2022年《高等數(shù)學(xué)二》期末復(fù)習(xí)題及答案-

1、高等數(shù)學(xué)（二）期末復(fù)習(xí)題一、挑選題1、如向量 b 與向量a2 ,12平行,且滿意ab18,就 b（）代表的圖形為 （A）4,24（B） 2,4,4 （C） 4,2,4 （D） 4,4, 2 .2、在空間直角坐標(biāo)系中,方程組x2y 2z0z1（A）直線 B 拋物線（ C）圓 D圓柱面22 a 所圍成,就 I3、設(shè)Ix2y dxdy,其中區(qū)域D由x2yD2 a 2 4 2 a 2 4A0 d 0 a rdr a B 0 d 0 a adr 2 a C 0 2d 0 ar dr 2 23 aD 30 2d 0 ar rdr 2 12 a 44、 設(shè) L 為：x ,1 0 y 32 的弧段,就 Lds

2、（）（A）9B 6 （C）3D 325、級(jí)數(shù) 1 n 1的斂散性為（）n 1 n（ A） 發(fā)散 B 條件收斂 C 肯定收斂 D 斂散性不確定n6、二重積分定義式D f x , y d lim0 i 1 f i , i i 中的 代表的是（）（A）小區(qū)間的長(zhǎng)度 B 小區(qū)域的面積 C 小區(qū)域的半徑 D 以上結(jié)果都不對(duì)1 1 x7、設(shè) f x , y 為連續(xù)函數(shù),就二次積分0 d x 0 f x , y d y 等于 1 1 x 1 1 y（A）0 d y 0 f x , y d x B 0 d y 0 f x , y d x1 x 1 1 1C0 d y 0 f x , y d x D 0 d y

3、 0 f x , y d x2 28、方程 2z x y 表示的二次曲面是 （A）拋物面（B）柱面（C）圓錐面（D） 橢球面1 / 19 9、二元函數(shù) z f x , y 在點(diǎn) x 0y 0 可微是其在該點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在的（）.（ A） 必要條件（B） 充分條件（C） 充要條件（D） 無(wú)關(guān)條件10、設(shè)平面曲線 L 為下半圓周 y 1 x 2, 就曲線積分 Lx 2y 2 ds A 0 B 2 C D 411、如級(jí)數(shù) a 收斂,就以下結(jié)論錯(cuò)誤選項(xiàng)（）n 1A 2 a收斂 B a n 2 收斂 C a收斂 D 3 a n 收斂n 1 n 1 n 100 n 112、 二重積分 的值與（）（A）函數(shù) f

4、 及變量 x,y 有關(guān)； B 區(qū)域 D及變量 x,y 無(wú)關(guān)；（C）函數(shù) f 及區(qū)域 D有關(guān)； D 函數(shù) f 無(wú)關(guān),區(qū)域D有關(guān)；11y 213、 已知a/b且a 1 , 2 ,1 ,bx, 4 ,2 ,就 x= （A） - 2 （B）2（C） -3 （D）3 14、在空間直角坐標(biāo)系中,方程組2 zx212 y代表的圖形為 y（A）拋物線 B 雙曲線（C）圓 D 直線15、設(shè)zarctanxy ,就z = （y）A2 secxy B11y 2（C）1x1y2 D1xy 2xx16、二重積分1dy1fx,ydx交換積分次序?yàn)?0y2（A）1dx0 xfx ,ydy B y2dx1fx,ydy000

5、C 1dx1fx ,ydy D 1dxx 2fx,ydy0000）17、如已知級(jí)數(shù)un收斂,S 是它的前 n 項(xiàng)之和,就此級(jí)數(shù)的和是（n1（A）S Bu Clim nS nDlim nun18、 設(shè) L 為圓周：x2y216,就曲線積分IL2xyds的值為（）2 / 19 （A）1 B 2 （C） 1 D 019、設(shè)直線方程為 x y z,就該直線必 0 1 2（A）過(guò)原點(diǎn)且 x 軸（ B）過(guò)原點(diǎn)且 y 軸（C）過(guò)原點(diǎn)且 z 軸（ D）過(guò)原點(diǎn)且 / x 軸20、平面 2 x y z 6 0 與直線 x 2 y 3 z 4的交點(diǎn)坐標(biāo)為（）1 1 2A （1, 1,2） B（2,3, 4）（C）（

6、1,2, 2）D （2,1,1）21、考慮二元函數(shù)的下面 4 條性質(zhì)： f x y 在點(diǎn) x 0 , y 0 處連續(xù)； f x y 在點(diǎn) x 0 , y 0 處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)； f x y 在點(diǎn) x 0 , y 0 處可微； f x y 在點(diǎn) x 0 , y 0 處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在 . 如用“P Q ” 表示可由性質(zhì) P推出性質(zhì) Q ,就有（）（A） B C D 22、以下級(jí)數(shù)中肯定收斂的級(jí)數(shù)是 A 1 n 1 B tan 12 C 1 n n2 1 D ln1 1 n 1 n 1 n 1 n n 1 2 n 3 n 1 n23、設(shè) z x sin y,就 z（）y 1 ,4（ A）2（B）

7、2 （C）2 （D）22 224、設(shè) a 為常數(shù),就級(jí)數(shù) 1 n 1 cos a（）n 1 nA 發(fā)散 B 條件收斂 C 肯定收斂 D 收斂性與 a 的取值有關(guān)25、設(shè)常數(shù) k 0,就級(jí)數(shù) 1 n k2 n（）n 1 nA 發(fā)散 B 條件收斂 C 肯定收斂 D 斂散性與 k 的取值有關(guān)26、0 1dx x 1e y 2dy A e 1 B e 1 C e 1 D e 12 2 2 2二、填空題3 / 19 1、lim x 01xy1abxyy02、二元函數(shù)zsin2x3 y ,就zx3、積分Iex 2y2d的值為x 2y244、如a,b為相互垂直的單位向量,就5、交換積分次序1dxx2f ,

8、x y dy00fx ,y dy6、級(jí)數(shù)n111的和是n 23n7、lim x 024xyxyy08、二元函數(shù)zsin2x3 y ,就zy9、設(shè)fx ,y連續(xù),交換積分次序1dxx0 x210、設(shè)曲線 L：x2y22 a ,就2sinx3 cos x dsL11、 如級(jí)數(shù)n1un1 收斂,就 lim nunsinyds的值為12、 如f xy xyx22 y 就f x y13、lim x 011xyxyy014、 已知ab且a 1 1, , 3 ,b 0 ,x,1 ,就 x=15、設(shè)zlnx3y3,就dz 1,116、設(shè)fx,y連續(xù),交換積分次序1dyyfx ,y dx0y217、級(jí)數(shù)unS,

9、就級(jí)數(shù)unun1的和是n1n118、 設(shè) L 為圓周：x2y2R2,就曲線積分ILx4 / 19 2 219、 , lim 0,0 1 x cos2y x2 e x y 2 y2 20、已知 a i j b k , 就a b21、lim sin xy xy a 0 x22、已知向量 a 、 b 滿意 a b 0,a 2,就 a b23、設(shè) L 為連接 1, 0 與 0,1 兩點(diǎn)的直線段,就 Lx y ds2 224、 x y lim 0,0 2 x2 yx y 1 125、a 3,b 4, a 與 b 的夾角是,就 a b226、已知三角形的頂點(diǎn) A ,1,1 1 , B ,1,2 0 , C

10、 ,0 ,0 2 , 就 ABC 的面積等于27、點(diǎn) M 1 2 3, 1, 到點(diǎn) M 2 2 , 7 , 4 的距離 M 1M 228、如 a 3 i j 2 k ,b i 2 j k , 就 a bxy 1 129、lim xy 0 0 xy =30、函數(shù) f x y x 2 y 3 x 1 e xy, 求 f x 1, 3三、解答題1、（此題滿分12 分）求曲面zz e2xy3在點(diǎn) 1,2,0 處的切平面方程；x2、（此題滿分12 分）運(yùn)算二重積分eydxdy,其中 D 由 y 軸及開(kāi)口向右的拋物線Dy2x 和直線y1圍成的平面區(qū)域；3y42 z的全微分 du ；在點(diǎn)（ 0, 0）的兩個(gè)

11、3、（此題滿分12 分）求函數(shù)uln2x4、（此題滿分12 分）證明：函數(shù)f , x yx2 x y2, x y0,04y0 , x y0,05 / 19 偏導(dǎo)數(shù)存在,但函數(shù)f , x y 在點(diǎn)（ 0,0）處不連續(xù)；2y24 ；5、（此題滿分10 分）用比較法判別級(jí)數(shù)n12n1n的斂散性；n6、（此題滿分12 分）求球面x2y2z214在點(diǎn) 1,2,3 處的法線方程；7、（此題滿分12 分）運(yùn)算Ix2y2dxdy,其中Dx,y1xD8、（此題滿分12 分）力Fx,y x的作用下,質(zhì)點(diǎn)從0,0,0 點(diǎn)沿Lxt移至y2tzt21,2,1 點(diǎn),求力 F 所做的功 W ；9、（此題滿分12 分）運(yùn)算函

12、數(shù)uxsinyz 的全微分；x2y2110、（此題滿分10 分）求級(jí)數(shù)n111的和；n n11、（此題滿分12 分）求球面x2y2z214在點(diǎn) 1,2,3 處的切平面方程；12、（此題滿分12 分）設(shè)zln（x2xyy2）, 求xzyz；xy13、（此題滿分12 分）求D1x2y2d d x y ,其中 D 是由 yx ,y0,在第一象限內(nèi)所圍成的區(qū)域；x0移動(dòng)到點(diǎn) 0,1,1,求在此過(guò)程中,14、（此題滿分12 分）一質(zhì)點(diǎn)沿曲線yt從點(diǎn) 0,0,0zt2z100平 行 , 且 與 直 線力F14 xijyk所作的功 W ；15、（此題滿分10 分）判別級(jí)數(shù)n1nsin1的斂散性；n16、（此

13、題滿分20 分）求 一 條 過(guò) 點(diǎn)A 1,0,4與 一 平 面:3x4yL:x11y13z相交的直線方程. 26 / 19 17、（此題滿分20 分）221上的點(diǎn) M ,使直線L:x26y13z1在過(guò) M 點(diǎn)的切平求橢球面x22y23 z2面上 . 18、（此題滿分12 分）運(yùn)算二重積分Ixyd d x y；z 、z .19、（此題滿分xy112 分）已知yzzxxy1,確定的zzx,y ,求 dz；20、（此題滿分xy12 分）設(shè)zfx ,y是由方程ezez2e所確定的隱函數(shù),求21、（此題滿分10 分）運(yùn)算二次積分1dyycos2 x dx2dy1cos2 x dx . 0y1yb. 22

14、22、（此題滿分10 分） 運(yùn)算函數(shù)z2 esinxy的全微分 . 10 分）運(yùn)算二重積分D12yd其中 D：0 x1,0y1 . 23、（此題滿分x24、（此題滿分10 分）已知向量a 11,1, ,bi2j4 k,求 ab和a25、（此題滿分10 分）求曲面 xxyxyz9在點(diǎn) , , 12 3 處的切平面方程.高等數(shù)學(xué)（二）期末復(fù)習(xí)題答案一、挑選題1、 A解：利用平行向量對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)成比例,設(shè)4t2b2 ,t,2 ,又因a b182,1,2 2 ,t,2 4tt9tt2b 4, 2, 42、 C解：將z1代入x2y2z0得到xy21,此時(shí)圖形為圓；3、 D解：用極坐標(biāo)運(yùn)算便利,IDx22

15、y dxdy2da2 r rdr21a41 2a4090044、 A解：利用曲線積分的性質(zhì),就L6 ds6Lds6 327 / 19 5、B 解：由萊布尼茲判別法可得到級(jí)數(shù)11n1收斂,但n1 1n1n11nnnn發(fā)散,所以n11n1是條件收斂；nn6、D 解：二重積分定義式Dfx y dlim0i1fi,ii中的是分割細(xì)度,代表的是 n 個(gè)小閉區(qū)域直徑中的最大值；7、B 解：畫出積分區(qū)域,確定每個(gè)變量的上下限,交換積分次序以后,得1dx1xf x, y dy1dy1yf x, y dxn1an200008、A 解：2zx22 y 在三維空間里表示的是拋物面；9、B 解：zfx ,y在點(diǎn)x0y

16、0可微肯定能推出偏導(dǎo)數(shù)存在,所以是充分條件；10、 C 解：利用曲線積分的性質(zhì),就沿著下半圓周y1x2的曲線積分Lx2y2dsL1 ds12211、B 解：如級(jí)數(shù)an收斂,由收斂的性質(zhì)A,C,D 三個(gè)選項(xiàng)依舊是收斂的,而n1未必收斂,或者排除法挑選B；12、C 解：二重積分 母表達(dá)沒(méi)關(guān)系 ；的值與函數(shù)有關(guān),與積分區(qū)域有關(guān),而與積分變量的字13、 B解：利用平行向量對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)成比例,a,1,21 ,bx, 4 ,2 ,就 x=214、 B 解：將y1代入z2x22 y 得到2 zx21代表的圖形為雙曲線；15、 B 解：對(duì) y 求偏導(dǎo)時(shí), x 看作常數(shù),zarctanxy,就z = y11y2x

17、16、 A 解：畫出積分區(qū)域,確定每個(gè)變量的上下限,交換積分次序以后,得1dy1f x, y dx1dx0 xf x, y dyn0y20n1unlim S n17、 C解：利用級(jí)數(shù)收斂的定義可得8 / 19 18、 D 解：利用曲線積分的性質(zhì),被積函數(shù)關(guān)于IL2xyds0 x 是奇函數(shù) ,由對(duì)稱性,可得就曲線積分19、 A 解：直線方程為 x y z,就原點(diǎn)坐標(biāo) 0,0,0 滿意方程,該直線必過(guò)原點(diǎn),直線0 1 2的方向向量為 0,1, 2 ,x 軸的方向向量為 1,0,0 ,又由于 0,1,2 1,0,0 0 ,所以直線過(guò)原點(diǎn)且 x 軸；20、 C 解：將直線方程寫成參數(shù)式,代入平面方程求

18、交點(diǎn)坐標(biāo),或者代入法驗(yàn)證也可；x12y13z24tx2tt代入 2xyz60得t1交點(diǎn)坐標(biāo)為y3tz42（1,2,2）21、 A 解：熟識(shí)二元函數(shù)的概念之間的聯(lián)系,偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)a可微連續(xù)；或者偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)可微偏導(dǎo)數(shù)存在22、 B 解：tan11n1tan1肯定收斂；n2n2n2zxcosy , 代入點(diǎn)的坐標(biāo)23、 B 解：對(duì)y 求偏導(dǎo)時(shí),x 看作常數(shù),zxsinyyz2肯定收斂；y1,4224、 C解：1cosaa22級(jí)數(shù)n1 1n1cosn2nn25、 B 解： 1nkn2n 1nk 1n1級(jí)數(shù)n1 nkn2n條件收斂n2n126、 C 解：交換積分次序后運(yùn)算簡(jiǎn)潔1dx1ey2dy1dyyey2

19、dx1ey2ydy11ey2dy21ey211e10 x00000222二、填空題1、2 解：第一步分母有理化,其次步分母利用平方差公式,第三步分子分母約去公因子,第四步利用連續(xù)性求解極限；9 / 19 lim x 01xy1lim x 0 1xy 1xy11lim x 0 xy 1xy11lim x 01xy12xy1 1xy1xyxyy0y0y0y02、 2cos2x3 y 解：對(duì) x 求偏導(dǎo)時(shí), y 看作常數(shù),zsin2x3 z2cos2x3 x3、4 e1 解：用極坐標(biāo)求解簡(jiǎn)潔Ix2y 24ex2y 2d2d2r e2rdr212r 2e dr2er22e41000024、0 解：兩個(gè)

20、向量垂直,就點(diǎn)積為0a b05、11yf x y dx解：畫出積分域,再確定積分限0dy1dxx2fx y dy1dy1yf x y dx0006、3 2解：n111111111113322nn 322237、1解：第一步分子有理化,其次步分子利用平方差公式,第三步分子分母約去公因4子,第四步利用連續(xù)性求解極限；lim x 024xylim x 024xy24xylim x 0 xy4244xyxyxyxy24xyy0y0y0lim x021xy1440 y08、 3cos2x3 y 解：對(duì) y 求偏導(dǎo)時(shí), x 看作常數(shù),zsin2x3 z3cos2x3 y9、1 0 dyyyfx,y dx解

21、：畫出積分域,再確定積分限1dxxfx y dy1 0 dyyyfx,y dx0 x210、 0 解：利用曲線積分的性質(zhì),奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)域上的積分為10 / 19 2sinx3 cos x ds0L11、 -1解：un1 收斂lim nun1 0lim nun1n112、 xy解：設(shè)xyu xyvx2y2uvf u v , uvf , x yxy13、1解：第一步分子有理化,其次步分子利用平方差公式,第三步分子分母約去公因子,2第四步利用連續(xù)性求解極限；lim x 011xylim x 011xy11xylim x 01111xyxy1sinyds0 xy11xyxyxyy0y0y0lim x

22、 011xy112y014、 3 解：兩個(gè)向量垂直,就點(diǎn)積為0a b0 x30 x315、3dx3dy 解：考查全微分的概念,先求兩個(gè)偏導(dǎo),求全微分,再代入定點(diǎn)22zlnx3y3zxx3x23,z yx3y23又由于dzz dxz dy3y3ydz1,13dx3dy2216、1dxxxfx,ydy解：畫出積分域,再確定積分限01dyyfx y dx1dxxxfx,y dy0y2017、2Su 解：unSun1Su1u nun12Sun1n1n1x18、0 解：利用曲線積分的性質(zhì),奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)域上的積分為0,就IL19、 0 解：此題用到了連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),等價(jià)無(wú)窮小的替代,limx y 0,0

23、1xcosx2ey2limx y 0,01cosx2ey2x y lim 0,01cosx22y22y2x y 2 2x2y20 x2y11 / 19 , x y lim 0,01 x 222 xy220 x41,此線段y220、ij 解：此題用到向量積的求解方法ijkaij bk , 就ab110ij00121、 a 解：lim x 0y asinxylim x 0y asinxyy1aaxxy22、4解：ab0ba ,又a2,a babcos23、2 解： L 為連接 1, 0 與 0,1兩點(diǎn)的直線段,此線段的方程是y的長(zhǎng)度是2 ,Lxy dsL1 ds224、 2 解：第一步分母有理化,

24、其次步分母利用平方差公式,第三步分子分母約去公因子,第四步利用連續(xù)性求解極限；x y lim 0,0 x2x2y2y21x y lim 0,0 xx2y2y2x2y2111211x2y211 , x y lim 0,0 x2y2x2y211x y , lim 0,0 x2y2112x2y21 1112425、12解：利用向量積的模的求解方法aba bsin2326、3解：利用向量積的模的幾何意義,三角形的面積S1ABAC22ijkABAC1011, 4, 1113S1ABAC12 12 42 1183 232222227、 5 解：利用兩點(diǎn)間的距離公式M M222272 342 1422 35

25、12 / 19 28、 3 解：利用點(diǎn)積公式 a b 3, 1, 2 1,2, 1 3 2 2 329、1 解：第一步分子有理化,其次步分子利用平方差公式,第三步分子分母約去公因子,2第四步利用連續(xù)性求解極限；lim x 0y 0 xy11= lim x 0y 0 xy11xy111= lim xy0 0 xyxy111代 入 點(diǎn) 的 坐 標(biāo)xyxy1xy1xylim x 0y 0 xyxy11lim x 0y 0 xy1111xy2xy30、3 e 解：對(duì) x 求偏導(dǎo)時(shí), y 看作常數(shù),求完偏導(dǎo)以后代入已知點(diǎn)的坐標(biāo)fx yx2y3x1exyfxx y2 x y3exyx1y exf1,32

26、1 33e311 3e3e3三、解答題1、（此題滿分12 分）ezF2xy31ez解：設(shè)F , x y z , z就Fx2y,Fy2x,Fz對(duì)應(yīng)的切平面法向量nx,Fy,Fz1,2,0代入（ 1,2,0）可得法向量： （4,2,0）就切平面方程：4x12y20z00或 2xy402、（ 此題滿分 12 分）解 ：Dx11 0dyy2xy e dxdyy e dx0y2xdyyey001 yeyy dy013 / 19 yeyeyy21201 2 3、（ 此題滿分 12 分）解：由于u2x24z2,u2x34z2,u2x8z4z2x3yy3yz3y所以duudxu ydyudz34z2dy2x8

27、z4z2dzxz2dudx2x2x4z23y3y3y4、（ 此題滿分 12 分）解：fx0,0 lim x 0f00 x , 0 f 0 , 0 lim x 0000 xxyf0,同理所以函數(shù)在（ 0,0）點(diǎn)兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在；y limkx 2x 0fx,y lim x 0 xx2kx241k24k2xklimx 0y 0fx ,y 不存在因此函數(shù)在（ 0,0）點(diǎn)不連續(xù)5、（ 此題滿分 10 分）解：n1nnn1n,2n2n2而n11n 是收斂的等比級(jí)數(shù)2原級(jí)數(shù)收斂6、（此題滿分12 分）22y2z2z14z解：設(shè)F , x y z , x就Fx2x,Fyy,F214 / 19 對(duì)應(yīng)的法向量nF

28、x,Fy,Fz1,2,3代入 1,2,3 可得法向量： （2,4, 6）就法線方程：x1y2z33127、（此題滿分12 分）d解：I2d220121424115 2 8、（ 此題滿分 12 分）WL FdsxdzLxdxydy1 0tdt4tdt2t2dt1 02t23 t dt5 69、（ 此題滿分 12 分）uxsin yz ,uyxz cos yzuzxy cos yzduu dxu dyu dzxycosyz dzsinyz dxxzcosyz dy10、（此題滿分 10 分）解：111n11n nn15 / 19 1 1 1S n .1 2 2 3 n n 11 1 1 1 11

29、. 2 2 3 n n 111n 11lim n S n lim1 n n 1 11所以級(jí)數(shù) 的和為 1n 1 n n 111、（此題滿分 12 分）解：設(shè) F , x y z , x 2y 2z 214就 F x 2 x,F y 2 y,F z 2 z對(duì)應(yīng)的切平面法向量 n F x , F y , F z 1,2,3代入 1,2,3 可得法向量： （2,4, 6）就切平面方程：2x14y26z3y202, 0161,或x2y3z14012、（此題滿分12 分）x2y解：由于z xx22xyy2；zxyyx2xy所以xzyz2x2xxyxy2y22xy2xyy213、（此題滿分12 分）, 0

30、4解：令x ycos,就Dsin4d11x2y2dxdy所以1d00D16 / 19 14、（此題滿分 12 分）WLL Fdsydydz14 x dx1 0t2 t dt10tdt 1 2 15、（此題滿分 10 分）解：設(shè)unnsin1110n于是lim nu nlim nsinn1n故un發(fā)散；n 116、（此題滿分20 分）3, 4,1垂直,即,xt1解：直線 L 的參數(shù)方程為yt3z2 t所求直線的方向向量為s , t t3, 2t4與平面的法向量n3 t4 t32t40得t16s16,19, 28所求直線為x1yz4161928n2x 0,4y 0,6z 017、（此題滿分20 分）解：設(shè)點(diǎn)M x 0,y 0,z 0為所求的點(diǎn),就橢球面在