高中物理選擇性必修3精講精煉6排列與組合綜合運用（精講教師含解析）

1、6.2.3 排列與組合的綜合運用(精講)思維導圖常見考法考點一 排隊型【例1】(2021江西省銅鼓中學)某學習小組有個男生和個女生共人：(1)將此人排成一排，男女彼此相間的排法有多少種(2)將此人排成一排，男生甲不站最左邊，男生乙不站最右邊的排法有多少種(3)從中選出名男生和名女生分別承擔種不同的任務，有多少種選派方法(4)現(xiàn)有個座位連成一排，僅安排個女生就座，恰有兩個空位相鄰的不同坐法共有多少種【答案】(1)144；(2)3720；(3)432；(4)480.【解析】(1)根據(jù)題意，分2步進行分析：，將3個男生全排列，有A33種排法，排好后有4個空位，將4名女生全排列，安排到4個空位中，有A

2、44種排法，則一共有種排法；(2)根據(jù)題意，分2種情況討論：，男生甲在最右邊，有A66720，男生甲不站最左邊也不在最右邊，有A51A51A553000，則有720+30003720種排法；(3)根據(jù)題意，分2步進行分析：，在3名男生中選取2名男生，4名女生中選取2名女生，有C32C42種選取方法，將選出的4人全排列，承擔4種不同的任務，有A44種情況，則有種不同的安排方法；(4)根據(jù)題意，7個座位連成一排，僅安排4個女生就座，還有3個空座位，分2步進行分析：，將4名女生全排列，有A44種情況，排好后有5個空位，將3個空座位分成2、1的2組，在5個空位中任選2個，安排2組空座位，有A52種情況

3、，則有種排法【一隅三反】1(2021全國專題練習)為了紀念高中三年舍友之間留下的深厚情感，某宿舍的7位同學決定站成一排合照留念，其中中間位置只能站甲或乙，且甲、乙、丙三人不站在兩側，則不同的安排方法有( ).A232種B464種C288種D576種【答案】D【解析】依題意，分三步進行：(1)先為中間位置選人，從甲乙中選，有種選法，(2)為甲、乙、丙中剩余的兩個人選位置，不占兩側，去掉中間位置，還有4個位置可選，故有種排法，(3)剩余的同學進行全排列，有種排法，故利用乘法原理即得，不同的安排方法有種.故選：D.2(2021重慶市南坪中學校)(多選)、五個人并排站在一起，則下列說法正確的有( )A

4、若、兩人站在一起有48種方法B若、不相鄰共有12種方法C若在左邊有60種排法D若不站在最左邊，不站最右邊，有72種方法【答案】AC【解析】對于A，先將A,B排列，再看成一個元素，和剩余的3人，一共4個元素進行全排列，由分步原理可知共有種，所以A正確；對于B，先將A,B之外的3人全排列，產(chǎn)生4個空，再將A,B兩元素插空，所以共有種，所以B不正確；對于C，5人全排列，而其中A在B的左邊和A在B的右邊是等可能的，所以A在B的左邊的排法有種，所以C正確；對于D，對A分兩種情況：一是若A站在最右邊，則剩下的4人全排列有種，另一個是A不在最左邊也不在最右邊，則A從中間的3個位置中任選1個，然后B從除最右邊

5、的3個位置中任選1個，最后剩下3人全排列即可，由分類加法原理可知共有種，所以D不正確，故選：AC3(2021全國高二專題練習)新冠疫情防控期間，某中學安排甲乙，丙等7人負責某個周一至周日的師生體溫情況統(tǒng)計工作，每天安排一人，且每人負責一天.若甲乙、丙三人中任意兩人都不能安排在相鄰的兩天，且甲安排在乙，丙之間，則不同的安排方法有_種(用數(shù)字作答).【答案】480【解析】選將甲乙丙之外的四人進行排列，共有種方法，再用甲乙丙插空，甲在中間，有種方法，故共有.故答案為：4804(2021陜西渭南 )生活中人們常用“通五經(jīng)貫六藝”形容一個人才識技藝過人，這里的“五經(jīng)”是儒家典籍周易、尚書、詩經(jīng)、禮記、春

6、秋的合稱為弘揚中國傳統(tǒng)文化，某校在周末興趣活動中開展了“五經(jīng)”知識講座，每經(jīng)排1節(jié)，連排5節(jié)，則滿足詩經(jīng)必須排在后2節(jié)，周易和禮記必須分開安排的情形共有_【答案】28【解析】當詩經(jīng)位于第5節(jié)時，周易和禮記相鄰有3種情形，且周易和禮記排序有種，剩下的排序也有種，因此滿足條件的情形有種；當詩經(jīng)位于第4節(jié)時，周易和禮記相鄰有2種情形，周易和禮記排序有種，剩下的排序也有種，此時滿足條件的情形有種所以滿足條件的情形共有種故答案為：28考點二 數(shù)字型【例2】(2021海南)(多選)從，中任取三個不同的數(shù)組成一個三位數(shù)，則在所有組成的數(shù)中( )A奇數(shù)有個B包含數(shù)字的數(shù)有個C個位和百位數(shù)字之和為的數(shù)有個D能被

7、整除的數(shù)有個【答案】AD【解析】對于A，先從，中任取一個數(shù)放在個位，再任取兩個數(shù)放在十位和百位，一共有個，故正確；對于B，先從以外的數(shù)中任取個，對個數(shù)全排列，一共有個，故錯誤；對于C，個位和百位的數(shù)可以是，順序可以交換，再從剩下的數(shù)中任選一個放在十位上，所以一共有個，故錯誤；對于D，要使組成的數(shù)能被整除，則各位數(shù)之和為的倍數(shù)，取出的數(shù)有，共種情況，所以組成的能被整除的數(shù)有個，故正確故選：AD.【一隅三反】1(2021浙江)用0，1，2，3，4，5組成無重復數(shù)字的六位偶數(shù)，若有且僅有2個奇數(shù)相鄰，則這樣的六位數(shù)共有( )A192個B216個C276個D324個【答案】A【解析】這6個數(shù)字中，偶數(shù)

8、有0，2，4，奇數(shù)有1，3，5.要使所組成的六位數(shù)為偶數(shù)，且有且僅有2個奇數(shù)相鄰，先將0可能出現(xiàn)在首位也考慮進去.這樣共有個，再減去0在首位的個數(shù)，當0在首位，且有且僅有2個奇數(shù)相鄰，末位也是偶數(shù)的，共有個.所以滿足題意的6位數(shù)共有個.故選：A.2(2021浙江模擬預測)若從這個9個整數(shù)中取出4個不同的數(shù)排成一排，依次記為，則使得為偶數(shù)的不同排列方法有( )A1224B1200C1080D840【答案】A【解析】為偶數(shù)，則為偶數(shù)，有；為奇數(shù)，則為奇數(shù)，四個數(shù)均為奇數(shù)，有.故共有1224種故選：A.3(2021全國)從1，2，3，4，5這五個數(shù)字中任取3個組成無重復數(shù)字的三位數(shù)，當三個數(shù)字中有2

9、和3時，2需排在3的前面(不一定相鄰)，這樣的三位數(shù)有( )A51個B54個C12個D45個【答案】A【解析】由題意分類討論：(1)當這個三位數(shù)，數(shù)字2和3都有，再從1，4，5中選一個，因為2需排在3的前面，這樣的三位數(shù)有(個).(2)當這個三位數(shù)，2和3只有一個，需從1，4，5中選兩個數(shù)字，這樣的三位數(shù)有(個).(3)當這個三位數(shù)，2和3都沒有，由1，4，5組成三位數(shù)，這樣的三位數(shù)有(個)由分類加法計數(shù)原理得共有(個)故選：A4(2021全國高三專題練習)從這9個數(shù)字中，選取4個數(shù)字，組成含有1對重復數(shù)字的五位數(shù)的種數(shù)有( )A30240B60480C15120D630【答案】A【解析】在這

10、9個數(shù)字中選取4個數(shù)字，共有種，在4個數(shù)字中取1個數(shù)字出現(xiàn)兩遍，共有種，在五位數(shù)中取兩個位置放置重復數(shù)字，共有種，剩下三個數(shù)字共有種排列方式，故共有，故選：A.考點三 分組分配型【例3】(2021全國高二課時練習)按下列要求分配6本不同的書,各有多少種不同的分配方式?(1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;(2)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;(3)平均分成三份,每份2本;(4)平均分配給甲、乙、丙三人,每人2本;(5)分成三份,1份4本,另外兩份每份1本;(6)甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外兩人每人得1本;(7)甲得1本,乙得1本,丙得4本.【答案】(1)60

11、；(2)360；(3)15；(4)90；(5)15；(6)90；(7)30【解析】(1)無序不均勻分組問題.先選本有種選法;再從余下的本中選本有種選法;最后余下的本全選有種選法.故共有 (種)選法.(2)有序不均勻分組問題.由于甲、乙、丙是不同三人,在題的基礎上,還應考慮再分配,共有.(3)無序均勻分組問題.先分三步,則應是種選法,但是這里出現(xiàn)了重復.不妨記六本書為,若第一步取了,第二步取了,第三步取了,記該種分法為(,),則種分法中還有(,),(,),(,),(,),(,),共有種情況,而這種情況僅是,的順序不同,因此只能作為一種分法,故分配方式有.(4)有序均勻分組問題.在題的基礎上再分配

12、給個人,共有分配方式 (種).(5)無序部分均勻分組問題.共有 (種)分法.(6)有序部分均勻分組問題.在題的基礎上再分配給個人,共有分配方式 (種).(7)直接分配問題.甲選本有種選法,乙從余下本中選本有種選法,余下本留給丙有種選法,共有 (種)選法.【一隅三反】1(2021江蘇南京市中華中學高三開學考試)2名老師和4名學生共6人參加兩項不同的活動，每人參加一項活動，每項活動至少有2人參加，但2名老師不能參加同一項活動，則不同的參加方式的種數(shù)為( )A20B28C40D50【答案】B【解析】分兩步：(1)安排2名老師：共種不同的參加方式；(2)安排4名學生：又分兩類： 參加兩項活動的學生人數(shù)

13、為一項3人，一項1人：共種不同的參加方式； 參加兩項活動的學生人數(shù)各2人：共種不同的參加方式.所以，共有種不同的參加方式.故選：B.2(2021江蘇南通模擬預測)在新型冠狀病毒肺炎疫情聯(lián)防聯(lián)控期間，某居委會從轄區(qū)內(nèi)甲乙丙三個小區(qū)中選取6人做志愿者，協(xié)助防控和宣傳工作.若每個小區(qū)至少選取1人做志愿者，則不同的選取方法有( )A10種B20種C540種D1080種【答案】C【解析】當6個人分為2，2，2三小組，分別來自3個小區(qū)，共有種，當6個人分為4，1，1三小組時，分別來自3個小區(qū)，共有種，當6個人分為3，2，1三小組時，分別來自3個小區(qū)，共有種，綜上，本題的選法共有，故選：C.3(2021江蘇

14、無錫市第一中學 )如圖，宋人撲棗圖軸是作于宋朝的中國古畫，現(xiàn)收藏于中國臺北故宮博物館有甲、乙、丙三人想根據(jù)該圖編排一個舞蹈，首先由他們來選取該圖中小孩撲棗的爬、扶、撿、頂、搖中的五個動作，每人至少模仿一個動作，且爬、扶、撿、頂、搖都要被依序模仿到，則選擇的方案共有( )A60種B90種C100種D150種【答案】D【解析】根據(jù)題意，分2步進行：第一步：將5個動作分為3組，若其中一組有3個動作，其他兩組各1個動作，有種分法；若其中一組有1個動作，其他兩組各有2個動作，有種分法，所以，將5個動作分成3組共有種分法；第二步：將分好的三組交給甲、乙、丙三人進行模仿，有種情況，則有種選擇的方案.故選：D

15、.4(2021浙江模擬預測)某重點中學安排甲、乙在內(nèi)的5名骨干教師到3所鄉(xiāng)鎮(zhèn)學校開展支教幫扶活動，每所學校至少安排一名教師，每個教師也只能去一所學校，若甲、乙2名教師不去同一所學校，則不同的安排方法有_種【答案】114【解析】不考慮條件“甲、乙2名教師不去同一所學校”，則不同的安排方法有(種)若甲、乙2名教師去同一所學校，則不同的安排方法有(種)，所以滿足題意的安排方法有(種)故答案為：114.考點四 涂色型【例4】(2021陜西金臺)如圖，節(jié)日花壇中有5個區(qū)域，現(xiàn)有四種不同顏色的花卉可供選擇，要求相同顏色的花不能相鄰栽種，則符合條件的種植方案有( )種A36B48C54D72【答案】D【解析

16、】由題意，如圖，假設5個區(qū)域為分別為1、2、3、4、5，分2種情況討論：當選用3種顏色花卉的時，2、4同色且3、5同色，共有涂色方法種，當4種不同顏色的花卉全選時，即2、4或3、5用同一種顏色，共有種，則不同的種植方法共有種；故選：D.【一隅三反】1(2021廣東深圳 )現(xiàn)有5種不同顏色要對如圖所示的五個部分進行著色，要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有( )A420種B780種C540種D480種【答案】B【解析】依題意可知，完成涂色任務可以使用5種，4種，或3種顏色，將區(qū)域標號如圖.若用5種顏色完成涂色，則種方法；若用4種顏色完成涂色，顏色有種選法，需要2，4同色，或

17、者3，5同色，或者1，3同色，或者1，4同色，故有種；若用3種顏色完成涂色，顏色有種選法，需要2，4同色且3，5同色，或者1，4同色且3，5同色，或者1，3同色且 2，4同色，故有種.所以不同的著色方法共有種.故選：B.2(2021天津濱海新)如圖，現(xiàn)要用四種不同的顏色，對四邊形中的四個區(qū)域進行著色，要求有公共邊的兩個區(qū)域不能用同一種顏色，則不同的著色方法數(shù)為( )ABCD【答案】A【解析】將四個區(qū)域標記為，如下圖所示：第一步涂：種涂法，第二步涂：種涂法，第三步涂：種涂法，第四步涂：種涂法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，一共有種著色方法，故選：A.3(2021全國(理)現(xiàn)有5種不同顏色的染料，要對

18、如圖中的四個不同區(qū)域進行著色，要求有公共邊的兩塊區(qū)域不能使用同一種顏色，則不同的著色方法的種數(shù)是A120B140C240D260【答案】D【解析】由題意，先涂A處，有5種涂法，再涂B處4種涂法，第三步涂C，若C與A同，則D有四種涂法，若C與A不同，則D有三種涂法，由此得不同的著色方案有54(14+33)=260種，故選D.4(2021吉林汪清縣汪清第四中學)如圖，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有( )種.A24B48C72D96【答案】C【解析】首先涂區(qū)域有種，其次區(qū)域有種，再次區(qū)域有種，若區(qū)域與區(qū)域同色有種，則區(qū)

19、域有種，若區(qū)域與區(qū)域不同色有種，則區(qū)域有種，所以不同的著色方法共有，故選：C.5(2021上海市金山中學高二期末)用五種不同顏色給三棱柱的六個頂點涂色，要求每個頂點涂一種顏色，且每條棱的兩個頂點涂不同顏色，則不同的涂法有( )A種B種C種D種【答案】D【解析】分以下幾種情況討論：若種顏色全用上，先涂、三點，有種，然后在、三點中選擇兩點涂另外兩種顏色，有種，最后一個點有種選擇，此時共有種；若用種顏色染色，由種選擇方法，先涂、三點，有種，然后在、三點中需選擇一點涂最后一種顏色，有種，不妨設涂最后一種顏色的為點，若點與點同色，則點只有一種顏色可選，若點與點同色，則點有兩種顏色可選，此時共有種；若用種

20、顏色染色，則有種選擇方法，先涂、三點，有種，點有種顏色可選，則、的顏色只有一種選擇，此時共有.由分類加法計數(shù)原理可知，共有種涂色方法.故選：D.考點五 小球型【例5】(2021福建省泰寧第一中學高二期中)現(xiàn)有4個不同的球，和4個不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi)(1)共有多少種不同的方法？(2)若每個盒子不空，共有多少種不同的方法？(3)若恰有一個盒子不放球，共有多少種放法？(4)若恰有兩個盒子不放球，共有多少種放法？【答案】(1)256 (2)24 (3)144 (4)84【解析】(1)將4個不同的球放入4個不同的盒子，則共有44=256種不同的放法，(2)將4個不同的球放入4個不同的盒子，若沒個

21、盒子不空，則共有=24種不同的放法，(3)將4個不同的球放入4個不同的盒子，恰有一個盒子不放球，則共有=144種不同的放法，(4)將4個不同的球放入4個不同的盒子，恰有兩個盒子不放球，則共有()=84種不同的放法，【一隅三反】1(2021山東省濰坊第四中學)(多選)已知甲袋中有5個大小相同的球，4個紅球，1個黑球；乙袋中有6個大小相同的球，4個紅球，2個黑球，則( )A從甲袋中隨機摸出一個球是紅球的概率為B從乙袋中隨機摸出一個球是黑球的概率為C從甲袋中隨機摸出2個球，則2個球都是紅球的概率為D從甲、乙袋中各隨機模出1個球，則這2個球是一紅球一黑球的概率為【答案】ACD【解析】對選項A，從甲袋中

22、隨機摸一個球是紅球的概率為，故A對；對選項B，從乙袋中隨機摸一個球是黑球的概率為，故B錯；對選項C，從甲袋中隨機摸2個球，則2個球都是紅球的概率，故C對；對選項D，從甲、乙袋中各隨機摸出1個球，則這2個球是一紅球一黑球的概率；故選：ACD.2(2021江蘇常州市西夏墅中學 )(多選)現(xiàn)有4個小球和4個小盒子，下面的結論正確的是( )A若4個不同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，則共有24種放法B若4個相同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，且恰有兩個空盒的放法共有18種C若4個不同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，且恰有一個空盒的放法共有144種D若編號為1，2，3，4的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，沒有一個空盒但小球的編號和盒子的編號全不相同的放法共有9種【答案】BCD【解析】對于A，若4個不同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，共有種放法，故A錯誤；對于B，若4個相同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，且恰有兩個空盒，則一個盒子放3個小球，另一個盒子放1個小