2021-2022學(xué)年江西省宜春市高一下學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題【含答案】

1、2021-2022學(xué)年江西省宜春市高一下學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單選題1在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限D(zhuǎn)【分析】由結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義判斷即可.【詳解】由，知復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.故選：D.2若向量，且，則實(shí)數(shù)（）ABCDC【分析】先由向量坐標(biāo)運(yùn)算求得，再由向量垂直的坐標(biāo)表示求解即可.【詳解】，由可得，即，解得.故選：C.3已知，則（）ABCDA【分析】利用算出答案即可.【詳解】因?yàn)樗怨蔬x：A4中和殿是故宮外朝三大殿之一，位于紫禁城太和殿與保和殿之間，中和殿建筑的亮點(diǎn)是屋頂為單檐四角攢（cun）尖頂，體現(xiàn)天圓地方的理念，其屋頂部分的輪廓可近似看

2、作一個(gè)正四棱錐已知此正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為，側(cè)面與底面所成的銳二面角為，這個(gè)角接近30，若取，則下列結(jié)論正確的是（）A正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為48mB正四棱錐的高為4mC正四棱錐的體積為D正四棱錐的側(cè)面積為C【分析】在如圖所示的正四棱錐中，設(shè)底面邊長(zhǎng)為，根據(jù)側(cè)棱長(zhǎng)和側(cè)面與底面所成的二面角可求底邊的邊長(zhǎng)，從而可求體高、側(cè)面積以及體積，據(jù)此可判斷各項(xiàng)的正誤.【詳解】如圖，在正四棱錐中，為正方形的中心，則為的中點(diǎn)，連接，則平面，則為側(cè)面與底面所成的銳二面角，設(shè)底面邊長(zhǎng)為正四棱錐的側(cè)面與底面所成的銳二面角為，這個(gè)角接近30，取，則，在中，解得，故底面邊長(zhǎng)為，正四棱錐的高為，側(cè)面積為，體積故選：C5已知，分別為

3、三個(gè)內(nèi)角，的對(duì)邊，已知，則（）ABCDB【分析】先由正弦定理及余弦和角公式求得，再由余弦定理求出即可.【詳解】由正弦定理得，又，則，整理得，又，則，則，即，則.故選：B.6已知、是兩條不同的直線，、是兩個(gè)不同的平面，則下列說法正確的是（）A若，則B若，則C若，則D若，則B【分析】根據(jù)已知條件逐項(xiàng)判斷線線、面面的位置關(guān)系，可得出合適的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若，則、相交、平行或異面，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，若，則，故，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，若，則、相交、平行或異面，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，若，則、平行或相交，相交也不一定垂直，D錯(cuò).故選：B.7函數(shù)（，）的部分圖象如圖所示，將的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的

4、4倍（縱坐標(biāo)不變），再把所得的圖象沿軸向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為（）ABCDA【分析】由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A的值，由周期求出的值，由五點(diǎn)法作圖求出的值，可得函數(shù)的解析式，結(jié)合圖象的變換規(guī)則，可得出的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】根據(jù)函數(shù)（，）的部分圖象，可得，結(jié)合五點(diǎn)法作圖可得，將的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的4倍（縱坐標(biāo)不變），可得的圖象再把所得的圖象沿軸向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象令，求得，可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，令，可得一個(gè)增區(qū)間為.故選：A.8設(shè)是內(nèi)部一點(diǎn)，且，定義（其中、分別是、的面積），現(xiàn)已知，則的最小值是（）

5、AB9CD12D【分析】利用三角形面積公式及向量數(shù)量積的定義可求三角形面積，結(jié)合條件可得，再利用均值不等式即求.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，的最小值是12故選：D二、多選題9設(shè)，為不同的直線，為不同的平面，下列四個(gè)命題中錯(cuò)誤的是（）A若，則B若，則C若，則D若，則ACD【分析】由點(diǎn)線面之間的位置關(guān)系依次判斷即可.【詳解】對(duì)于A，若，和的關(guān)系無法確定，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由面面垂直的性質(zhì)知B正確；對(duì)于C，可以相交，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，點(diǎn)不一定在平面上，得不到，D錯(cuò)誤.故選：ACD.10已知函數(shù)，則 （）A的最小正周期為B的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C在區(qū)間上單調(diào)遞減D可以改寫成BC【分析】將函數(shù)解析式變形為，利用

6、余弦型函數(shù)的周期公式可判斷A選項(xiàng)；由余弦型函數(shù)的對(duì)稱性可判斷B選項(xiàng)；利用余弦型函數(shù)的單調(diào)性可判斷C選項(xiàng)；利用誘導(dǎo)公式可判斷D選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?對(duì)于A選項(xiàng)，函數(shù)的最小正周期為，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，D錯(cuò).故選：BC.11已知，其中，為銳角，以下判斷正確的是（）ABCDAC【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得，再由兩角差的余弦公式以及積化和差公式逐一判斷即可.【詳解】解：因?yàn)?，其中，為銳角，所以：，故A正確；因?yàn)?，所以，故B錯(cuò)誤；可得，故C正確；可得，所以，故D錯(cuò)誤故選：AC12是的重心，是所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

7、）AB在方向上的投影等于CD的最小值為BCD【分析】對(duì)于A，由向量平行四邊形法則及重心的性質(zhì)即可判斷；對(duì)于B，由投影的定義即可判斷；對(duì)于C、D，由極化恒等式結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算求解即可.【詳解】取的中點(diǎn)，連接.對(duì)于A，又是的重心，則，則，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，在方向上的投影等于，B正確；對(duì)于C，又，則，則，C正確；對(duì)于D，取的中點(diǎn)，連接，取中點(diǎn)，連接，則，則，顯然當(dāng)重合時(shí)，取最小值，D正確.故選：BCD.三、雙空題13如圖，平面四邊形，將沿折起到的位置，此時(shí)二面角的大小為，連接，則三棱錐外接球的表面積為_;三棱錐的體積為_. 【分析】根據(jù)題意，可知、 都是以為斜邊的直角三角形，故三棱錐外接球的球心為中點(diǎn)

8、，直徑為，即可求出三棱錐外接球的表面積；結(jié)合題意求出點(diǎn)到平面的距離，即可得到三棱錐的體積.【詳解】由，可知三棱錐外接球的直徑為，三棱錐外接球的半徑，故三棱錐外接球的表面積；由題意得點(diǎn)到直線的距離，因二面角的大小為，所以點(diǎn)到平面的距離，故三棱錐的體積.故；.四、填空題14已知，則向量，夾角的余弦值為_【分析】根據(jù)題意，設(shè)向量，夾角為，由數(shù)量積的計(jì)算公式可得，變形可得，解可得答案【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)向量，夾角為，若，則有，即，解可得，故15若復(fù)數(shù)z滿足（i是虛數(shù)單位），則_.【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可求得結(jié)果.【詳解】由已知可得，因此，.故答案為.16在三棱柱中，兩兩

9、垂直，且，點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)(含邊界)，若，則長(zhǎng)度的最大值為_【分析】過作交于，設(shè)，由得，再求出，結(jié)合的范圍即可求解.【詳解】過作交于，連接，易得，設(shè)，則，則，化簡(jiǎn)得，又平面，則平面，又平面，則，則，顯然當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為.故答案為.五、解答題17在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，（1）以線段，為鄰邊作平行四邊形，求向量的坐標(biāo)和；（2）設(shè)實(shí)數(shù)滿足，求的值（1），；（2）.【分析】（1）利用向量加法的平行四邊形法及其模的計(jì)算公式即可得出答案（2）利用向量共線的坐標(biāo)表示即可得出答案【詳解】解析：（1）由向量加法的平行四邊形法則知：從而；（2）從而由，得：，解得.18已知，分別為三個(gè)內(nèi)角，的對(duì)邊，設(shè)面積為，

10、.(1)求角的值；(2)若，求的周長(zhǎng)(1)(2)6【分析】（1）由面積公式結(jié)合余弦定理求得，即可求解；（2）由面積公式求得，再由余弦定理求得，即可求解.【詳解】(1)由得，得，(2)因?yàn)槿切蔚拿娣e為，所以，則，又，由余弦定理可得，即，所以，因此的周長(zhǎng)為19如圖，在四棱錐中，平面，（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的余弦值（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）證明平面，即可得出；（2）過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，連接，說明直線與平面所成的角等于，求出，即可得解.【詳解】（1）因?yàn)槠矫妫本€平面，所以.又因?yàn)?，所以?又，所以平面，平面，故；（2）過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，連接，則與平面所成的角等于

11、與平面所成的角.因?yàn)槠矫?，故為在平面上的射影，所以為直線和平面所成的角.由于，所以，四邊形為平行四邊形，故，由已知，得，又，故，則，在中，可得.所以，直線與平面所成角的余弦值為.20已知函數(shù)，.(1)求的值域；(2)若關(guān)于的方程在上有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.(1)(2)【分析】（1）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)解析式為，由可求得的取值范圍，再利用正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可求得函數(shù)的值域；（2）令，則直線與函數(shù)在區(qū)間上的圖象有唯一的公共點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)解：，.所以，的值域?yàn)?(2)解：由，即，得.令，則直線與函數(shù)在區(qū)間上的圖象有唯一的公共點(diǎn)，如下圖所示：由圖象

12、可知，當(dāng)或時(shí)，即當(dāng)或時(shí)，直線與函數(shù)在區(qū)間上的圖象有唯一的公共點(diǎn).因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.21如圖，為某公園景觀湖畔的兩條木棧道，現(xiàn)擬在兩條木棧道的，處設(shè)置觀景臺(tái)，記，（單位：百米）(1)若，求的值；(2)已知，記，試用表示觀景路線的長(zhǎng)，并求觀景路線長(zhǎng)的最大值(1)10(2)，【分析】（1）直接由余弦定理求解即可；（2）由正弦定理求得，再由三角恒等變換求得的長(zhǎng)，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求得最大值即可.【詳解】(1)由已知條件可得，即，；(2)由題意，在中，則，觀景路線的長(zhǎng)，且，時(shí)，觀景路線長(zhǎng)的最大值為22如圖1，已知三棱錐，圖2是其平面展開圖，四邊形為正方形，和均為正三角形，分別為，的中點(diǎn)，.(1)求證：；(2)求二面角的余弦值；(3)若點(diǎn)在棱上，滿足，點(diǎn)在棱上，且，求的取值范圍(1)證明見解析；(2)；(3)【分析】（1）由，即可得證；（2）