分析線性代數(shù)5

1、1定義 設A,B為n階方陣，如果存在可逆矩陣U， 使得 ，則稱A與B相似，記作AB . A一、相似矩陣的概念與性質(zhì) 【注】單位矩陣 E 只與自己相似因為對任意可逆矩陣 U，數(shù)量矩陣 aE 只與自己相似例，取5.2 相似矩陣與矩陣相似于對角陣的條件 2. 相似矩陣的性質(zhì)（1）基本性質(zhì) 反身性，即AA，對稱性，即AB，則BA傳遞性， 如果AB，BC，則AC（2）相似矩陣有相同的特征多項式 【注】 逆不真,即有相同特征多項式的矩陣不一定相似.反例1相同的特征值(包括重數(shù)),跡,行列式.（3）相似矩陣有相同的秩 【注】逆不真,即秩相同的矩陣不一定相似.反例1推論：相似矩陣同為可逆或不可逆，若可逆，逆矩

2、陣也相似.（4）如果 AB，則 （k 為非負整數(shù)） 【注】逆命題不成立.反例2說明 性質(zhì)(2)(4)不能用來判斷矩陣相似,但可判斷不相似.利用相似矩陣計算矩陣多項式若AB , 則利用上述結(jié)論可以很方便地計算矩陣A的多項式 .*兩個常用公式* 二、矩陣相似于對角矩陣的條件定理1 數(shù)域 F 上的n 階矩陣 A 相似于對角陣 A 有n 個線性無關的特征向量.【注】 若矩陣 A 相似于對角陣，則稱 A可相似對角化.其中i 是屬于特征值i 的特征向量.構(gòu)成可逆矩陣U， ，則證明過程給出找與 A 相似的對角陣的方法： 即用 A 的n個線性無關的特征向量【注】矩陣U的列向量和對角陣中特征值的位置要 相互對應

3、.例1 判斷 是否可以相似對角化.A的屬于特征值5的特征向量為A的屬于特征值 -1（二重） 的特征向量為 線性無關 ，A可以相似對角化例2 判斷 是否可以相似對角化.解：解出A的特征值為 ，屬于特征值-1的特征向量為屬于特征值 1 的特征向量為因為僅有2個線性無關的特征向量所以，A不能相似于對角陣.定理2 矩陣A的屬于不同特征值的特征向量線性無關.【推論】每個特征值的線性無關的特征向量（即相應齊次線性方程組的基礎解系）構(gòu)成的向量組線性無關.即：若1，2， m是 A 的不同的特征值，設屬于i的線性無關的特征向量有si個:共 個向量是線性無關的.定理3 設 是矩陣 A 的 k 重特征值，則A 的屬

4、于的 線性無關的特征向量最多 k 個.設 A 的不同的特征值： 1，2， m重數(shù)分別為： k1，k2， km線性無關特征向量的個數(shù)： s1，s2， sm則有 si ki ， i=1,2,m，及 s1 s2 sm k1 k2 km n即定理1 數(shù)域 F 上的n 階矩陣 A 相似于對角陣 A 有n 個線性無關的特征向量.定理2 矩陣 A 的屬于不同特征值的特征向量線性無關.定理3 設 是矩陣 A 的 k 重特征值，則A 的屬于 的線性無關的特征向量最多 k 個.n 階矩陣 A的特征值為：所屬無關特征向量個數(shù)為：特征值的重數(shù)為：A可以相似對角化.【推論】 (1)若n階矩陣A在數(shù)域F上有n個不同的特征

5、值，A不能相似對角化.(2)(3)當 時(充分條件, 不必要)D選擇題 如果( ), 則矩陣A與B相似.(C) A與B有相同的特征多項式(D) n階矩陣A與B有相同的特征值且n個特征值各不相同(A) (B) 例3 已知三階矩陣 A 的三個特征值1, 2, 3以及分別屬于它們的特征向量（1）求矩陣 A;（2）求AT的特征值及所屬的特征向量.【注】這是由特征值和特征向量求矩陣的問題， 是由矩陣求特征值和特征向量的反問題. 可對角化矩陣的應用1: 由特征值及特征向量反求矩陣解 （1）（2）AT與A有相同的特征值1，2，3則 的三個列向量分別是AT的屬于1，2，3的特征向量. 因為則AT的屬于1，2，3的特征向量分別為k1, k2, k3 均不為0.例4 已知 ， 求 ?！窘馕觥咳绻鸄 ，則可以通過 簡化計算.解特征值為2，3，可知 A 相似于對角陣 可對角化矩陣的應用2: 求方陣的冪例5 已知矩陣A可相似對角化，問矩陣 能否相似對角化？例6 判斷兩對角陣 與 相似否？ 可對角化矩陣的應用3: 判斷矩陣是否相似【說明】例6說明當兩對角陣對角線上元素相同,僅是元素順序不同時,兩對角陣相似.基本概念 矩陣相似基本理論 定理1 矩陣相似于對角陣的充分必要條件定理2 不同特征值下所屬無關特征向量的關系定理3 k 重特