2017全國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽一試word打印版

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)2017年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽一試（A卷）一，填空題：本大題共8小題，每小題8分，共64分1. 設(shè)是定義在R上的函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)有又當(dāng)，則的值為_(kāi).2. 若實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是_.3. 在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓C的方程為，F(xiàn)為C的上焦點(diǎn)，A為C的右頂點(diǎn)，P是C上位于第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，則四邊形OAPF的面積最大值為_(kāi).4. 若一個(gè)三位數(shù)中任意兩個(gè)相鄰數(shù)碼的差均不超過(guò)1，則稱其為“平穩(wěn)數(shù)”.平穩(wěn)數(shù)的個(gè)數(shù)是_.5. 正三棱錐將其面積平分，則棱PC與平面所成角的余弦值為_(kāi).

2、6. 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)集.在K中隨機(jī)取出三個(gè)點(diǎn)，則這三個(gè)點(diǎn)中存在兩點(diǎn)之間距離為的概率為_(kāi).7. 在ABC中，M是邊BC的中點(diǎn)，N是線段BM的中點(diǎn).若,ABC的面積為，則的最小值為_(kāi).8. 設(shè)兩個(gè)嚴(yán)格遞增的正整數(shù)數(shù)列，對(duì)任意整數(shù)n,有，二，解答題：本大題共三小題，滿分56分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟9. （本題滿分16分）設(shè)k,m為實(shí)數(shù)，不等式成立。 證明：10. （本題滿分20分）設(shè)是非負(fù)實(shí)數(shù)，滿足求的最小值和最大值.11. （本題滿分20分）設(shè)復(fù)數(shù)（其中表示復(fù)數(shù)的實(shí)部）. （1） （2）求參考答案及解析一，填空題：【答案】【解析】由條件知，所以2. 【答案】【解析】由于，

3、故，由可知，.因此當(dāng)時(shí)，有最小值-1（這時(shí)）；當(dāng).由于的值域是，從而3. 【答案】【解析】：易知.設(shè)P的坐標(biāo)是則其中4. 【答案】75【解析】考慮平穩(wěn)數(shù)綜上可知，平穩(wěn)數(shù)的個(gè)數(shù)是2+6+63+4=755. 【答案】【解析】設(shè)AB,PC,的中點(diǎn)分別為K,M，則易證平面ABM就是平面，由中線長(zhǎng)公式知所以又易知直線PC在平面上的射影是直線MK，而CM=1，,所以故棱PC與平面所成角的余弦值為6. 【答案】【解析】易知K中有9個(gè)點(diǎn)，故在K中隨機(jī)取出三個(gè)點(diǎn)的方式數(shù)為種.將K中的點(diǎn)按右圖標(biāo)記為,其中有8對(duì)點(diǎn)之間的距離為.由對(duì)稱性，考慮取兩點(diǎn)的情況，則剩下的一個(gè)點(diǎn)有7種取法，這樣有個(gè)三點(diǎn)組（不計(jì)每組中三點(diǎn)的次序）.對(duì)每個(gè)兩點(diǎn)與之距離為（這里下標(biāo)按模8理解），因而恰有這8個(gè)三點(diǎn)組被計(jì)了兩次，從而滿足條件的三點(diǎn)組個(gè)數(shù)為56-8=48，進(jìn)而所求概率為7. 【答案】【解析】由條件知，,故由于，進(jìn)一步可得,從而8. 【答案】13,20【解析】有條件可知：均為正整數(shù)，且，由于，故.反復(fù)運(yùn)用的遞推關(guān)系知因此而， 另一方面，注意到 得到唯一的正整數(shù)，得到唯一正整數(shù)，此時(shí)綜上所述，的所有可能值為13,209. 【證明】 4分 16分10.【證明】解：由柯西不等式時(shí)不等式等號(hào)成立，故欲求的最小值為1， 5分因?yàn)闀r(shí)不等式等號(hào)成立，故欲求的最大值為.20分11，【答案】解：（1）對(duì)因此又