2021-2022學(xué)年江蘇省南京市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

1、2021-2022學(xué)年江蘇省南京市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第() 象限A一B二C三D四B【分析】先得到復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得答案【詳解】由題意得，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限故選B本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，解題的關(guān)鍵是熟悉復(fù)數(shù)、復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)之間是一一對應(yīng)的關(guān)系，屬于簡單題2我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)有一抽樣問題：“今有北鄉(xiāng)若干人，西鄉(xiāng)七千四百八十八人，南鄉(xiāng)六千九百一十二人，凡三鄉(xiāng)，發(fā)役三百人，而北鄉(xiāng)需遣一百人，問北鄉(xiāng)人數(shù)幾何？”其意思為：“今有某地北面若干人，西面有人，南面有人，這三面要征調(diào)人，而北面共征調(diào)人

2、（用分層抽樣的方法），則北面共有（）人”ABCDA【分析】由分層抽樣原則可直接構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】設(shè)北面有人，則，解得.故選：A.3在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則A（）A120B150C45D60B【分析】利用余弦定理即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)?，所以，又，所?故選：B.4如圖所示的是函數(shù)的圖像，則函數(shù)可能是（）ABCDC【分析】由圖象確定函數(shù)的性質(zhì)，驗(yàn)證各選項(xiàng)是否符合要求即可.【詳解】由圖可知：是非奇非偶函數(shù)，且在y軸右側(cè)，先正后負(fù)若，則，所以函數(shù)為偶函數(shù)，與條件矛盾，A錯，若，則，所以函數(shù)為奇函數(shù)，與條件矛盾，B錯，若，則，當(dāng)時，與所給函數(shù)圖象不一致，D

3、錯，若，則，當(dāng)時，又， ，所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與所給函數(shù)圖象基本一致，故選：C5“三個臭皮匠，賽過諸葛亮”，這句口頭禪體現(xiàn)了集體智慧的強(qiáng)大假設(shè)李某能力較強(qiáng)，他獨(dú)自一人解決項(xiàng)目的概率為；同時，有個水平相同的人組成的團(tuán)隊(duì)也在研究項(xiàng)目，團(tuán)隊(duì)成員各自獨(dú)立地解決項(xiàng)目的概率都是0.4如果這個人的團(tuán)隊(duì)解決項(xiàng)目的概率為，且，則的最小值是(參考數(shù)據(jù)：，)（）A4B5C6D7B【分析】由獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率公式先求出團(tuán)隊(duì)成員都不能解決項(xiàng)目的概率，再由對立事件的概率求出，由題意建立不等式求解即可【詳解】解：由題意，這個人組成的團(tuán)隊(duì)不能解決項(xiàng)目的概率為：，所以，即，兩邊取常用對數(shù)可得：，即，解得，又，即的最小值

4、為故選：B6在中，設(shè)，那么動點(diǎn)的軌跡必通過的（）A垂心B內(nèi)心C外心D重心C【分析】設(shè)的中點(diǎn)是，根據(jù)題意化簡可得，即可確定的軌跡.【詳解】設(shè)的中點(diǎn)是，即，所以，所以動點(diǎn)在線段的中垂線上，故動點(diǎn)的軌跡必通過的外心，故選：C.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查向量的運(yùn)算法則，熟練掌握向量的運(yùn)算法則，數(shù)量積與垂直的關(guān)系，三角形的外心定義是解題的關(guān)鍵，屬于較難題.7已知四棱錐中，底面是邊長為4的正方形，平面平面，且為等邊三角形，則該四棱錐的外接球的表面積為（）ABCDB【分析】取側(cè)面和底面正方形的外接圓的圓心分別為，分別過，作兩個平面的垂線交于點(diǎn)O，得到點(diǎn)O即為該球的球心，取線段的中點(diǎn)E，得到四邊形為矩形，分別求得，

5、結(jié)合球的截面圓的性質(zhì)，即可求解.【詳解】如圖所示，在四棱錐中，取側(cè)面和底面正方形的外接圓的圓心分別為，分別過，作兩個平面的垂線交于點(diǎn)O，則由外接球的性質(zhì)知，點(diǎn)O即為該球的球心，取線段的中點(diǎn)E，連，則四邊形為矩形，在等邊中，可得，則，即，在正方形中，因?yàn)?，可得，在直角中，可得，即，所以四棱錐外接球的表面積為.故選：B.二、多選題8如果是兩個單位向量，則下列結(jié)論中正確的是（）ABCDCD【分析】根據(jù)單位向量的定義及數(shù)量積的定義即可得解.【詳解】解：因?yàn)槭莾蓚€單位向量，所以，但兩向量的方向不能確定，故AB錯誤；CD正確.故選：CD.9已知，則的值可能為（）A4B8C10D12AD【分析】根據(jù)，可得方

6、向相同或相反，分同向和反向兩種情況討論即可得解.【詳解】解：因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以方向相同或相反，?dāng)同向時，當(dāng)反向時，.故選：AD.10在中，下列結(jié)論中，正確的是（）A若，則是等腰三角形B若，則C若，則為鈍角三角形D若，且結(jié)合的長解三角形，有兩解，則長的取值范圍是ABC【分析】根據(jù)及角A、B的范圍，可判斷A的正誤；根據(jù)大邊對大角原則，可判斷B的正誤；根據(jù)條件及余弦定理，可判斷C的正誤；根據(jù)正弦定理，可判斷D的正誤，即可得答案.【詳解】對于選項(xiàng)A，因?yàn)?，且A，B(0，)，所以AB，所以是等腰三角形，所以選項(xiàng)A正確；對于選項(xiàng)B，由，則ab且A，B(0，)，可得AB，所以選項(xiàng)B正確；對于選項(xiàng)C，由A

7、B2AC2BC2，以及余弦定理可得，即為鈍角三角形，所以選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D，由A60，AC4，以及正弦定理可得1，解得BC2，且由大邊對大角BA，可得ACBC，即BC4，所以BC長的取值范圍是(2，4)，所以選項(xiàng)D錯誤； 故選：ABC.11已知正方體的外接球與內(nèi)切球上各有一個動點(diǎn)、，若線段的最小值為，則（）A正方體的外接球的表面積為B正方體的內(nèi)切球的體積為C正方體的棱長為2D線段的最大值為ABC設(shè)正方體的棱長為，由此確定內(nèi)切球和外接球半徑，由的最小值為兩球半徑之差可構(gòu)造方程求得，進(jìn)而求得外接球表面積和內(nèi)切球體積；由的最大值為兩球半徑之和可得到最大值.【詳解】設(shè)正方體的棱長為，則正方體外接球

8、半徑為體對角線長的一半，即；內(nèi)切球半徑為棱長的一半，即.分別為外接球和內(nèi)切球上的動點(diǎn)，解得：，即正方體棱長為，正確，正方體外接球表面積為，正確；內(nèi)切球體積為，正確；線段的最大值為，錯誤.故選.本題考查正方體外接球和內(nèi)切球相關(guān)問題的求解，關(guān)鍵是通過球的性質(zhì)確定兩球上的點(diǎn)的距離最小值為，最大值為.12已知函數(shù)，有下列四個結(jié)論，其中正確的結(jié)論為（）A在區(qū)間上單調(diào)遞增B是的一個周期C的值域?yàn)镈的圖象關(guān)于軸對稱CD代入特殊值檢驗(yàn)，可得A錯誤；求得的表達(dá)式，即可判斷B的正誤；分段討論，根據(jù)x的范圍，求得的范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得的值域，即可判斷C的正誤；根據(jù)奇偶性的定義，即可判斷的奇偶性，即可判

9、斷D的正誤，即可得答案.【詳解】對于A：因?yàn)?，所以，所以，所以在區(qū)間上不是單調(diào)遞增函數(shù)，故A錯誤；對于B：，所以不是的一個周期，故B錯誤；對于C：，所以的周期為，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；綜上：的值域?yàn)?，故C正確；對于D：，所以為偶函數(shù)，即的圖象關(guān)于軸對稱，故D正確，故選：CD解題的關(guān)鍵是根據(jù)的解析式，結(jié)合函數(shù)的奇偶性、周期性求解，考查分類討論，化簡計(jì)算的能力，綜合性較強(qiáng)，屬中檔題.三、填空題13計(jì)算：_.【分析】根據(jù)兩角差的余弦公式計(jì)算化簡可得原式等于，即可得出結(jié)果.【詳解】由題意得，.故答案為.14有甲乙兩批種子，發(fā)芽率分別為0.8和0.9，在兩批種子中各取一粒，則恰有一粒種

10、子能發(fā)芽的概率是_.【分析】利用互斥事件及獨(dú)立事件概率公式即得.【詳解】由題意得：甲批種子發(fā)芽同時乙批不發(fā)芽或甲批種子不發(fā)芽同時乙批種子發(fā)芽，則所求概率.故答案為.15某一時段內(nèi)，從天空降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)滲透流失而在水平面上積聚的深度，稱為這個時段的降雨量（單位：）.24小時降雨量的等級劃分如下：24小時降雨量（精確到0.1）0.19.910.024.925.049.950.099.9降雨等級小雨中雨大雨暴雨在綜合實(shí)踐活動中，某小組自制了一個底面直徑為200 ，高為300 的圓錐形雨量器.若一次降雨過程中，該雨量器收集的24小時的雨水高度是150 （如圖所示），則這24小時的降雨量的

11、等級是_.中雨【分析】利用圓錐內(nèi)積水的高度是圓錐總高度的一半，求出圓錐內(nèi)積水部分的半徑，求出圓錐的體積，求出平面上積水的厚度，由題意即可得到答案【詳解】圓錐的體積為，因?yàn)閳A錐內(nèi)積水的高度是圓錐總高度的一半，所以圓錐內(nèi)積水部分的半徑為 mm，將，代入公式可得，圖上定義的是平地上積水的厚度，即平地上積水的高，平底上積水的體積為，且對于這一塊平地的面積，即為圓錐底面圓的面積，所以，則平地上積水的厚度，因?yàn)?，由題意可知，這一天的雨水屬于中雨故中雨16拿破侖是十九世紀(jì)法國偉大的軍事家、政治家，對數(shù)學(xué)也很有興趣，他發(fā)現(xiàn)并證明了著名的拿破侖定理：“以任意三角形的三條邊為邊向外構(gòu)造三個等邊三角形，則這三個等邊

12、三角形的中心恰為另一個等邊三角形的頂點(diǎn)”，在ABC中，以AB，BC，CA為邊向外構(gòu)造的三個等邊三角形的中心依次為D，E，F(xiàn)，若，利用拿破侖定理可求得ABAC的最大值為_【分析】結(jié)合拿破侖定理求得，利用勾股定理列方程，結(jié)合基本不等式求得ABAC的最大值.【詳解】設(shè)BCa，ACb，ABc，如圖，連接AF，BD，AD由拿破侖定理知，DEF為等邊三角形因?yàn)镈為等邊三角形的中心，所以在DAB中，同理又，所以在ADF中，由勾股定理可得，即，化簡得，由基本不等式得，解得（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），所以故四、解答題17已知是實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩個虛數(shù)根，且滿足方程(1)求和(2)寫出一個以和為根的實(shí)系數(shù)一元二次方

13、程(1)，(2)（答案不唯一）【分析】1）根據(jù)題意設(shè)，代入，得到關(guān)于，的方程，再求出，即可可解決此問題；（2）利用根與系數(shù)關(guān)系，即可解決此問題【詳解】(1)解：因?yàn)槭菍?shí)系數(shù)一元二次方程的兩個虛數(shù)根，則互為共軛復(fù)數(shù)，設(shè)，代入中，得，整理得，解得，；(2)；，以和為根的實(shí)系數(shù)一元二次方程可以為18已知，求k為何值時：(1)；(2)；(3)與的夾角為鈍角(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)平面向量共線的坐標(biāo)表示列出方程即可得解；（2）根據(jù)平面向量垂直的坐標(biāo)表示列出方程即可得解；（3）由與的夾角為鈍角，可得且不共線，列出不等式組，解之即可得解.【詳解】(1)解：因?yàn)?，所以，解得?2)解：因?yàn)?，所以?/p>

14、金額的；(3)解：因?yàn)榕c的夾角為鈍角，所以且不共線，即，解得且，所以.19某校從高三年級學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生的某次數(shù)學(xué)成績，將其成績分成，的組，制成如圖所示的頻率分布直方圖. (1)求圖中的值；(2)估計(jì)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)；(3)若成績在內(nèi)的學(xué)生中男生占.現(xiàn)從成績在內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)抽取人進(jìn)行分析，求人中恰有名女生的概率.(1)(2)77(3)【分析】(1)根據(jù)給定條件結(jié)合頻率分布直方圖中各小矩形面積和為1的特點(diǎn)列式計(jì)算即得.(2)利用頻率分布直方圖求平均數(shù)的方法直接列式計(jì)算即得.(3)求出成績在內(nèi)的學(xué)生及男女生人數(shù)，再用列舉法即可求出概率.【詳解】(1)由頻率分布直方圖得，解得，所以圖中的值是0.

15、020.(2)由頻率分布直方圖得這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)：，所以這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為77.(3)數(shù)學(xué)成績在內(nèi)的人數(shù)為(人)，其中男生人數(shù)為(人)，則女生人數(shù)為人，記名男生分別為，名女生分別為，從數(shù)學(xué)成績在內(nèi)的人中隨機(jī)抽取人進(jìn)行分析的基本事件為：，共個不同結(jié)果，它們等可能，其中人中恰有名女生的基本事件為，共種結(jié)果，所以人中恰有名女生的概率為為.20如圖，在四棱錐中，平面平面，為棱上一點(diǎn)，且，為棱的中點(diǎn)(1)證明：平面平面；(2)求四棱錐的體積(1)證明見解析(2)【分析】（1）依題意可得，由面面垂直的性質(zhì)得到平面，即可證明平面平面；（2）根據(jù)圖中的幾何關(guān)系，求出四邊形的面積，根據(jù)是的中點(diǎn)，即可求解【詳解】

16、(1)證明：由題意，平面平面，平面，平面平面，平面，又平面，平面平面；(2)解：設(shè)的中點(diǎn)為，連接，所以是等腰三角形，即是梯形底邊上的高，由題意知，所以，是的中點(diǎn)，到底面的距離為，四棱錐的體積為；綜上，四棱錐的體積為21記ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知(1)若，求B；(2)若，求符合條件的k的最小值(1)(2)【分析】（1）由三角恒等變換得出，再由，得出；（2）由結(jié)合正弦定理以及得出，令，結(jié)合基本不等式得出的最小值.【詳解】(1)，即，兩邊平方得，即，,，;(2)由（1）可得，則,則，,，由得，設(shè)，則當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立即符合條件的k的最小值為22由倍角公式cos2x2cos2x1，可知cos2x可以表示為cosx的二次多項(xiàng)式，對于cos3x，我們有cos3xcos(2xx)cos2xcosxsin2xsinx(2cos2x1)cosx2(sinxcosx)sinx2cos3xcosx2(1cos2x)cosx4cos3x3cosx可見cos3x可以表示