線性代數(shù)和解析幾何矩陣

1、關(guān)于線性代數(shù)與解析幾何矩陣第一張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月2.1 矩陣與矩陣的運(yùn)算一、矩陣概念的引入二、矩陣的定義三、特殊的矩陣四、矩陣的運(yùn)算第二張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月其中 表示有航班始發(fā)地ABCD目的地 A B C D例 某航空公司在 A、B、C、D 四座城市之間開辟了若干航線，四座城市之間的航班圖如圖所示，箭頭從始發(fā)地指向目的地.BACD城市間的航班圖情況常用表格來表示:一、矩陣概念的引入第三張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月為了便于計(jì)算，把表中的改成1，空白地方填上0，就得到一個(gè)數(shù)表：ABCD A B C D這個(gè)數(shù)表反映了四個(gè)城市之間交通聯(lián)

2、接的情況.第四張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月其中aij 表示工廠向第 i 家商店發(fā)送第 j 種貨物的數(shù)量 例 某工廠生產(chǎn)四種貨物，它向三家商店發(fā)送的貨物數(shù)量可用數(shù)表表示為：這四種貨物的單價(jià)及單件重量也可列成數(shù)表： 其中bi 1 表示第 i 種貨物的單價(jià)，bi 2 表示第 i 種貨物的單件重量 第五張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月數(shù)域定義：對(duì)于一個(gè)至少含有0，1的復(fù)數(shù)集合的子集合F，如 果其中任意兩個(gè)數(shù)的和、差、積、商（除數(shù)不為0） 仍在F中，那么F稱為一個(gè)數(shù)域 所有的有理數(shù)、實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)都分別形成一個(gè)數(shù)域（有理數(shù)域、實(shí)數(shù)域、復(fù)數(shù)域），分別記為所有的奇數(shù)（偶數(shù)）都不能構(gòu)成

3、數(shù)域.第六張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月構(gòu)成一個(gè)數(shù)域. 通常用 表示這個(gè)數(shù)域.例 集合證 顯然 包含0,1并且對(duì)于加減法是封閉的. 另外因?yàn)閍,b,c,d都是有理數(shù)，所以ac+2bd,ad+bc也是有理數(shù).從而說明對(duì)乘法也是封閉的. 設(shè) ，則知對(duì)除法也封閉.第七張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月 由 mn 個(gè)數(shù) 排成的 m 行 n 列的數(shù)表稱為 m 行 n 列矩陣，簡(jiǎn)稱 mn 矩陣 記作 二、矩陣的定義（定義在數(shù)域F上）第八張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月簡(jiǎn)記為元素是實(shí)數(shù)的矩陣稱為實(shí)矩陣，元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣.這 mn 個(gè)數(shù)稱為矩陣A的元素，簡(jiǎn)稱為元.

4、第九張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月行數(shù)不一定等于列數(shù)共有mn個(gè)元素本質(zhì)上就是一個(gè)數(shù)表行數(shù)等于列數(shù)共有n2個(gè)元素矩陣行列式第十張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月同型矩陣與矩陣相等的概念 兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)相等時(shí)，稱為同型矩陣.例如為同型矩陣. 兩個(gè)矩陣 與 為同型矩陣，并且對(duì)應(yīng)元素相等，即則稱矩陣 A 與 B 相等，記作 A = B .第十一張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月注意：不同型的零矩陣是不相等的.例如 第十二張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月只有一行的矩陣 稱為行矩陣(或行向量) .只有一列的矩陣 稱為列矩陣(或列向量) .2. 元素全

5、是零的矩陣稱為零距陣可記作 O .例如： 三、特殊的矩陣第十三張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月3. 行數(shù)與列數(shù)都等于 n 的矩陣，稱為 n 階方陣可記作 . 稱 為方陣的主對(duì)角線元素，所有主對(duì)角線 元素的和稱為方陣的跡，記為第十四張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月形如 的方陣稱為對(duì)角陣特別的，方陣 稱為單位矩陣記作記作 第十五張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月定義 設(shè) ，稱 是A的負(fù)矩陣，其中第十六張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月例 某工廠生產(chǎn)四種貨物，它在上半年和下半年向三家商店發(fā)送貨物的數(shù)量可用數(shù)表表示：試求：工廠在一年內(nèi)向各商店發(fā)送貨物的數(shù)量

6、其中aij 表示上半年工廠向第 i 家商店發(fā)送第 j 種貨物的數(shù)量其中cij 表示工廠下半年向第 i 家商店發(fā)送第 j 種貨物的數(shù)量第十七張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月解：工廠在一年內(nèi)向各商店發(fā)送貨物的數(shù)量第十八張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月1、矩陣的加法定義：設(shè)有兩個(gè) mn 矩陣 A = (aij)，B = (bij) ，那么矩陣 A 與 B 的和記作 AB，規(guī)定為說明：只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能進(jìn)行加法運(yùn)算.第十九張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月知識(shí)點(diǎn)比較第二十張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月交換律結(jié)合律其他矩陣加法的運(yùn)算規(guī)律設(shè) A

7、、B、C 是同型矩陣設(shè)矩陣 A = (aij) ，記A = (aij)（A 的負(fù)矩陣）顯然第二十一張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月設(shè)工廠向某家商店發(fā)送四種貨物各 l 件，試求：工廠向該商店發(fā)送第 j 種貨物的總值及總重量例（續(xù)）該廠所生產(chǎn)的貨物的單價(jià)及單件重量可列成數(shù)表：其中bi 1 表示第 i 種貨物的單價(jià)，bi 2 表示第 i 種貨物的單件重量 第二十二張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月解：工廠向該商店發(fā)送第 j 種貨物的總值及總重量其中bi 1 表示第 i 種貨物的單價(jià)，bi 2 表示第 i 種貨物的單件重量 第二十三張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月2、

8、數(shù)與矩陣相乘定義：數(shù) k是復(fù)數(shù)域中的一個(gè)數(shù)，它與矩陣 A 的乘積記作 k A 或 A k ，規(guī)定為第二十四張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月結(jié)合律分配律備注數(shù)乘矩陣的運(yùn)算規(guī)律設(shè) A、B是同型矩陣，l , m 是數(shù)矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來，統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算.第二十五張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月知識(shí)點(diǎn)比較第二十六張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月其中aij 表示工廠向第 i 家商店發(fā)送第 j 種貨物的數(shù)量 例（續(xù)） 某工廠生產(chǎn)四種貨物，它向三家商店發(fā)送的貨物數(shù)量可用數(shù)表表示為：這四種貨物的單價(jià)及單件重量也可列成數(shù)表： 其中bi 1 表示第 i 種貨物的單價(jià)，

9、bi 2 表示第 i 種貨物的單件重量 試求：工廠向三家商店所發(fā)貨物的總值及總重量 第二十七張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月解：以 ci1， ci2 分別表示工廠向第 i 家商店所發(fā)貨物的總值及總重量，其中 i = 1, 2, 3于是其中aij 表示工廠向第 i 家商店發(fā)送第 j 種貨物的數(shù)量 其中bi 1 表示第 i 種貨物的單價(jià)，bi 2 表示第 i 種貨物的單件重量 第二十八張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月可用矩陣表示為一般地，第二十九張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月4、矩陣與矩陣相乘定義：設(shè) ， ，那么規(guī)定矩陣 A 與矩陣 B 的乘積是一個(gè) mn 矩

10、陣 ，其中并把此乘積記作 C = AB 第三十張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月例：設(shè)則第三十一張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月知識(shí)點(diǎn)比較有意義.沒有意義.只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘.第三十二張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月例 P.34例1.2 結(jié)論：矩陣乘法不一定滿足交換律.矩陣 ，卻有 ，從而不能由 得出 或 的結(jié)論第三十三張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律(1) 乘法結(jié)合律 證明？ (3) 乘法對(duì)加法的分配律(2) 數(shù)乘和乘法的結(jié)合律 （其中 l 是數(shù)）(4) 單位矩陣在矩陣乘法中的作用類似

11、于數(shù)1，即矩陣乘法不一定滿足交換律!第三十四張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月(5) 設(shè)A是一個(gè)n階方陣，f(x),g(x)為復(fù)系數(shù)的多項(xiàng)式，則矩陣A的多項(xiàng)式f(A)和g(A)的乘法滿足交換律,即 f(A)g(A)= g(A)f(A).第三十五張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月例：如果AB=BA,我們就稱矩陣A，B可交換. 證明和對(duì)角矩陣可交換的只能是對(duì)角矩陣. 其中證 設(shè)矩陣B可以和A可交換. 其中第三十六張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月則第三十七張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月即依次比較兩邊矩陣的第一行，第二行，.,可以得到故結(jié)論成立第三十八張，

12、PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月(5) 矩陣的冪 若 A 是 n 階方陣，定義顯然 , 定義思考：下列等式在什么時(shí)候成立？A、B可交換時(shí)成立第三十九張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月5、矩陣的轉(zhuǎn)置定義：把矩陣 A 的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做 的轉(zhuǎn)置矩陣，記作AT .例第四十張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算性質(zhì)第四十一張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月例：已知解法1第四十二張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月解法2第四十三張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月定義：設(shè) A 為 n 階方陣，如果滿足 ，即那么 A 稱為對(duì)

13、稱陣.如果滿足 A = AT，那么 A 稱為反對(duì)稱陣. 對(duì)稱陣 反對(duì)稱陣 第四十四張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月例：設(shè)列矩陣 X = ( x1, x2, , xn )T 滿足 X T X = 1，E 為 n 階單位陣，H = E2XXT，試證明 H 是對(duì)稱陣，且 HHT = E.證明：從而 H 是對(duì)稱陣 第四十五張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月6、共軛矩陣當(dāng) 為復(fù)矩陣時(shí)，用 表示 的共軛復(fù)數(shù)，記， 稱為 的共軛矩陣. 顯然 ，復(fù)矩陣A是實(shí)矩陣當(dāng)且僅當(dāng) . 第四十六張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月例第四十七張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月（設(shè)A，

14、B 為復(fù)矩陣，l 為復(fù)數(shù)，且運(yùn)算都是可行的）：性質(zhì)第四十八張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月作業(yè)習(xí)題二1(3)(4)，5, 7, 11第四十九張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月2.2 矩陣的分塊第五十張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月前言由于某些條件的限制，我們經(jīng)常會(huì)遇到大型文件無法上傳的情況，如何解決這個(gè)問題呢?這時(shí)我們可以借助WINRAR把文件分塊，依次上傳.家具的拆卸與裝配問題一：什么是矩陣分塊法？問題二：為什么提出矩陣分塊法？第五十一張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月問題一：什么是矩陣分塊法？定義：用一些水平線和垂直線將矩陣分成若干個(gè)小塊，這種操

15、作稱為對(duì)矩陣進(jìn)行分塊；每一個(gè)小塊稱為矩陣的子塊；矩陣分塊后，以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣.這是2階方陣嗎？第五十二張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月例分塊矩陣第五十三張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月把 矩陣A用水平線和垂直線分割成若干個(gè)小矩陣.如下圖第五十四張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月問題二：為什么提出矩陣分塊法？答：對(duì)于行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣 A，運(yùn)算時(shí)采用分塊法，可以使大矩陣的運(yùn)算化成小矩陣的運(yùn)算，體現(xiàn)了化整為零的思想.第五十五張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月分塊矩陣的加法第五十六張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月若矩陣A

16、、B是同型矩陣，且采用相同的分塊法，即則有形式上看成是普通矩陣的加法！第五十七張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月分塊矩陣的數(shù)乘第五十八張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月若l 是數(shù)，且 則有形式上看成是普通的數(shù)乘運(yùn)算！第五十九張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月分塊矩陣的乘法一般地，設(shè) A為ml 矩陣，B為l n矩陣 ，把 A、B 分塊如下：第六十張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月分塊矩陣的轉(zhuǎn)置若 ，則例如：分塊矩陣不僅形式上進(jìn)行轉(zhuǎn)置，而且每一個(gè)子塊也進(jìn)行轉(zhuǎn)置第六十一張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月分塊對(duì)角矩陣（補(bǔ)充）定義：設(shè) A 是 n 階矩陣

17、，若 A 的分塊矩陣只有在對(duì)角線上有非零子塊，其余子塊都為零矩陣，對(duì)角線上的子塊都是方陣，那么稱 A 為分塊對(duì)角矩陣?yán)纾旱诹垼琍PT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月方陣的行列式定義：由 n 階方陣的元素所構(gòu)成的行列式，叫做方陣 A 的行列式，記作|A|或detA.運(yùn)算性質(zhì)第六十三張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月證明：要使得 |AB| = |A| |B| 有意義，A、B 必為同階方陣，假設(shè) A = (aij)nn，B = (bij)nn .我們以 n= 3 為例，構(gòu)造一個(gè)6階行列式第六十四張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月第六十五張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于20

18、22年6月第六十六張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月令 ，則 C = (cij)= AB 第六十七張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月從而 第六十八張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月2.3 矩陣的秩一、矩陣的初等變換二、矩陣的秩第六十九張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月引例：求解線性方程組一、矩陣的初等變換第七十張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月2第七十一張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月23 第七十二張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月 253第七十三張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月2 第七十四張，PPT共一百七十

19、頁，創(chuàng)作于2022年6月取 x3 為自由變量，則 令 x3 = c ，則 恒等式第七十五張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月三種變換： 交換方程的次序，記作 ； 以非零常數(shù) k 乘某個(gè)方程，記作 ； 一個(gè)方程加上另一個(gè)方程的 k 倍，記作 . 其逆變換是：結(jié)論：由于對(duì)原線性方程組施行的變換是可逆變換，因此變換前后的方程組同解.在上述變換過程中，實(shí)際上只對(duì)方程組的系數(shù)和常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，未知數(shù)并未參與運(yùn)算iji k ik jiji k i+k jijik ik j第七十六張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月定義：下列三種變換稱為矩陣的初等行變換：交換矩陣中的兩行，記作 ；以非零常數(shù)

20、k 乘某一行的所有元素，記作 ； 某一行加上另一行的 k 倍，記作 .其逆變換是：把定義中的“行”換成“列”，就得到矩陣的初等列變換的定義 矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為初等變換 初等變換初等行變換初等列變換第七十七張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月有限次初等變換矩陣 A 與矩陣 B 等價(jià)，記作矩陣之間的等價(jià)關(guān)系具有下列性質(zhì)：反身性 ；對(duì)稱性 若 ，則 ；傳遞性 若 ，則 第七十八張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月階梯形矩陣：可畫出一條階梯線，線的下方全為零；每個(gè)臺(tái)階只有一行；階梯線的豎線后面是非零行的第一個(gè)非零元素.階梯形矩陣若某行中每個(gè)元素都為0，則位于該行下面各行

21、元素也全為0.若有非零元素且非零元素出現(xiàn)于前r行，而對(duì)于i=1,2,r,第i行中左起第1個(gè)非零元素為 , 則 .第七十九張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月例是階梯形矩陣，而不是階梯形矩陣.第八十張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月證 設(shè)mn 矩陣 A 若所有的 均為0，則顯然A是階梯形矩陣.定理 任意一個(gè)矩陣都可經(jīng)過一系列初等行變換化為階梯 形矩陣.第八十一張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月否則，設(shè)A的第 列的元素均為0，而第 列有非零元素.利用矩陣的初等變換其中 .依次類推. 第八十二張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月例 把化成階梯形矩陣. 第八十三張，

22、PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月解 第八十四張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月（續(xù)）考慮列初等變換 第八十五張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月定理 任意一個(gè)mn 矩陣A都可與一個(gè)形如的矩陣等價(jià). 為A的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形.第八十六張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月任何矩陣階梯形矩陣等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形矩陣一系列初等行變換 一系列初等列變換 一系列初等變換 結(jié)論第八十七張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月二、矩陣的秩的概念定義：在 mn 矩陣 A 中，任取 k 行 k 列( k m，kn)，位于這些行列交叉處的 k2 個(gè)元素按原來的順序組成的k 階行列式，稱為矩陣 A

23、 的 k 階子式顯然，mn 矩陣 A 的 k 階子式共有 個(gè)概念辨析： k 階子式、矩陣的子塊、余子式、代數(shù)余子式第八十八張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月與元素a12相對(duì)應(yīng)的余子式相應(yīng)的代數(shù)余子式矩陣 A 的一個(gè) 2 階子塊矩陣 A 的一個(gè) 2 階子式第八十九張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月矩陣 A 的一個(gè) 3 階子式矩陣 A 的 2 階子式 如果矩陣 A 中所有 2 階子式都等于零，那么這個(gè) 3 階子式也等于零 第九十張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月定義：設(shè)矩陣 A 中有一個(gè)不等于零的 r 階子式 D，且所有r +1 階子式（如果存在的話）全等于零，那么

24、數(shù) r 稱為矩陣 A 的秩，記作 r(A)根據(jù)行列式按行（列）展開法則可知，矩陣 A 中任何一個(gè) r +2 階子式（如果存在的話）都可以用 r +1 階子式來表示如果矩陣 A 中所有 r +1 階子式都等于零，那么所有 r +2階子式也都等于零 事實(shí)上，所有高于 r +1 階的子式（如果存在的話）也都等于零 因此矩陣 A 的秩就是 A 中非零子式的最高階數(shù)規(guī)定：零矩陣的秩等于零第九十一張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月矩陣 A 的秩就是 A 中非零子式的最高階數(shù) 顯然，若矩陣 A 中有某個(gè) s 階子式不等于零，則 r(A) s ；若矩陣 A 中所有 t 階子式等于零，則 r(A) t

25、 若 A 為 n 階矩陣，則 A 的 n 階子式只有一個(gè)，即|A| 當(dāng)|A|0 時(shí)， r(A) = n ; （非奇異矩陣）又稱為滿秩矩陣當(dāng)|A| = 0 時(shí)， r(A) r)階子式 D全為零，為此對(duì)A 按列分塊， 設(shè)經(jīng)過初等變換后變?yōu)?取B的任意一個(gè)k(kr)階子式D,記 是D中分別對(duì)應(yīng)于 的列. 則D有三種情形.第九十八張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月(1) D中不含B的第i列，這時(shí)D就是A的子式. 則D=0.(2) D中含B的第i列，但不含B的第j列,這時(shí)(3) D同時(shí)含B的第i列和第j列,第九十九張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月B中高于r階的子式都為0，所以 ，同

26、理可得 . 結(jié)論成立.第一百?gòu)?，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月分析 比較矩陣A、B的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形.性質(zhì)1 兩個(gè)矩陣A、B等價(jià)的條件是當(dāng)且僅當(dāng)它們有相同的 秩.性質(zhì)2 階梯形矩陣的秩等于它非零行的數(shù)目.第一百零一張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月例：求矩陣 A 的秩，其中 分析：在 A 中，2 階子式 A 的 3 階子式共有 (個(gè))，要從40個(gè)子式中找出一個(gè)非零子式是比較麻煩的第一百零二張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月一般的矩陣，當(dāng)行數(shù)和列數(shù)較高時(shí)，按定義求秩是很麻煩的 .階梯形矩陣的秩就等于非零行的行數(shù).一個(gè)自然的想法是用初等變換將一般的矩陣化為階梯形矩陣.兩個(gè)等

27、價(jià)的矩陣的秩是否相等？第一百零三張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月例：求矩陣 的秩。第一百零四張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月解：第一步先用初等行變換把矩陣化成階梯形矩陣階梯形矩陣有 3 個(gè)非零行，故r(A) = 3 第一百零五張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月分析：對(duì) B 作初等行變換變?yōu)殡A梯形矩陣，設(shè) B 的階梯形矩陣為 ，則 就是 A 的階梯形矩陣，因此可從中同時(shí)看出r(A)及 r(B) 例：設(shè) ，求矩陣 A 及矩陣B = (A, b) 的秩解：r(A) = 2r(B) = 3第一百零六張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月2.4 矩陣的逆第一百零七

28、張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月矩陣與復(fù)數(shù)相仿，有加、減、乘三種運(yùn)算. 矩陣的乘法是否也和復(fù)數(shù)一樣有逆運(yùn)算呢？這就是本節(jié)所要討論的問題.這一節(jié)所討論的矩陣，如不特別說明，所指的都是 n 階方陣. 從乘法的角度來看，n 階單位矩陣 E 在同階方陣中的地位類似于 1 在復(fù)數(shù)中的地位 一個(gè)復(fù)數(shù) a 0的倒數(shù) a1可以用等式 a a1 = 1 來刻劃. 類似地，我們引入對(duì)于 n 階單位矩陣 E 以及同階的方陣 A，都有第一百零八張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月定義： n 階方陣 A 稱為可逆的，如果有 n 階方陣 B，使得這里 E 是 n 階單位矩陣.根據(jù)矩陣的乘法法則，只有方

29、陣才能滿足上述等式. 對(duì)于任意的 n 階方陣 A，適合上述等式的矩陣 B 是唯一的（如果有的話）.定義： 如果矩陣 B 滿足上述等式，那么 B 就稱為 A 的逆矩陣，記作 A1 .第一百零九張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月例： 已知 , 則例： 已知 , 求其逆矩陣.第一百一十張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月性質(zhì)： 如果 n 階方陣A、B可逆，那么 、 、 與AB也可逆，且第一百一十一張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月下面要解決的問題是：在什么條件下，方陣 A 是可逆的？如果 A 可逆，怎樣求 A1 ？第一百一十二張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月例

30、： 已知 , 則A不存在逆矩陣.假設(shè)存在逆矩陣 則而 ,矛盾.第一百一十三張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月定義 設(shè)矩陣 稱矩陣為矩陣A的伴隨矩陣。元素 的代數(shù)余子式 位于第 i行第 j 列第一百一十四張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月定理 矩陣可逆的充要條件是 ，且當(dāng)可逆時(shí)，有： 證明若 可逆，第一百一十五張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月由定義得第一百一十六張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月例：求二階矩陣 的逆矩陣.第一百一十七張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月例：求3階方陣 的逆矩陣.解：| A | = 52，則第一百一十八張，PPT共一

31、百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月例：設(shè)方陣A滿足 ,證明A,A+2E都可逆. 第一百一十九張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月方陣A可逆 此時(shí)，稱矩陣A為非奇異矩陣容易看出：對(duì)于n 階方陣A、B，如果 那么A、B都是可逆矩陣，并且它們互為逆矩陣.第一百二十張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月例 的系數(shù)矩陣是一個(gè)n 階方陣 A ，若A可逆, 則線性方程組有唯一的解. 第一百二十一張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月證明：記則上述線性變換可記作 AX =b存在性: 由于A可逆, 則 ，于是唯一性: 假設(shè)有另一解 ,則 第一百二十二張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月例

32、 設(shè)其中 為 可逆矩陣, 為 可逆矩陣，求A的逆.第一百二十三張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月2.5 初等矩陣第一百二十四張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月定義：由單位矩陣 E 經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣.三種初等變換對(duì)應(yīng)著三種初等矩陣.互換單位矩陣的兩行（列）；(2)以常數(shù) k0 乘單位矩陣的某一 行（列）；(3)以 k 乘單位矩陣的某一 行（列）加到另一 行（列） 一、初等變換與矩陣乘法的關(guān)系第一百二十五張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月(第I種類型的初等矩陣)n階單位矩陣的第 i, j 行（ij） 互換，記為P(i,j). 第i行第行第一百二十

33、六張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月記作 P(3, 5)第一百二十七張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月第一百二十八張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月第一百二十九張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月(2)(第II種類型的初等矩陣)以常數(shù) k0 乘單位矩陣第 i 行, 記為P(i(k).第i行第一百三十張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月記作 P(3(k) 第一百三十一張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月第一百三十二張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月(3)(第III種類型的初等矩陣)以 k 乘單位矩陣第 j 行加到第 i 行,記作 P

34、(i,j(k)第i行第行第一百三十三張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月記作 P(3,5(k) 第一百三十四張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月第一百三十五張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月結(jié)論把矩陣A的第 i 行與第 j 行對(duì)換，即 .把矩陣A的第 i 列與第 j 列對(duì)換，即 .以非零常數(shù) k 乘矩陣A的第 i 行，即 .以非零常數(shù) k 乘矩陣A的第 i 列，即 .把矩陣A第 j 行的 k 倍加到第 i 行，即 .把矩陣A第 i 列的 k 倍加到第 j 列，即 .第一百三十六張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月定理 (定理5.1) 設(shè)A是一個(gè) mn 矩陣，對(duì)

35、 A 施行一次初等行變換，相當(dāng)于在 A 的左邊乘以相應(yīng)的 m 階初等矩陣；對(duì) A 施行一次初等列變換，相當(dāng)于在 A 的右邊乘以相應(yīng)的 n 階初等矩陣.口訣：左行右列.第一百三十七張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月例 已知求P(3,1(2)A, AP(2,3). P(3(3)A.第一百三十八張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月初等變換 初等變換的逆變換 初等矩陣 ?第一百三十九張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月所以 一般地， 第一百四十張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月所以 一般地， ?第一百四十一張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月所以 一般地，

36、?第一百四十二張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月初等變換 初等變換的逆變換 初等矩陣 初等矩陣的逆矩陣初等矩陣的逆矩陣是：?第一百四十三張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月定理 任意一個(gè)矩陣A都和一形如 的矩陣等價(jià)。（P45）第一百四十四張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月由上述定理可得定理 對(duì)任意矩陣,r(A)=r, 存在一系列和n階初等矩陣使得第一百四十五張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月推論1 若矩陣A為n階可逆矩陣，則存在n階初等陣 ，使從而推論2 若矩陣A為n階可逆矩陣，則存在n階初等矩陣Q1, Q2, , Ql，使 AQ1 Q2 , Ql =E從

37、而第一百四十六張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月初等變換的應(yīng)用若矩陣A為n階可逆矩陣，則存在n階初矩陣 使 ，從而即對(duì) 矩陣(A E)執(zhí)行初等行變換,當(dāng)把A變成E時(shí)，原來的E變成 .第一百四十七張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月 解例第一百四十八張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月第一百四十九張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月即初等行變換第一百五十張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月例解第一百五十一張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月第一百五十二張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月第一百五十三張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年

38、6月列變換行變換第一百五十四張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月作業(yè)習(xí)題二16, 20, 24第一百五十五張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月概念特殊矩陣 mn個(gè)數(shù)aij (i = 1,2,m ; j =1,2,n) 構(gòu)成的數(shù)表.單位距陣:主對(duì)角線元素都是1,其余元素都是零的n階方陣.對(duì)角矩陣:主對(duì)角元素是 其余元素都是零的n階方陣.對(duì)稱矩陣: 矩陣主要知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖AT = A.反對(duì)稱矩陣: AT = A.矩陣2第一百五十六張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月運(yùn)算A+B = ( aij + bij)kA= ( kaij ).AB = C 其中A與B同型.的第i行是A的第i列.|A|= detA,A必須是方陣.伴隨矩陣 n 階行列式的 |A|所有元素的代數(shù)余子式構(gòu)成的矩陣.AT: AT第一百五十七張，PPT共一百七十頁，創(chuàng)作于2022年6月逆矩陣概念求法證法如果AB=BA=E,則A可逆， B是