數(shù)學建模展館安全保障問題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)摘要本文利用圖解法研究了展館安全保障的若干問題。針對問題一，資金充裕的條件下，首先讓攝像頭的監(jiān)控范圍盡可能覆蓋展區(qū)1、2、3的全部范圍，其次考慮將攝像頭安裝在角落，最后考慮減少攝像頭的數(shù)目?；谝陨夏繕?，利用圖解法將展區(qū)1、2、3劃分為若干矩形區(qū)域。為研究矩形區(qū)域布置攝像頭的一般規(guī)律，首先分析若干簡單模型的攝像頭布置情況，然后得出展區(qū)1、2、3的攝像頭安裝情況?？偣彩褂脭z像頭43個，其中27個固定，16個旋轉(zhuǎn)，其中36個位于墻角，覆蓋全部給出的區(qū)域，無盲區(qū)。針對問題二，

2、由于資金不足，首先考慮讓所有攝像頭的監(jiān)控范圍覆蓋展區(qū)1、2、3，其次考慮盡量減少攝像頭數(shù)目，最后考慮安置在墻角。為布置展區(qū)1、2、3，首先研究簡單矩形區(qū)域的攝像頭布置情況，這時的攝像頭位置可以任意安裝。最后得出所有展區(qū)的布置情況，共需攝像頭31個，其中固定攝像頭23個，旋轉(zhuǎn)攝像頭8個，有8個位于墻角，占總比例的26%。雖然位于墻角的比例減少，但是仍然可以覆蓋全部展區(qū)，無盲區(qū)。然后給出安全評估方案對展區(qū)1、2、3的所有區(qū)域進行安全評估。最后對模型進行評價和改進，建立比較科學的三維體系，對墻面和地面離散化處理，最優(yōu)解可以用Lingo進行求解。關鍵詞：圖解法 墻角 監(jiān)控區(qū)域 全覆蓋展館安全保障問題一

3、問題重述 保安公司與某藝術展館簽訂了一項安保合同，為他們安裝攝像監(jiān)視裝置。由于這些攝像裝置較大，會對展館參觀者視線形成干擾，所以展館方希望這些裝置安裝得越少越好，并且希望攝像機盡可能裝在角落處?，F(xiàn)有的攝像機當固定攝像時能清晰分辨的距離為7.5米，當水平旋轉(zhuǎn)攝像時能清晰分辨的距離為2.5米，攝像頭視角大約為50度。展館的平面布局相當復雜，有一些隔板會以各種角度立在房間中間或者走廊上。盡管該展廳很大，但任何兩個對面墻之間的距離并不大，所以參觀者不需要無謂地走很多路。所有的墻壁以及隔板都是平的?；谝陨蠗l件，我們對下面兩個問題進行求解：1、為可轉(zhuǎn)動攝固定或像機設計安裝位置，以期在夜晚能夠提供盡可能多

4、的覆蓋面積，包括地面與墻壁展示區(qū)域。2、由于預算資金不足，不能在全館安裝足夠數(shù)量的監(jiān)視攝像機，試討論這種情形下的最優(yōu)安裝策略，并給出相應的安全性評價。二問題的假設1）假設不考慮房間的高度；2）假設隔板可以看做墻壁處理，也可與墻壁形成角落；3）假設內(nèi)墻角和外墻角均可做墻角處理； 4）假設一個墻角固定攝像頭可裝多個，旋轉(zhuǎn)最多可裝一個；5）假設當平面圖被全部覆蓋時，認為展館所有區(qū)域已得到監(jiān)控；6）假設所有監(jiān)控器均與房頂同高，不遮擋觀賞者視線；7）假設當平面圖中某點位于監(jiān)控范圍內(nèi)，則認為立體圖中該點所在的垂直于地面的線段也位于監(jiān)控范圍內(nèi)；8）假設安裝的所有攝像頭都能正常工作；9）假設平面上的所有點重要

5、程度相同，被一個攝像頭有效監(jiān)控到就認為處于攝像監(jiān)控之下；三符號的說明：矩形房屋的長邊；：矩形房屋的短邊；： 攝像頭的監(jiān)視半徑；四模型的建立首先，我們對監(jiān)控器兩種設置的監(jiān)控范圍進行分析。監(jiān)控器可設置為固定監(jiān)控和可旋轉(zhuǎn)監(jiān)控，兩種設置的監(jiān)控角度和監(jiān)控距離各不相同，監(jiān)控器兩種設置的監(jiān)控范圍圖解分析如下： 固定攝像頭：圖1 這是固定型攝像頭的監(jiān)控范圍，在平面上投影是一個角度為50度，弧長為7.5m的扇形。有隔板時，隔板之后被遮擋的區(qū)域不在監(jiān)控范圍內(nèi)，如圖2，圖中斜條表示隔板，陰影表示不在監(jiān)控范圍內(nèi)的區(qū)域：圖2旋轉(zhuǎn)攝像頭： 圖3這是可以360度旋轉(zhuǎn)的攝像頭的監(jiān)控范圍，在平面上投影是一個半徑為2.5m的圓形

6、?？梢娺@種攝像頭監(jiān)視的距離不大，但角度全面，應該多用于周圍有障礙物，監(jiān)視范圍較小，或墻壁夾角較大的展區(qū)，也可以用來覆蓋固定類監(jiān)視器留下的小型盲區(qū)。 有隔板時，隔板之后被遮擋的區(qū)域不在監(jiān)控范圍內(nèi)，如圖4，圖中斜條表示隔板，陰影表示不在監(jiān)控范圍內(nèi)的區(qū)域： 圖 44.1 基于圖解法對問題一的求解在問題一中，在監(jiān)控器足夠的情況下，為獲得最大監(jiān)控范圍，我們考慮對展館給出的所有區(qū)域都進行監(jiān)控，保證無盲區(qū)。根據(jù)館長要求，監(jiān)視器盡量位于角落，在資金充足的條件下，我們假設重要性有如下順序：首要：覆蓋全部區(qū)域，無盲區(qū)；次要：監(jiān)視器盡量位于角落；再次：盡量減少監(jiān)視器數(shù)量。由給出的的展區(qū)平面圖可知，展區(qū)1和3都是形狀

7、比較規(guī)整類似于矩形的展區(qū)，而展區(qū)二卻是不規(guī)則的區(qū)域，沒有什么規(guī)律可循。對于矩形展區(qū)，我們遵循以上原則，定義長邊為a, 短邊為b,進行近似分類。當 時，每個房間里只用一個旋轉(zhuǎn)攝像頭就可滿足要求，如圖3所示，極限情況如圖4所示（圖中黑色圓點表示攝像頭位置）： 圖5 圖6當 時，每個房間用兩個固定的攝像頭就可滿足要求，兩個攝像頭裝在對應的兩個墻角上即可，如圖5所示，極限情況如圖6所示： 圖7 圖8 當 時，則需要三個及三個以上的攝像頭來監(jiān)控，并且兩類攝像頭搭配使用，此時情況變得復雜，具體情況要看房屋具體尺寸，我們僅舉幾個例子說明，并不具有一般規(guī)律： 圖9 圖10 上面的只是理想模型，而實際中，矩形不

8、一定完整，四個墻角也不一定全部存在，此時為了覆蓋只能安裝在非角落的地方，如兩面墻的交線處，或屋頂上。我們結合理想模型和實際情況對攝像器進行安裝，布局時我們認為隔板可等同墻壁處理，也可與墻壁形成墻角，且內(nèi)墻角和外墻角都符合要求，如下圖： 圖11 內(nèi)墻角 圖12 外墻角 首先我們選取The Paris Years 和New Work兩個區(qū)域為例，進行監(jiān)控布置，對隔板和墻壁進行延長，使外圍形成一個大矩形，內(nèi)部形成虛擬的小矩形，結合上面的理論和實際，監(jiān)控布置如下： 圖 13 由圖9可知，這個區(qū)域共用了7個攝像頭并且全部位于墻角，然后基于這種分區(qū)分析的理論，我們對展區(qū)1、2、3進行監(jiān)控布置，得到如下結果

9、如下： 圖 14 問題一中展區(qū)1的監(jiān)控布置 展區(qū)一中共使用攝像頭25個，其中固定攝像頭21個，轉(zhuǎn)動攝像頭4個，覆蓋所有展覽室，覆蓋率100%，無盲區(qū)。其中24個位于墻角，一個位于墻壁與屋頂交界處。建立如圖坐標系，以厘米為單位，得到攝像頭坐標如下：固定：（共21個）（0,1678）（0,1678）（1000,1678）（1000,1678） （1000,1678）（1000,1678）（1543,1678）（1543,1678）（2480,1678）（2480,1678）（1000,1330）（447,992）（502,992）（502,992）（502,992）（502,992）（2480,9

10、46）（1300,550）（1300,550）（550,390）（550,390）（1543,1678）旋轉(zhuǎn)：（共4個）（1784,1391）（447,992）（1594,946）（1145,217）。圖15 問題一中展區(qū)3的監(jiān)控布置展區(qū)3中使用攝像頭4個，全為旋轉(zhuǎn)攝像頭，覆蓋兩個展覽室，覆蓋率100%，無盲區(qū)，且全部位于角落。建立如圖坐標系，以厘米為單位，得到攝像頭坐標如下：旋轉(zhuǎn)：（共4個）（200,0）(0,345)(0,345)(200,738)。 圖16 問題一中展區(qū)2的監(jiān)控布置 展區(qū)2中共使用攝像頭14個，其中固定攝像頭6個，旋轉(zhuǎn)攝像頭8個。覆蓋所有展區(qū)，覆蓋率100%，無盲區(qū)。其中

11、8個位于墻角，2個位于墻壁與屋頂交界處，4個位于屋頂。建立如圖坐標系，以厘米為單位，得到攝像頭坐標如下：固定：（共6個）（505,956） （505,956） （0,700） （1537,952） （1537,952） （1483,754） 旋轉(zhuǎn)：（共8個）（1644,702） （1480,261） （1430,0） （1153,214） （875,176） （775,427）（856,702） （509,851）。 至此，第一問求解結束，共使用攝像頭43個，其中27個固定，16個旋轉(zhuǎn)。其中36個位于墻角，在84%的程度上滿足了展館方對于攝像頭安置在墻角的要求，覆蓋全部給出的區(qū)域，無盲區(qū)。4.

12、2 基于圖解法對問題二的求解 我們由于此時資金不足，對此我們首先考慮在覆蓋全區(qū)的情況下，盡量減少攝像頭數(shù)目，此時定義布置監(jiān)控時遵循重要性：首要：覆蓋全部區(qū)域，無盲區(qū)；次要：盡量減少監(jiān)視器數(shù)量；再次：監(jiān)視器盡量位于角落。類似于第一問，我們對矩形進行分類如下： 1.當 時，每個房間里只用一個旋轉(zhuǎn)攝像頭就可滿足要求，如圖15所示，極限情況如圖16所示（圖中黑色圓點表示攝像頭位置）： 圖17 圖18 2.當 時，跟第一問中的第二類一樣，每個房間用兩個固定的攝像頭就可滿足要求，兩個攝像頭裝在對應的兩個墻角上即可，如圖17所示，極限情況如圖18所示： 圖19 圖20 3.當 時，具體情況要看房屋具體尺寸，

13、我們僅舉幾個簡單例子說明，并不具有一般規(guī)律： 圖 21 圖 22 圖23 在這種規(guī)則下，我們結合理論模型和展館實際尺寸，以數(shù)量優(yōu)先得到如下監(jiān)控布局：圖24 問題二中展區(qū)1的監(jiān)控布置 展區(qū)一中共使用攝像頭19個，其中固定攝像頭16個，轉(zhuǎn)動攝像頭3個，覆蓋所有展覽室，覆蓋率100%，無盲區(qū)。其中5個位于墻角。建立如圖坐標系，以厘米為單位，得到攝像頭坐標如下：固定的（16個）: (1796,1385) (2114,1685) (1879,1380) (2246,942) (1602,1196) (1548,1173) (1000,1633) (463,1685) (463,1685) (454,98

14、7) (1115,987) (500,552) (1482,552) (732,552) (0,1111)(463,1502) ；旋轉(zhuǎn)的（3個）： (113,748) (400,755) (1199,704)。圖25 問題二中展區(qū)3的監(jiān)控布置展區(qū)3中使用攝像頭2個，全為旋轉(zhuǎn)攝像頭，覆蓋兩個展覽室，覆蓋率100%，無盲區(qū)，都沒有位于角落。建立如圖坐標系，以厘米為單位，得到攝像頭坐標如下：旋轉(zhuǎn)（2個）：(104，554) (101,162)。圖26 問題二中展區(qū)2的監(jiān)控布置展區(qū)2中共使用攝像頭10個，其中固定攝像頭7個，旋轉(zhuǎn)攝像頭3個。覆蓋所有展區(qū)，覆蓋率100%，無盲區(qū)，其中3個位于墻角。建立如

15、圖坐標系，以厘米為單位，得到攝像頭坐標如下：固定的（7個）:(0.700) (600,900) (1056,954) (1533,954) (1049,381) (1644,697) (1427,0)；旋轉(zhuǎn)的（3個）：(864，688) (846,272) (1282,186)。 以此種方法安裝，共需攝像頭31個，較第一問減少了12個，其中固定23個，旋轉(zhuǎn)8個，有8個位于墻角，占總比例的26%。雖然位于墻角的比例減少，但是任然可以覆蓋全部展區(qū)，無盲區(qū)，安全級別很高。但是如果資金嚴重缺乏，并不足以購置31個攝像頭，我們將對展館區(qū)域進行分類，以展區(qū)中所展示作品的價值為依據(jù)將眾多展區(qū)化為一級監(jiān)視區(qū)、

16、二級監(jiān)視區(qū)、三級監(jiān)視區(qū)，優(yōu)先級別從高到底，優(yōu)先級別高的展區(qū)優(yōu)先進行覆蓋。4.3對問題二中優(yōu)化解的安全評估 由于預算資金不足，不能在全館安裝足夠數(shù)量的監(jiān)視攝像機，所以這種情況下的監(jiān)控方案涉及到安全性的問題。我們已經(jīng)得出了比較優(yōu)化的方案，在此基礎上進行安全性評估。 為了直觀地看出各個地點的安全性水平，可以建立一種評分機制。規(guī)則如下： 0分：此處沒有任何攝像頭可以監(jiān)控到，不出于監(jiān)控范圍內(nèi)，安全隱患非常大； 1分：此處只有一個攝像頭可以監(jiān)控到，處于監(jiān)控范圍內(nèi)，安全隱患較??； N（N1）：此處有N個攝像頭可以監(jiān)控到，處于多重監(jiān)控范圍內(nèi)，安全性很高?；谝陨显u分機制，將展區(qū)1，展區(qū)2，展區(qū)3分區(qū)評分，得分

17、如下：圖27 展區(qū)1的安全評估圖28 展區(qū)2的安全評估圖29 展區(qū)3的安全評估結果解釋：展區(qū)1，展區(qū)2，展區(qū)3全都處于監(jiān)控范圍內(nèi)，但是有的地方處于多重監(jiān)控范圍內(nèi)，有的只有一個監(jiān)視器能夠監(jiān)視到。多重監(jiān)控的區(qū)域能夠有效避免監(jiān)控器出現(xiàn)問題而帶來的安全隱患，而對于處于單重監(jiān)控范圍的區(qū)域，當監(jiān)控的攝像頭出現(xiàn)問題時，很有可能發(fā)生展品丟失、破損的事情。有的處于固定監(jiān)視之下，有的處于旋轉(zhuǎn)攝像頭的監(jiān)控之下。處于固定監(jiān)控的區(qū)域比較穩(wěn)定，能夠保持一段時間內(nèi)一直監(jiān)控；而處于旋轉(zhuǎn)攝像頭監(jiān)控下的區(qū)域，時而有監(jiān)控，時而無監(jiān)控，有一定安全隱患。所以安裝攝像頭時應該多安裝固定的攝像頭，少安裝旋轉(zhuǎn)的攝像頭。由于資金限制，攝像頭的

18、數(shù)量受到約束，必然導致安全性水平較低。資金允許的時候可以多安裝攝像頭以避免安全隱患。模型的改進與推廣 在以上的求解過程中，我們忽略了展館的高度，簡化為二維平面圖的監(jiān)控覆蓋。無論是攝像頭的監(jiān)控范圍，還是被監(jiān)控區(qū)域，全都作為平面二維圖來處理，這樣雖然求解出了答案，但是與實際情況產(chǎn)生了眾多不符。 在實際情況中，旋轉(zhuǎn)攝像頭的監(jiān)視范圍為一個半徑為2.5m的球的一部分，固定攝像頭的監(jiān)視范圍為一個半徑為7.5m的球的一部分，而展館則是立體三維的空間，或近似于立方體，或為不規(guī)則立體，簡化為二維平面的過程丟失太多信息，導致結果的不精確。圖30 二維中的監(jiān)視圖例如圖27，在二維中我們認為墻W被攝像頭Q監(jiān)視覆蓋,但

19、這只是墻壁W只是與攝像頭Q監(jiān)控范圍的俯視圖，而實際中，它們只相切于一條線，就是圖中我們看到覆蓋墻壁的這條線。即墻壁W可以被監(jiān)控到的只是墻壁上的一條線，所以實際中可以說墻壁W并不位于監(jiān)控范圍內(nèi)。為解決這個問題，使結果更具實際意義，我們嘗試采取下列模型求解，由于時間關系，我們只進行簡單的敘述和求解思路。我們假設展館的高度H，首先我們假設墻角裝有一個固定攝像頭Q，監(jiān)視范圍的主方向位于直線m上，我們只考慮一面墻W上受監(jiān)控的面積S，求解思路如下：我們把墻W分為的小方格，共行，列，建立如圖坐標系: 圖31 三維空間的分析我們假設如果小方格的中心（0，）到Q的距離小于監(jiān)控半徑r, 且圖中n與m的夾角小于/2，則認為該小方格在監(jiān)控范圍內(nèi)，即滿足下列兩個條件： (1) (2)由此我們可以求出在攝像頭Q主方向確定的情況下，墻壁W上受監(jiān)控的面積S，類似的，我們也可求出此時其他3個墻面和地面上受監(jiān)控的總面積。易知，對于一個尺寸固定的房間，一旦主方向m確定，該房間內(nèi)受監(jiān)控