運籌學 第九章

1、專業(yè)代碼11專業(yè)名稱信息管理與信息系統(tǒng)課程代碼18課程名稱運籌學試題類型 代碼08試題類型名稱計算題出題人管理員出題 日期2005-11-4知識點 代碼題干答案評分標準難 度 系數(shù)認 知 分 類建 議 分 數(shù)建 議 時 間11180902某車站候車室在某段時間內(nèi)旅客以強度50人/時的泊松流到達，每位旅客在候車室內(nèi)平均 停留時間為0.5h，服從負指數(shù)分布，問候車的平均候車人數(shù)為多少？答案：25人中運 用1012某修理店只有一個工廠，每小時平均有4個顧客帶來器具要求修理。這個工人檢查器具的 損壞情況，予以修理，平均需6min。設到達是泊松流，服務時間是負指數(shù)分布，求：（1） 判斷該系統(tǒng)屬于何種排隊

2、模型（2）修理店空閑時間的比例；答案：（1）該系統(tǒng)屬于M / M/1 ： 3 / 3 / FCFS 模型；（2）0.6某修理店只有一個工廠，每小時平均有4個顧客帶來器具要求修理。這個工人檢查器具的 損壞情況，予以修理，平均需6min。設到達是泊松流，服務時間是負指數(shù)分布，求：（1） 店內(nèi)恰有3個顧客的概率；（2）店內(nèi)至少有1個顧客的概率；答案:（1）0.0384（2）0.4某修理店只有一個工廠，每小時平均有4個顧客帶來器具要求修理。這個工人檢查器具的 損壞情況，予以修理，平均需6min。設到達是泊松流，服務時間是負指數(shù)分布，求：（1） 排隊系統(tǒng)中顧客的期望值；（2）等待服務的顧客的平均數(shù)；答案

3、：（1）0.67（2）0.267某加油站有一臺加油設備，加油的汽車以平均每5分鐘1輛的速度到達，服從泊松分布， 加油時間服從負指數(shù)分布，平均每輛車的加油時間為4分鐘。試求：這個加油站平均有多少輛汽車在等待加油？ .11人一一M / M /1/3 / 3 X = r = p = = 0.8(p = 1 -p = 0.2 L =-P = 3.2 L =- = 40q 1 p$1 p某加油站有一臺加油設備，加油的汽車以平均每5分鐘1輛的速度到達，服從泊松分布， 加油時間服從負指數(shù)分布，平均每輛車的加油時間為4分鐘。試求：每輛汽車為在這里加油平均需耗費多長時間？M / M/1/3/3 X = 1 r

4、= 1 p =- = 0.8 54RW, = R -廣 20 Wq = R( R X) =16某加油站有一臺加油設備，加油的汽車以平均每5分鐘1輛的速度到達，服從泊松分布， 加油時間服從負指數(shù)分布，平均每輛車的加油時間為4分鐘。試求：管理部門規(guī)定，若加 油的平均等待時間超過3分鐘或系統(tǒng)內(nèi)的平均汽車數(shù)超過8輛，則需要增加加油設備，試 計算現(xiàn)在的情況是否需要增加加油設備？M / M/1/3/3 X = 1 r = 1 p =- = 0.854RW 3 L 8 n X 9, W 3 n X 赤故當入超過（3/28）時，需要增加加油設備。某修理店只有一個工廠，每小時平均有4個顧客帶來器具要求修理。這個

5、工人檢查器具的 損壞情況，予以修理，平均需6min。設到達是泊松流，服務時間是負指數(shù)分布，求：（1） 顧客在店內(nèi)一共需要多少時間；（2）顧客等待的平均時間；答案：（1） 10分（2） 4分某車間的工具倉庫只有一個管理員，平均每小時有4個工人來借工具，平均服務時間為6min。 到達為泊松流，服務時間為負指數(shù)分布。由于場地等條件限制，倉庫內(nèi)能借工具的人最多 不能超過3個，求：（1）倉庫內(nèi)沒有人借工具的概率；（2）系統(tǒng)中借工具的平均人數(shù)。答案：(1) 0.6158 (2) 0.5616 (人)某車間的工具倉庫只有一個管理員，平均每小時有4個工人來借工具，平均服務時間為6min。 到達為泊松流，服務時

6、間為負指數(shù)分布。由于場地等條件限制，倉庫內(nèi)能借工具的人最多 不能超過3個，求：（1）排隊等待借工具的平均人數(shù)；（2）工人在系統(tǒng)中的平均花費的時間； （3）工人平均排隊時間。答案：(1) 0.1616(人)(2) 0.14.4(h) (3) 0.0404 (h)較難運 用1212某工具間管理相當差，平均為一個機械工服務就要12min。現(xiàn)在5個機械工，平均每15min 有一個機械工來領取工具，到達為泊松分布，服務時間為負指數(shù)分布。求：（1）工具保管員空閑的概率；（2）五個機械工都在工具間的概率；答案：(1) 0.00731 (2) 0.287某工具間管理相當差，平均為一個機械工服務就要12min。

7、現(xiàn)在5個機械工，平均每15min 有一個機械工來領取工具，到達為泊松分布，服務時間為負指數(shù)分布。求：（1）工具保管員空閑的概率；（2）五個機械工都在工具間的概率；答案：(1) 0.00731 (2) 0.287某工具間管理相當差，平均為一個機械工服務就要12min?，F(xiàn)在5個機械工，平均每15min 有一個機械工來領取工具，到達為泊松分布，服務時間為負指數(shù)分布。求：（1）系統(tǒng)中的平均人數(shù)；（2）排隊的平均人數(shù)；答案：（1） 3.76 （人）（2） 2.77 （人）某工具間管理相當差，平均為一個機械工服務就要12min。現(xiàn)在5個機械工，平均每15min 有一個機械工來領取工具，到達為泊松分布，服務

8、時間為負指數(shù)分布。求：（1）每個機械工再工具間的平均逗留時間；（2）每個機械工的平均排隊時間；（3）對話上述進行評價；答案：（1） 46 （min） （2） 34 （min） （3）由于隊伍長，排隊等待時間久，嚴重影響工作， 故應增加工具間的保管員某廠有一機修專業(yè)修理某種類型的設備。今年知該類設備的損壞率服從泊松分布，平均每1天兩臺。又知修復時間服從負指數(shù)分布，平均每臺的修理時間為一天。但R是一個與修理R人員多少及維修設備機械化程度（即與修理組織年開支費用k）等有關的函數(shù)。已知R （k） = 0.1 + 0.001k（k 1900元），又已知設備損壞后，每臺每天的停產(chǎn)損失為400元，試決定該廠

9、修理最經(jīng)濟的k值及R值。（提示：以一個月為期進行計算。）答案：p =0.8，p 0 = 0.00731，P 5=0.287，L=3.7(X )6,L =2.77( X ),W=46(min),W =34(min)某廠醫(yī)務室共有同樣醫(yī)療水平的大夫2名。已知職工按泊松流來到義務室就診，平均每小 時來到15人；診病時間平均每人6min，并服從負指數(shù)分布?，F(xiàn)在要問：（1）醫(yī)務室空閑的概率；（2）再醫(yī)務室逗留的病人及排隊等待就診的病人各為多少？（3）平均每一病人在醫(yī)務室逗留的時間為多少？答案：(1) 0.143(2) 3.43； 1.93(3) 0.23中運 用1012一個單人理發(fā)點，顧客到達服從Poi

10、sson分布，平均到達時間間隔為20分鐘；理發(fā)時間 服從負指數(shù)分布，平均理發(fā)時間為15分鐘。求：（1）顧客來店理發(fā)不必等待的概率；（2） 理發(fā)店內(nèi)顧客平均數(shù)；答案：這是一個M/M/1:3/3/FCFS排隊系統(tǒng)X=3， r=4， p=X/r=3/4=0.75P0=1-p=1-0.75=0.25p0.75L = = 31 p 1 0.7511180903某蛋糕店有一服務員，顧客到達服從人=30人/小時的Poisson分布，當?shù)昀镏挥幸粋€顧客 時，平均服務時間為1.5分鐘，當?shù)昀镉?個或2個以上顧客時，平均服務時間縮減至1 分鐘。兩種服務時間均服從負指數(shù)分布。試求：（1）此排隊系統(tǒng)的狀態(tài)轉移圖；（2

11、）穩(wěn)態(tài)下的概率轉移平衡方程組；（3）店內(nèi)有2個顧客的概率；（4）該系統(tǒng)的其它數(shù)量指標?！窘狻浚?）此系統(tǒng)為M /M 0 Ai田 X（2）由轉移圖可得穩(wěn)態(tài)下的,力.P =一 P P =1（3）已知人=30（人/小時由芝P = 1得ii=0/1:8 / 8 / FCFS 排差分方程組如下：XP0 = p1PXP +p P = (p + 02 21XP + p P = (p + XP + p P =(p X；-1 P 2 P _ X p p 03 p121、1.)p= x =40(人1 1.560P 1+產(chǎn) 01 p pn-1 X P - 1 4 p隊模型，該系統(tǒng)的狀態(tài)轉移圖如下：2A-X) P 1

12、X) P2+ X) PPP = Xn Pp 20np p n-10212,1/小時)p =60(人/小時)21601 = 1-1難綜合202501 -p1-2人303人301令1 p404P2p602，有12P =1+-1 = 1+01 -P121人nP =p = P P n-1 pn p p n-1 01 21 2則 P =pp P = 3x1 x0.4 = 0.1521 2 04 2(4)系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)(隊長期望值)L =切 nP =切 np p n-1 P =p P (1 + 2n=0n=013c 11 0(1 -p )2 4 *(1 -0.5)22在隊列中等待的平均顧客數(shù)(隊列長期

13、望值)L =(n 1)P =nP -EP n=1n=1n=1=L p P (1 + p + p2 +. + p 1 02223 x 0.4=1.2 - 土丁 = 0.4 (人) 1 -2系統(tǒng)中顧客逗留時間W = L =12 = 0.04 人 30系統(tǒng)中顧客等待時間 L 0.4 W = = = 0.0 q人 303馬-1 = 0.420p + 3p +.)=1.2(人)nn-1 + .) = L - P P01 -p2(小時)13(小時)一個單人理發(fā)點，顧客到達服從Poisson分布，平均到達時間間隔為20分鐘；理發(fā)時間服從 負指數(shù)分布，平均理發(fā)時間為15分鐘。求：（1）顧客在理發(fā)店內(nèi)的平均逗留

14、時間；（2）當 顧客到達速率是多少時，顧客在店內(nèi)的平均逗留時間將超過1.25小時答案：這是一個M/M/1:s/8/FCFS排隊系統(tǒng)人=3， p=4， p=X/p=3/4=0.75（3）W = = - = 1（小時）p-X 4-3（4）W =二=二=1.25，X=3.2，p-X 4-X當顧客到達速率增加到每小時大于3.2人，即顧客相繼到達的時間間隔縮短到18.75 分鐘以下時，顧客在店內(nèi)平均逗留時間將超過1.25小時。中運 用1012某商店每天開10個小時，一天平均有90個顧客到達商店，商店的服務平均速度是每小時 服務10個，若假定顧客到達的規(guī)律是服從Poisson分布，商店服務時間服從負指數(shù)分

15、布， 試求：（1）在商店前等待服務的顧客平均數(shù)。（2）在隊長中多于2個人的概率。（3）在商店中平均有顧客的人數(shù)。（4）若希望商店平均顧客只有2人，平均服務速度應提高到多少。【解】此題是屬于M /M/1:8/8/FCFS系統(tǒng)，其中： X =9 (個/小時) p =10(個/小時)p=X/p =9/10L = p2 /(1 - p) = 8.1 (個)qP(N 2) = p 3 = 0.729L =p/(1 -p) = 9 (個)L = X /(p - X) = 2X + 2X 9 +18 p = 一 = = 13.5 (個/小時)較難分析1212為開辦一個小型理發(fā)店，目前只招聘了一個服務員，需要

16、決定等待理發(fā)的顧客的位子應設 立多少。假設需要理發(fā)的顧客到來的規(guī)律服從泊松流，平均每4分鐘來一個，而理發(fā)的時 間服從指數(shù)分布，平均每3分鐘1人。如果要求理發(fā)的顧客因沒有等待的位子而轉向其他 理發(fā)店的人數(shù)占要理發(fā)的人數(shù)比例為7%時，應該安放幾個位子供顧客等待？【解】此題屬于M /M/1:N/8/ FCFS模型，依題意知：X = 1/4，p =1/3，p =X / p =3/4解出L及Lq的含N的表達式，令L/Lq-7% 解得N 21.67某服務部平均每小時有4個人到達，平均服務時間為6分鐘。到達服從Poisson流，服務 時間為負指數(shù)分布。由于場地受限制，服務部最多不能超過3人，求：（1）服務部

17、沒有人到達的概率；（2）服務部的平均人數(shù)；（3）等待服務的平均人數(shù)；（4）顧客在服務部平均花費的時間；（5）顧客平均排隊的時間?！窘狻恳李}意，這是M /M/1:N/s/FCFS排隊系統(tǒng)。其中：N =3，人=4，日=10，p=/日=0.4n 1 - PP = =(1-0.4) /1- (0.4)=0.615801 - p N +1L = 0.5616 (人)L = 0.1616 (人)W = 0.1404 (小時)W = 0.0404 (小時)某車間有5臺機器，每臺機器連續(xù)運轉時間服從負指數(shù)分布，平均連續(xù)運轉時間為15分鐘。 有一個修理工，每次修理時間服從負指數(shù)分布，平均每次12分鐘。求該排隊系

18、統(tǒng)的數(shù)量指 標，P，匕，L，七，W和P?！窘狻坑深}意知，每臺機器每小時出故障的平均次數(shù)服從泊松分布，故該排隊系統(tǒng)為M / M/1:s / m / FCFS 系統(tǒng)，其中：人=1/15，m =5，日=1/12，p =入/日=0.8J5!1-1(5 P k =0.0073k=0L = 5- 1/15 + 1/12(1 -0.0073) = 2.766 (臺) q1/15L = L + (1 -P ) = 3.759 (臺)W =舛=33.43 (分鐘) q(5 一 L)XW = W +- = 45.43 (分鐘)m!5!P5 = (m-5)LJ P0 = o!(0.8)5(0.0073) = 287

19、證明：一個M /M/2:8/8/FCFS的排隊系統(tǒng)要比兩個M /M/1:8/s/FCFS的 排隊系統(tǒng)優(yōu)越。試從隊長L這個指標證明?！咀C】設M /M/1:8/8/FCFS的服務強度為 p，則M /M/2:s/s/FCFS服務強度為2P。則rp2 p兩個單服務臺的系統(tǒng)L =111 - p 1 - p八11 - p兩個服務臺的系統(tǒng) P =11=10 1 + 2 p+1 x 1 x (2 p )2 1 +p2 pT c(2p)2 x p 1 - p 2p隊長L2 2 p + 2 x (1 -p )2 X 1+p= 1 -p 2八4T2 p,2 p由于 0 p L 11 p 21 p 2即系統(tǒng)1的隊長大

20、于系統(tǒng)2的隊長，故單隊2服務臺的系統(tǒng)優(yōu)于2隊單服務對的系統(tǒng)。11180904某博物館有4個大小一致的展廳。來到該博物館參觀的觀眾服從泊松分布，平均96人/小 時。觀眾大致平均分散于各展廳，且在各展廳停留的時間服從1/R =15分鐘的負指數(shù)分布， 在參觀完4個展廳后離去。問該博物館的每個展廳應按多大容量設計，使在任何時間內(nèi)觀 眾超員的概率小于5%?！窘狻看藛栴}中服務員數(shù)量s = 8，屬于M /M /8系統(tǒng)，每個展廳內(nèi)：、9660X 人=-j- = 24人/小時，日=4人/小時，p= = 6415目p i八-P = . e p（i = 0,1,2,）t- 要確定展廳的容量n，使觀眾超過n的概率小于

21、0.05，即有黨 %-6 10。故每個展廳應至少容納10人，使在任何時間內(nèi)觀眾超員的概率小于5%。兩個技術程度相同的工人共同照管5臺自動機床，每臺機床平均每小時需照管一次，每次 需一個工人照管的平均時間為15分鐘。每次照管時間及每相繼兩次照管間隔都相互獨立且 為負指數(shù)分布。試求每人平均空閑時間，系統(tǒng)四項主要指標和機床利用率。【解】由題意可知，該系統(tǒng)為M s = 2， m 5， X = 1 臺 / 小 I p /m = X/ ps =1/8。工人空閑率：P =9 + 5 x 0.25 + 5 x 4/： =0.316p = n計算得：L = P + L q 工人平均空閑時間：1/2寸(2-n=0

22、X = 1x(5-1.092)= 3.908c1.092W廣 L / 人 c= 3908 0.279W = L / X 0116 0.029 q q c 3.908機床利用率：1- L、/ m = 1-1.091/M / s:8/m/ FCFS系統(tǒng)，且：時，p= 60/15 4 臺/小時，sp/m = X/p = 1/4，Z x 0.252 + 5!x0.1253 + 5!x2 x 0.1254 + 5!x2 x 0.12555(0 n 2)(m - n)!n! pj。四傳“PG n 5)、(m-n)!s!sn-s pj 0-2P + 3P + 4P + 5P r 1.092 臺=P + 2P

23、 + 3P r 0.116 臺n)P = 1/2(2 P + P1 )= 0.5119(小時)=16.8 (分鐘)(小時)=1.8 (分鐘)2/5 78.016%11180905某儲蓄所有一個服務窗口，顧客按泊松分布平均每小時到達10人，為任一顧客辦理存款、 取款等業(yè)務的時間T服從N（0.05,0.012）的正態(tài)分布。試求儲蓄所空閑的概率及其主要 工作指標?！窘狻窟@是一個M /G/1:s/8/FCFS排隊系統(tǒng)。由題意知：X 10人/小時，p= 20 人/小時，p = X / p = 0.5，E(T) = 0.05，Var(T) = 0.012 儲蓄所空閑的概率及其主要工作指標為：p = 1 -

24、p = 0.5 ,0.52 +102 x 0.012 Lq=2(1 -0.5)= 026 (人)L = L +p = 0.76 (人)W = 4 = 76 h r 5 (分鐘) X 10e L 0.26W = q = 10 h r 2 (分鐘)某檢測站有一臺自動檢測機器性能的儀器，檢測每臺機器都需6分鐘。送檢機器按泊松分 布到達，平均每小時4臺。試求該系統(tǒng)的主要工作指標。解：這是一個M /D/1:8/8/ FCFS系統(tǒng)，且： 人=4 臺/小時，1/u= 6分鐘/臺，p=X/日=0.4 Var(T) = 0 各主要工作指標為： r0.422/q 2(1 - 0.4) 15(臺 -8L = Lq

25、+ p= 15 (臺)L 1 ,W =寸=30 h = 2 (分鐘)W = W +- = 8 (分鐘)一個電話間的顧客按泊松流到達，平均每小時到達6人，平均通話時間為8分鐘，方差為8 分鐘，直觀上估計通話時間服從愛爾朗分布，管理人員想知道平均列隊長度和顧客平均等 待時間是多少。解：該系統(tǒng)為M /氣/1:8/8/ FCFS排隊系統(tǒng)，其中：E (T )2828k = ( ) =一 = 4，p = 6 x = 0.8Var (T)1660,0.82 x (4 +1) q-2x4(1 -0.8) = 2 (人)L 2, _W = q = h = 20 (分鐘)q人 611180906對某服務臺進行實測，得到如下數(shù)據(jù)：【解】該系統(tǒng)為M /M/1:3/8/FCFS系統(tǒng)，首先通過實測數(shù)據(jù)估計平均到達率人:P因為-p = Pn-1可以用下式來估計PP = 123 4 = 2（0.6 + 0.55 + 0.64） = 0.6 3 m3n =1 n1由日=6 /小時，可得人的估計值為：X = p = 0.6 x 6 = 3.6 人/小時為