線性代數(shù)矩陣初等變換

1、關(guān)于線性代數(shù)矩陣的初等變換第一張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月課本2.5 矩陣的初等變換一、矩陣的初等變換二、矩陣的等價關(guān)系三、初等矩陣四、初等變換法求逆矩陣與矩陣方程第二張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月矩陣的初等變換 矩陣的初等變換是矩陣的一種十分重要的運(yùn)算，它起源于解線性方程組的消元法。 利用初等變換，可以將矩陣A化為形狀簡單的矩陣B，通過形狀簡單的B來探討A的性質(zhì)。在求逆陣及矩陣?yán)碚摰奶接懙妊芯恐卸计鹬匾淖饔?。第三張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月一、矩陣的初等變換下列三種變換稱為矩陣的初等行變換：定義1第四張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月下列三

2、種變換稱為矩陣的初等行變換：定義1一、矩陣的初等變換第五張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月下列三種變換稱為矩陣的初等行變換：定義1一、矩陣的初等變換第六張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月同理可定義矩陣的初等列變換(所用記號是把“r”換成“c”)矩陣的初等行變換和矩陣的初等列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換一、矩陣的初等變換第七張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月注意 矩陣的初等變換的逆變換仍是初等變換，且 逆變換和原變換是同一類型的初等變換.第八張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月二、矩陣的等價關(guān)系或A B 第九張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月二、矩陣的等價關(guān)系

3、滿足下列條件的矩陣稱為行階梯形矩陣，例如矩陣B:(1) 元素全為零的行 (若有的話)位于矩陣的下方;(2) 各非零行的首非零元（從左至右的一個不為零的元素）的列標(biāo)隨著行標(biāo)的增大而嚴(yán)格增大.第十張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月二、矩陣的等價關(guān)系滿足下列條件的行階梯形矩陣稱為行最簡形矩陣,例如矩陣C ：(1) 各非零行的首非零元都是1；(2) 每個首非零元1 所在列的其余元素都是零.第十一張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月二、矩陣的等價關(guān)系矩陣D稱為原矩陣A的標(biāo)準(zhǔn)形，具有的特點(diǎn)是：D的左上角是一個單位矩陣，其余元素全是0.第十二張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月二、矩陣的

4、等價關(guān)系 滿足下列條件的矩陣稱為行階梯形矩陣:(1) 元素全為零的行 (若有的話)位于矩陣的下方;(2) 各非零行的首非零元（從左至右的一個不為零的元素）的列標(biāo)隨著行標(biāo)的增大而嚴(yán)格增大.是不是是糾正第十三張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月二、矩陣的等價關(guān)系注意：可以存在r=0或m=n=r的情況矩陣D稱為原矩陣A的標(biāo)準(zhǔn)形，具有的特點(diǎn)是：D的左上角是一個單位矩陣，其余元素全是0.第十四張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月二、矩陣的等價關(guān)系第十五張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月定義3 對單位矩陣E 進(jìn)行一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣.三種初等變換對應(yīng)三種初等矩陣.三、初等

5、矩陣1、 交換兩行(列) 2、 以非零數(shù)k 乘某一行(列)中的所有元素 3、 把某一行(列)的 l 倍加到另一行(列)上去 第十六張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月三、初等矩陣第十七張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月三、初等矩陣第十八張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月三、初等矩陣第十九張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月初等矩陣的性質(zhì)|A|0初等矩陣均可逆，初等矩陣的逆也是初等矩陣。|E|=1,利用行列式的性質(zhì)。第二十張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月三、初等矩陣第二十一張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月三、初等矩陣第二十二張，PPT共三十九頁，創(chuàng)

6、作于2022年6月三、初等矩陣第二十三張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月定理2(初等矩陣在矩陣乘法中的作用 ) 設(shè)A是一個mn矩陣 對A施行一次初等行變換 相當(dāng)于相應(yīng)的 m階初等矩陣左乘A r1r2 補(bǔ)例 設(shè) 則有第二十四張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月定理2(初等矩陣在矩陣乘法中的作用 ) 設(shè)A是一個mn矩陣 對A施行一次初等行變換 相當(dāng)于相應(yīng)的 m階初等矩陣左乘A 對A施行一次初等列變換 相當(dāng)于相應(yīng)的 n 階初等矩陣右乘Ac1c2 補(bǔ)例 設(shè) 則有第二十五張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月定理2(初等矩陣在矩陣乘法中的作用 ) 設(shè)A是一個mn矩陣 對A施行一次初等行

7、變換 相當(dāng)于相應(yīng)的 m階初等矩陣左乘A 對A施行一次初等列變換 相當(dāng)于相應(yīng)的 n 階初等矩陣右乘Ac1+10c3 補(bǔ)例 設(shè) ，則有第二十六張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月四、初等變換法求逆矩陣與矩陣方程定理3(矩陣可逆的充要條件) n階方陣A可逆的充要條件是A可以表示為若干初等矩陣的乘積。證明：充分性：初等矩陣可逆，如果將 A表示為初等矩陣的乘積，則因為有限個同階可逆矩陣的乘積是可逆矩陣（p45），故n階方陣A可逆。必要性：設(shè)矩陣A可逆，則由推論1可知，矩陣A經(jīng)過有限次初等變換可以化為單位矩陣E，再由定理2可知存在初等矩陣P1,P2， Ps，Q1,Q2， Qt，使得P1P2 Ps A

8、 Q1Q2 Qt= E.所以A= Ps-1 Ps-1-1 P1-1 E Qt-1 Qt-1-1 Q1-1= Ps-1 Ps-1-1 P1-1 Qt-1 Qt-1-1 Q1-1.定理2(初等矩陣在矩陣乘法中的作用 ) 設(shè)A是一個mn矩陣 對A施行一次初等行變換 相當(dāng)于相應(yīng)的 m階初等矩陣左乘A 對A施行一次初等列變換 相當(dāng)于相應(yīng)的 n 階初等矩陣右乘AA可以表示為若干初等矩陣的乘積。證畢第二十七張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月定理3(矩陣可逆的充要條件) n階方陣A可逆的充要條件是A可以表示為若干初等矩陣的乘積。若A可逆，則A-1也可逆，則由定理3可知，A-1 = G1G2 Gk， （

9、式1），即A-1 = G1G2 GkE （式2）式1左右兩邊右乘矩陣A,得A-1 A = G1G2 Gk A， E = G1G2 Gk A， （式3）式3表示對A施以若干次初等行變換可化為E；式2表示對E施以與式3相同的若干次初等行變換可化為A-1 。兩式合起來為G1G2 Gk (A E)2n(E A1) 2n四、初等變換法求逆矩陣與矩陣方程初等行變換n階方陣A可逆第二十八張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月四、初等變換法求逆矩陣與矩陣方程若A可逆，則可以使用初等變換法求A-1第二十九張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月 解例4第三十張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月第三十一張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月例5*四、初等變換法求逆矩陣與矩陣方程本例為用初等行變換求矩陣多項式的逆陣，只需在求解過程中將矩陣多項式看成一個整體即可. 第三十二張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月四、初等變換法求逆矩陣與矩陣方程第三十三張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月初等變換法求解矩陣方程:前提A可逆！四、初等變換法求逆矩陣與矩陣方程第三十四張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月例6解第