矩陣的初等變換

1、2-5 矩陣的初等變換初等變換初等矩陣1 本節(jié)先討論矩陣的初等變換，建立矩陣的秩的概念,并提出求秩的有效方法再利用矩陣的秩反過來研究齊次線性方程組有非零解的充分必要條件和非齊次線性方程組有解的充分必要條件，并介紹用初等變換解線性方程組的方法內(nèi)容豐富，難度較大. 2引例一、消元法解線性方程組求解線性方程組分析：用消元法解下列方程組的過程3解4用“回代”的方法求出解：5于是解得（2）6小結：1上述解方程組的方法稱為消元法 2始終把方程組看作一個整體變形，用到如下三種變換（1）交換方程次序；（2）以不等于的數(shù)乘某個方程；（3）一個方程加上另一個方程的k倍（與相互替換）（以替換）（以替換）73上述三種

2、變換都是可逆的由于三種變換都是可逆的，所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的故這三種變換是同解變換8因為在上述變換過程中，僅僅只對方程組的系數(shù)和常數(shù)進行運算，未知量并未參與運算若記則對方程組的變換完全可以轉換為對矩陣B(方程組（1）的增廣矩陣）的變換9定義1下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:二、矩陣的初等變換10定義2 矩陣的初等列變換與初等行變換統(tǒng)稱為初等變換 初等變換的逆變換仍為初等變換, 且變換類型相同 同理可定義矩陣的初等列變換(所用記號是把“r”換成“c”)逆變換逆變換逆變換11等價關系的性質：具有上述三條性質的關系稱為等價例如，兩個線性方程組同解，就稱這兩個線性方程組等價12用

3、矩陣的初等行變換 解方程組（1）：13141516特點：（1）、可劃出一條階梯線，線的下方全為零；（2）、每個臺階 只有一行，臺階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個元素為非零元，即非零行的第一個非零元17注意：行最簡形矩陣是由方程組唯一確定的，行階梯形矩陣的行數(shù)也是由方程組唯一確定的 行最簡形矩陣再經(jīng)過初等列變換，可化成標準形18例如，19特點： 所有與矩陣 等價的矩陣組成的一個集合，稱為一個等價類，標準形 是這個等價類中最簡單的矩陣.20定義 由單位矩陣 經(jīng)過一次初等變換得到的方陣稱為初等矩陣.三種初等變換對應著三種初等方陣. 矩陣的初等變換是矩陣的一種基本運算，應用廣泛.三、初等

4、矩陣的概念212223242526272829 定理1 設 是一個 矩陣，對 施行一次初等行變換，相當于在 的左邊乘以相應的 階初等矩陣；對 施行一次初等列變換，相當于在 的右邊乘以相應的 階初等矩陣.四、初等矩陣的應用初等變換初等矩陣初等逆變換初等逆矩陣3031 定理2 設A為可逆方陣，則存在有限個初等方陣證即32利用初等變換求逆陣的方法：33 解例3435即初等行變換36例解373839列變換列變換40解例3414243五、小結1. 單位矩陣 初等矩陣.一次初等變換2. 利用初等變換求逆陣的步驟是:44思考題145思考題解答解可以看成是由3階單位矩陣 經(jīng)4次初等變換,而得.而這4次初等變換所對應的初等方陣為:46由初等方陣的性質得47五、小結3.初等行(列)變換初等變換的逆變換仍為初等變換,