關(guān)于數(shù)學(xué)教育工作者的思考

1、關(guān)于數(shù)學(xué)教育工作者的思考作為數(shù)學(xué)教育工作者，特別是小學(xué)數(shù)學(xué)教師，通常會(huì)認(rèn)為，像“數(shù)學(xué)哲學(xué)”、“數(shù)學(xué)觀”這一類話題，離我們的實(shí)際工作太遠(yuǎn).甚至有老師直接說(shuō)，“我不知道什么是數(shù)學(xué)觀，我也不知道我的數(shù)學(xué)觀是什么，但我?guī)缀蹩梢钥隙?，這些東西與我的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)工作沒(méi)有任何關(guān)系”.絕大部分小學(xué)數(shù)學(xué)教師會(huì)認(rèn)為數(shù)學(xué)觀的問(wèn)題，是一個(gè)“玄之又玄”的問(wèn)題小學(xué)數(shù)學(xué)教師數(shù)學(xué)觀的問(wèn)題果真是一個(gè)很“玄”的問(wèn)題嗎？ 以下幾段話轉(zhuǎn)引自英國(guó)學(xué)者歐內(nèi)斯特（Paul Ernest）的數(shù)學(xué)教育哲學(xué) 事實(shí)上，無(wú)論人們的意愿如何，一切數(shù)學(xué)教學(xué)法根本上都出于某一數(shù)學(xué)哲學(xué)，即便是很不規(guī)范的教學(xué)法也如此.（Thorn）本文轉(zhuǎn)自： 因此，問(wèn)題并不

2、在于教學(xué)的最好方式是什么，而在于數(shù)學(xué)到底是什么.如果不正視數(shù)學(xué)的本質(zhì)問(wèn)題，便解決不了關(guān)于教學(xué)上的爭(zhēng)議.（Hersh） 教師專業(yè)數(shù)學(xué)思想的形成與他們表達(dá)數(shù)學(xué)內(nèi)容的典型方式存在著一致性，這有力地說(shuō)明了教學(xué)的數(shù)學(xué)觀，數(shù)學(xué)信仰和愛(ài)好的確影響著他們的教學(xué)活動(dòng).（Thompson） 這些是專業(yè)學(xué)者研究得到的理論成果.但數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)觀到底是如何影響他們的數(shù)學(xué)教學(xué)工作的呢？以下是兩個(gè)例子. 案例1：這是網(wǎng)上一段關(guān)于如何評(píng)價(jià)一道題的解法的討論.本文轉(zhuǎn)自： A老師：一本故事書有88頁(yè)，小明看了一個(gè)星期后還剩4頁(yè)，小明平均每天看了多少頁(yè)？ 887=12（頁(yè)）4（頁(yè)） 答：小明平均每天看了12頁(yè). 這種解法正確嗎？

3、 B老師：個(gè)人感覺(jué)算式不對(duì) A老師：有老師指出，他已經(jīng)把答案算出來(lái)了，是合理的. C老師：（88-4）7. A老師：“（88-4）7”這個(gè)做法無(wú)疑是對(duì)的，那個(gè)直接除以7的辦法呢？ B老師：答案是對(duì)的，算理不通吧. D老師：還可以用方程解. A老師：嗯，解法很多，我們?nèi)绾卧u(píng)價(jià)“887=12（頁(yè)）4（頁(yè)）”這種解法呢？ B老師：我不贊成用這種方式解答題目，習(xí)慣學(xué)生列出算式一定要說(shuō)出理由. E老師：這里是余下的頁(yè)數(shù)比7小，正好是4頁(yè)，如果是比7大或者是其他的余數(shù)，用直接除以7的方法就不合理了. A老師：列出算式一定要有理由，那有沒(méi)有老師能替這種做法找一個(gè)理由呢？ C老師：我覺(jué)得應(yīng)該不對(duì)，題目改一下，

4、100頁(yè)看7天還剩4頁(yè)呢？ B老師：我認(rèn)為不行，也找不到理由. A老師：是否允許學(xué)生這樣思考：反正88頁(yè)，分7天看，還剩一些，我試著用887，結(jié)果等于12，恰好余4頁(yè)，符合題意，因此我認(rèn)為我這樣也算解決這個(gè)問(wèn)題了. E老師：上面老師的做法屬于巧合，或者說(shuō)班上會(huì)有學(xué)生用結(jié)果去推理. B老師：個(gè)例，巧合. E老師：我想應(yīng)該是某種特例，可以嘗試讓學(xué)生這樣想，但再次舉例或者說(shuō)是改數(shù)據(jù)的時(shí)候會(huì)發(fā)現(xiàn)行不通，學(xué)生會(huì)自己放棄這種想法，再根據(jù)數(shù)量關(guān)系來(lái)列式. C老師：這樣的話，學(xué)生有可能不會(huì)一開(kāi)始就做對(duì)，但是也許可以在錯(cuò)誤中發(fā)現(xiàn)“剩下的4頁(yè)”這條信息的重要性. F老師：我認(rèn)為可以，887=12（頁(yè)）4（頁(yè)），假

5、設(shè)學(xué)生是湊巧解決對(duì)了這個(gè)問(wèn)題，如果題中信息不是剩4頁(yè)，也可以從上面這個(gè)算式進(jìn)行調(diào)整.只要孩子真正明白了這個(gè)算式所表達(dá)的意義，他們是能夠調(diào)整出符合題意的答案的.如，不是剩4頁(yè)，而是剩11頁(yè)，孩子就會(huì)從上式中思考：每天看12頁(yè)，只剩4頁(yè)，那么每天只能看11頁(yè)，這樣才會(huì)有11頁(yè)沒(méi)看完. B老師：呵呵，誰(shuí)做的，誰(shuí)能說(shuō)出理由就是對(duì)的，否則就不是想出來(lái)的，而是蒙的. G老師：教學(xué)中，老師應(yīng)該不急著讓學(xué)生下手，而是引導(dǎo)學(xué)生先思考7天看了多少頁(yè)，再求平均每天看了多少頁(yè). 以上討論的，是我們?nèi)粘＝虒W(xué)中常常遇到的問(wèn)題，而參與討論的老師的觀點(diǎn)，就是其數(shù)學(xué)觀在具體問(wèn)題上的表現(xiàn). 英國(guó)學(xué)者歐內(nèi)斯特將教師的數(shù)學(xué)觀分為三類

6、：?jiǎn)栴}解決的觀點(diǎn)、柏拉圖主義的觀點(diǎn)和工具主義的觀點(diǎn). 從上面的討論看，B老師、E老師所執(zhí)的基本上為柏拉圖主義數(shù)學(xué)觀.執(zhí)這種數(shù)學(xué)觀的人認(rèn)為數(shù)學(xué)是一個(gè)靜態(tài)的學(xué)科.它通過(guò)邏輯將知識(shí)組織成一個(gè)彼此聯(lián)系的結(jié)構(gòu).任何數(shù)學(xué)結(jié)論都是通過(guò)一步步的有理有據(jù)的推理來(lái)獲得結(jié)論.具體到這個(gè)問(wèn)題上，B、E兩位老師都認(rèn)為學(xué)生的這種解法是不正確的，其依據(jù)就在于這種列式“沒(méi)有理由”、“算理不通”，7天讀的不是88頁(yè)，因此就不能用88除以7.有研究表明，小學(xué)數(shù)學(xué)教師對(duì)柏拉圖主義數(shù)學(xué)觀的傾向性高于問(wèn)題解決和工具主義數(shù)學(xué)觀（見(jiàn)郜舒竹數(shù)學(xué)教學(xué)基礎(chǔ)第19頁(yè)，教育科學(xué)出版社）.執(zhí)柏拉圖主義數(shù)學(xué)觀的教師通常高度認(rèn)同如下觀點(diǎn)：“計(jì)算教學(xué)要特別

7、重視算理的理解”“數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)經(jīng)常問(wèn)為什么這樣的問(wèn)題”“數(shù)學(xué)教師要特別重視解題方法的教學(xué)”“數(shù)學(xué)教學(xué)要特別注重提示知識(shí)點(diǎn)問(wèn)的聯(lián)系”“數(shù)學(xué)課堂上教師的語(yǔ)言應(yīng)該簡(jiǎn)單、科學(xué)和準(zhǔn)確”. 而F老師的觀點(diǎn)“我認(rèn)為可以，887=12（頁(yè)）4（頁(yè)），假設(shè)學(xué)生是湊巧解決對(duì)了這個(gè)問(wèn)題，如果題中信息不是剩4頁(yè)，也可以從上面這個(gè)算式進(jìn)行調(diào)整.只要孩子真正明白了這個(gè)算式所表達(dá)的意義，他們是能夠調(diào)整出符合題意的答案的.如，不是剩4頁(yè)，而是剩11頁(yè)，孩子就會(huì)從上式中思考：每天看12頁(yè)，只剩4頁(yè)，那么每天只能看11頁(yè)，這樣才會(huì)有11頁(yè)沒(méi)看完”則明顯更傾向于問(wèn)題解決的數(shù)學(xué)觀.執(zhí)這種數(shù)學(xué)觀的人認(rèn)為數(shù)學(xué)是一個(gè)動(dòng)態(tài)的、由問(wèn)題

8、而推動(dòng)發(fā)展的學(xué)科.數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的過(guò)程中充滿了探索，數(shù)學(xué)知識(shí)生成的過(guò)程中也會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤，數(shù)學(xué)的結(jié)果隨時(shí)有待去修正. 案例2：某論壇關(guān)于一個(gè)問(wèn)題的價(jià)值的不同觀點(diǎn). 問(wèn)題：一個(gè)西瓜切四刀，最多切成多少塊？謝謝幫助！ 對(duì)于這一問(wèn)題的價(jià)值，有以下兩種觀點(diǎn). 觀點(diǎn)一：大家覺(jué)得這道題有意義嗎？如果真的給你一個(gè)西瓜，讓你切四刀，能切出這么步的塊數(shù)嗎？不符合實(shí)際啊.這個(gè)答案只是我們理論上的結(jié)果吧！大家說(shuō)呢？本人覺(jué)得，如果要知道是不是切出14塊，可以拿一個(gè)西瓜切一切，看能切多少塊.（我的觀點(diǎn)不是針對(duì)樓主和各位，只是覺(jué)得當(dāng)時(shí)想出這道題目的人到底有沒(méi)有切西瓜的經(jīng)歷） 觀點(diǎn)二：盡管拿一個(gè)西瓜來(lái)，切四刀的確可以切出14塊.

9、（事實(shí)上可以切出15塊，只是不會(huì)每塊都帶皮）這道題的意義應(yīng)該不是用來(lái)指導(dǎo)如何切西瓜.我的意思是討論這道題有沒(méi)有意義，不應(yīng)該看研究這個(gè)問(wèn)題對(duì)切西瓜有沒(méi)有指導(dǎo)意義（西瓜切得好的標(biāo)準(zhǔn)有很多，絕不只是所用刀數(shù)越少，切的塊數(shù)越多越好）.切西瓜是我們熟悉的所謂“問(wèn)題情境”，這個(gè)情境背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)是平面劃分空間問(wèn)題.具體到這里是四個(gè)平面最多可以把空間分成多少份的問(wèn)題.這是一個(gè)很有教育價(jià)值的問(wèn)題，它引導(dǎo)我們經(jīng)歷觀察猜測(cè)、驗(yàn)證的過(guò)程，也引導(dǎo)我們經(jīng)歷直線到平面再到空間的推廣過(guò)程. 執(zhí)以上兩種不同觀點(diǎn)的教師，其教學(xué)顯然會(huì)有不同的風(fēng)格及價(jià)值追求.而以上兩種觀點(diǎn)，歸根結(jié)底是數(shù)學(xué)觀的不同，數(shù)學(xué)自產(chǎn)生之日起，就存在著兩種不同數(shù)學(xué)觀的對(duì)峙.一種認(rèn)為數(shù)學(xué)是解決實(shí)際問(wèn)題的知識(shí)，以古代巴比倫、埃及和中國(guó)為代表.另一種是把數(shù)學(xué)看成是訓(xùn)練人的心智的工具，以古希臘為代表. 以上兩個(gè)案例表明，小學(xué)數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)觀問(wèn)題并非一個(gè)“玄之又玄”的問(wèn)題，而是一個(gè)影響小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐的問(wèn)題.數(shù)學(xué)觀的問(wèn)題，不能簡(jiǎn)單地