2 等比數(shù)列的應(yīng)用及性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)一實(shí)際應(yīng)用題常見的數(shù)列模型1儲(chǔ)蓄的復(fù)利公式：本金為a 元，每期利率為r，存期為n 期，則本

55、利和y = a(1 + r)n.2總產(chǎn)值模型：基數(shù)為N ，平均增長率為p，期數(shù)為n，則總產(chǎn)值y = N (1 + p)n.知識(shí)點(diǎn)二等比數(shù)列的常用性質(zhì)設(shè)數(shù)列an 為等比數(shù)列，則：(1) 若k + l = m + n(k，l，m，n N *)，則akal = aman(2) 若m，p，n 成等差數(shù)列，則am，ap，an 成等比數(shù)列(3) 在等比數(shù)列an 中，連續(xù)取相鄰k 項(xiàng)的和( 或積) 構(gòu)成公比為qk( 或qk2) 的等比數(shù)列(4) 若an 是等比數(shù)列，公比為q，則數(shù)列a n ( 0)， 1ann 都是等比數(shù)列，且公比分別是2q，1q，q2.(5) 若an，bn 是項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，公比分別是

56、p 和q，那么anbn 與an bn公比分別為pq 和p q.一、數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用【例26】. 某人買了一輛價(jià)值13.5 萬元的新車，專家預(yù)測這種車每年按10% 的速度貶值(1) 用一個(gè)式子表示n(n N *) 年后這輛車的價(jià)值；(2) 如果他打算用滿4 年時(shí)賣掉這輛車，他大概能得到多少錢？【跟蹤訓(xùn)練26.1】. 有純酒精a(a 1) 升，從中取出1 升，再用水加滿，然后再取出1 升，再用水加滿，如此反復(fù)進(jìn)行，則第九次和第十次共取出純酒精 升二、等比數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用【例27】. 已知an 為等比數(shù)列(1) 等比數(shù)列an 滿足a 2a4 = 12a4 = 12，求a1a32a5；(2) 若an

57、0，a5a7 + 2a6a8 + a6a10 = 49，求a6 + a8；(3) 若an 0，a5a6 = 9，求log3a1 + log3a2 + +log3a10 的值第34頁 共 124 頁【跟蹤訓(xùn)練27.1】.公比為3 2 的等比數(shù)列an 的各項(xiàng)都是正數(shù)，且a3a11 = 16，則log 2a16 等于 ( )2a16 等于 ( )A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【跟蹤訓(xùn)練27.2】.已知在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an 中 ，a1a2a3 = 5，a7a8a9 = 10，則a4a5a6 = ( )三、等比數(shù)列的判定與證明【例28】. 已知Sn 是數(shù)列an 的前n 項(xiàng)和，且Sn =

58、2an + n - 4.(1) 求a 1 的值；(2) 若bn = an - 1，試證明數(shù)列bn 為等比數(shù)列【跟蹤訓(xùn)練28.1】. 已知各項(xiàng)均不為0 的數(shù)列an 中，a 1，a2，a3 成等差數(shù)列，a2，a3，a4 成等比數(shù)列，a3，a4，a5 的倒數(shù)成等差數(shù)列，證明：a1，a3，a5 成等比數(shù)列1. 在等比數(shù)列an 中，若a1 0，且a2a4 + 2a3a5 + a4a6 = 36，求a3 + a5 的值；(2) 若數(shù)列an 的前三項(xiàng)和為168，a2 - a5 = 42，求a5，a7 的等比中項(xiàng)第36頁 共 124 頁11. 設(shè)an 是首項(xiàng)為a1，公差為-1 的等差數(shù)列，Sn 為其前n 項(xiàng)和

59、若S1，S2，S4 成等比數(shù)列，則a1等于 ( )A. 2 B. - 2 C. 12D. - 1212. 等比數(shù)列an 是遞減數(shù)列，前n 項(xiàng)的積為Tn，若T13 = 4T9，則a8a15 等于 ( )A. 2 B. 4 C. 2 D. 413. 在等比數(shù)列an 中，若a7 = -2，則此數(shù)列的前13 項(xiàng)之積等于14. 已知等比數(shù)列an 滿足a2a5 = 2a 3，且a4，53，且a4，54為，2a7 成等差數(shù)列，則a1a2a3 a n 的最大值n 的最大值15. 在等比數(shù)列an 中，若a7a11 = 6，a4 + a14 = 5，則a20 a10=16. 設(shè)關(guān)于x 的二次方程anx2 - an

60、+1x + 1 = 0(n = 1,2,3，) 有兩根 和，且滿足6 - 2 + 6 = 3.(1) 試用an 表示an+1；(2) 求證：an - 23(3) 當(dāng)a 時(shí)，求數(shù)列an 的通項(xiàng)公式1 = 76第37頁 共 124 頁4.3.2.1 等比數(shù)列前n 項(xiàng)和公式知識(shí)點(diǎn)一等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式已知量 首項(xiàng)、公比與項(xiàng)數(shù) 首項(xiàng)、公比與末項(xiàng)求和公式Sn =a1 1 - q n n 1 - q q 1 ，na1 q = 1 Sn =a1 - a nqnq 1 - q q 1 ，na1 q = 1 知識(shí)點(diǎn)二等比數(shù)列前n 項(xiàng)和的性質(zhì)1數(shù)列an 為公比不為-1 的等比數(shù)列( 或公比為-1，且n 不是偶