《復變函數(shù)》教學大綱

1、 復變函數(shù)教學大綱前言復變函數(shù)是數(shù)學專業(yè)高等教育的基礎課程之一，是數(shù)學分析的后續(xù)課程，是集理論性與應用性為一體的學科。通過對本課程基本內(nèi)容的學習，可以為學生進一步學習其它課程，并為將來從事教學、科研以及其它實際工作打好基礎。通過對本課程的學習，要求學生掌握和理解本課程的基本概念、理論和相關計算的基本方法，使學生受到嚴格的數(shù)學專業(yè)中分析的思維方法與技巧的訓練。學習者應該先學習完數(shù)學分析的相關理論知識以作為本課程的學習基礎。在學習本課程的過程，學習者應重視基本概念的正確理解、基本理論的系統(tǒng)闡述以及基本運算能力的培養(yǎng)，注意本課程與數(shù)學分析相關理論的聯(lián)系與區(qū)別。本課程的主要內(nèi)容為復變函數(shù)的微分、積分及

2、映照。先修課程要求：數(shù)學分析本課程計劃72學時，4學分選用教材：鐘玉泉編，復變函數(shù)論第三版，高等教育出版社，2004年教學方法：課堂講授為主，習題課、課外輔導為輔考核方法：考試周次學時數(shù)教學主要內(nèi)容教學環(huán)節(jié)備注14復數(shù)復平面上的點集復變函數(shù)講課24復球面與無窮遠點解析函數(shù)的概念與柯西黎曼條件講課34初等解析函數(shù)初等多值函數(shù)講課44初等多值函數(shù)講課54復積分的概念及其簡單性質(zhì)柯西積分定理講課64柯西積分公式及其推論講課74解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關系講課84復級數(shù)的基本性質(zhì)冪級數(shù)講課94解析函數(shù)的泰勒展式講課104解析函數(shù)零點的孤立性及唯一性定理講課114解析函數(shù)的羅朗展式解析函數(shù)的孤立奇點講課12

3、4解析函數(shù)在無窮遠點的性質(zhì)整函數(shù)與亞純函數(shù)的概念講課134殘數(shù)用殘數(shù)定理計算實積分講課144輻角原理及其應用講課154解析變換的特性線性變換講課164某些初等函數(shù)所構成的保形變換講課174黎曼存在定理和邊界對應定理解析開拓講課184復習答疑講課教學進程安排表第一章復數(shù)及復變函數(shù)一、學習目的了解復數(shù)的概念及其幾種表示形式，了解區(qū)域的概念，掌握利用復數(shù)的幾種形式進行四則運算，掌握一些曲線的復數(shù)表示形式。本章計劃6學時二、課程內(nèi)容1復數(shù)：復數(shù)域、復平面、復數(shù)的模與輻角、復數(shù)的乘冪與方根、共軛復數(shù)、復數(shù)在平面上的幾何上的應用舉例。2復平面上的點集：平面點集的幾個基本概念區(qū)域與約當曲線。3復變函數(shù)：復變

4、函數(shù)的概念、復變函數(shù)的極限與連續(xù)性。4復球面與無窮遠點：復球面、擴充復平面上的幾個概念。三、教學重點與難點本章內(nèi)容的難點是對擴充復平面及無窮遠點的理解。復變函數(shù)的極限與連續(xù)性是教學的重點。四、思考與練習教科書中本章節(jié)后面的練習第二章解析函數(shù)一、學習目的掌握解析函數(shù)的概念，深刻理解Cauchy-Riemann方程。初步了解函數(shù)的多值性及其處理方法。本章計劃8課時。二、教學內(nèi)容1復變函數(shù)的導數(shù)，解析函數(shù)及其簡單性質(zhì)，Cauchy-Riemann條件2初等解析函數(shù)：指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)與雙曲函數(shù)3初等多值函數(shù)：根式函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，一般冪函數(shù)與一般指數(shù)函數(shù)，具有多個有限支點的情形，反三角函數(shù)與反雙曲函數(shù)

5、三、重點與難點解析函數(shù)的概念是本章的重要概念，也是復變函數(shù)中的特有概念，因此，Cauchy-Riemann方程是學生要掌握是重點。另外，可導與解析兩個概念的聯(lián)系與區(qū)別及初等函數(shù)中多值函數(shù)的理解與處理應為本章的難點。四、練習與思考教科書中本章節(jié)后面的練習第三章復變函數(shù)的積分一、教學目的深刻理解并掌握Cauchy定理與Cauchy公式及其由此直接推導出來的解析函數(shù)的重要的性質(zhì)與推論。了解解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關系。本章計劃14課時。二、教學內(nèi)容1復積分的概念及其簡單性質(zhì)：復變函數(shù)積分的定義，復變函數(shù)積分的計算問題，復變函數(shù)積分的基本性質(zhì)。2Cauchy積分定理及其相關證明，不定積分，柯西積分定理的推

6、廣，柯西積分定理推廣到復圍線的情形。3 Cauchy積分公式及其推論，解析函數(shù)的無窮可微性，柯西不等式與劉維爾定理，摩勒拉定理。4解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)之間的關系。三、重點與難點Cauchy定理與Cauchy公式是本章的重點與難點，也是本課的重要理論基礎。四、練習與思考教科書中本章節(jié)后面的練習第四章解析函數(shù)的冪級數(shù)表示法一、學習目的與研究實變函數(shù)時一樣，級數(shù)和序列是研究復變函數(shù)的重要工具。本章應該掌握解析函數(shù)的冪級數(shù)表示法，掌握Taylor展式及其相關內(nèi)容，深刻理解并掌握解析函數(shù)的零點的孤立性及唯一性定理。本章計劃10課時。二、教學內(nèi)容1復級數(shù)的基本性質(zhì)：復數(shù)項級數(shù)，一致收斂的復函數(shù)項級數(shù)，解析函

7、數(shù)項級數(shù)2冪級數(shù)：冪級數(shù)的斂散性，收斂半徑的求法、柯西阿達瑪公式，冪級數(shù)和的解析性3解析函數(shù)的Taylor展式：泰勒定理，冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂圓周上的狀況，一些初等函數(shù)的泰勒展式4解析函數(shù)零點的孤立性及唯一性定理：解析函數(shù)零點的孤立性，唯一性定理，最大模原理三、重點與難點零點的孤立性和唯一性定理、最大模定理為重點，難點是對零點孤立性的深刻理解四、練習與思考教科書中本章節(jié)后面的練習第五章 解析函數(shù)的Laurant展式與孤立奇點（10課時）一、學習目的掌握解析函數(shù)在圓環(huán)上的Laurant展式及對孤立奇點的分類與其判斷方法。本章計劃10課時。二、教學內(nèi)容1解析函數(shù)的Laurant展式：雙邊冪級數(shù)，

8、解析函數(shù)的Laurant展式，羅朗級數(shù)與泰勒級數(shù)的關系，解析函數(shù)在孤立奇點領域內(nèi)的羅朗展式。2解析函數(shù)的孤立奇點：孤立奇點的三種類型，可去奇點，Schwarz引理，極點，本性奇點，畢卡定理。3解析函數(shù)在無窮遠點的性質(zhì)。4整函數(shù)與亞純函數(shù)的概念：整函數(shù)，亞純函數(shù)。三、重點與難點對孤立奇點特別是對極點的性質(zhì)與和判斷方法的掌握與理解為重點，對本性奇點的理解為難點四、練習與思考教科書中本章節(jié)后面的練習第六章殘數(shù)理論及其應用一、學習目的了解殘數(shù)的一般理論和應用，能因此計算某些類型的實積分，熟練掌握輻角原理、Rouch定理。本章計劃10課時。二、教學內(nèi)容1殘數(shù)：殘數(shù)的定義及殘數(shù)定理，殘數(shù)的求法，函數(shù)在無窮

9、遠點的殘數(shù)2用殘數(shù)定理計算實積分：型，型，型，積分路徑上有奇點的積分，應用多值函數(shù)的積分3輻角原理及其應用：對數(shù)殘數(shù)，輻角原理，Rouch定理三、教學重點與難點輻角原理與Rouch定理是重點，難點是計算某些類型的實積分四、練習與思考教科書中本章節(jié)后面的練習第七章保形變換（10課時）一、教學目的保形映照是函數(shù)論中最重要的概念之一，它是從物理學中的概念產(chǎn)生的，并且對物理學中的許多概念有重要的應用。例如，應用保形映照成功的解決了流體力學與空氣動力學、彈性理論、磁場、電場與勢場理論以及其它方面的許多實際問題。因而學習與掌握保形映照是本章的主要目的。二、教學內(nèi)容1解析變換的特性：解析變換的保域性，解析變換的保角性，導數(shù)的幾何意義，單葉解析變換的保形性2線性變換：線性變換及其分解，線性變換的保形性，線性變換的保交比性，線性變換的保圓周性，線性變換的保對稱性，線性變換的應用3某些初等函數(shù)所構成的保形變換：冪函數(shù)與根式函數(shù)，指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)，由圓弧構成的兩角形區(qū)域的保形變換4關于保形變換的Riemann存在定理和邊界對應定理三、練習與思考教科書中本章節(jié)后面的練習第八章 解析開拓（4課時）一、學習目的了解開拓的一般原理、方法二、教學內(nèi)容解析開拓：包括利用對稱原理開拓及用冪級數(shù)的解析開拓；單值性定理