《理論力學(xué)》14 動(dòng)能定理

1、第十四章動(dòng) 能 定 理1 本章重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn) 力的功和物體動(dòng)能的計(jì)算。 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理和機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用。 難點(diǎn) 動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用。動(dòng) 力 學(xué)2 與動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理用矢量法研究不同，動(dòng)能定理用能量法研究動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。能量法不僅在機(jī)械運(yùn)動(dòng)的研究中有重要的應(yīng)用，而且是溝通機(jī)械運(yùn)動(dòng)和其它形式運(yùn)動(dòng)的橋梁。動(dòng)能定理建立了與運(yùn)動(dòng)有關(guān)的物理量動(dòng)能和作用力的物理量功之間的聯(lián)系，這是一種能量傳遞的規(guī)律。 14-1力的功 力的功是力沿路程累積效應(yīng)的度量。力的功是代數(shù)量。時(shí),正功；時(shí),功為零；時(shí),負(fù)功。單位：焦耳（）；一常力的功動(dòng) 力 學(xué)3 力在曲線路程中作功二變力的功 動(dòng) 力 學(xué) 力的元功（自然

2、形式表達(dá)式）4 三合力的功 質(zhì)點(diǎn)M 受n個(gè)力 作用合力為則合力的功動(dòng) 力 學(xué)（直角坐標(biāo)表達(dá)式）（矢量式）5四常見(jiàn)力的功 1重力的功質(zhì)點(diǎn)系： 質(zhì)點(diǎn)系重力的功，等于質(zhì)點(diǎn)系的重量與其在始末位置重心的高度差的乘積，而與各質(zhì)點(diǎn)的路徑無(wú)關(guān)。質(zhì)點(diǎn)：重力在三軸上的投影：動(dòng) 力 學(xué) 即 在任一路程上，合力的功等于各分力功的代數(shù)和。6 2彈性力的功 彈簧原長(zhǎng)，在彈性極限內(nèi)k彈簧的剛度系數(shù)，表示使彈簧發(fā)生單位變形時(shí)所需的力。N/m , N/cm。彈性力的功只與彈簧的起始變形和終了變形有關(guān)，而與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑無(wú)關(guān)。動(dòng) 力 學(xué)7作用于轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上力的功等于力矩的功。若m = 常量, 則注意：功的符號(hào)的確定。如果作用力偶，

3、m , 且力偶的作用面垂直轉(zhuǎn)軸 4作用于轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上的力的功，力偶的功設(shè)在繞 z 軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體上M點(diǎn)作用有力，計(jì)算剛體轉(zhuǎn)過(guò)一角度 時(shí)力所作的功。M點(diǎn)軌跡已知。動(dòng) 力 學(xué)8 1功率 力在單位時(shí)間內(nèi)所作的功（它是衡量機(jī)器工作能力的一個(gè)重要指標(biāo)）。功率是代數(shù)量，并有瞬時(shí)性。作用力的功率：力矩的功率：功率的單位：瓦特（W），千瓦（kW），W=J/s 。動(dòng) 力 學(xué) 六功率與機(jī)械效率9動(dòng) 力 學(xué)是評(píng)定機(jī)器質(zhì)量?jī)?yōu)劣的重要指標(biāo)之一。一般情況下 。2機(jī)械效率 有效功率與輸入功率之比稱(chēng)為機(jī)械效率。10 14-2動(dòng)能 物體的動(dòng)能是由于物體運(yùn)動(dòng)而具有的能量，是機(jī)械運(yùn)動(dòng)強(qiáng)弱的又一種度量。 瞬時(shí)量,與速度方向無(wú)關(guān)的正標(biāo)量,

4、具有與功相同的量綱,單位也是J。動(dòng) 力 學(xué)二質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能一質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能 質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)在某瞬時(shí)動(dòng)能的算術(shù)和稱(chēng)為該瞬時(shí)質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能。即：11動(dòng)的動(dòng)能之和。動(dòng) 力 學(xué) 對(duì)于任一質(zhì)點(diǎn)系：（ 為第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)質(zhì)心的速度） 柯尼希定理 柯尼希定理 剛體的動(dòng)能 平動(dòng)剛體的動(dòng)能 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能等于隨同質(zhì)心平動(dòng)的動(dòng)能與相對(duì)于質(zhì)心運(yùn)12（P為速度瞬心）動(dòng) 力 學(xué) 平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能 平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能等于隨同質(zhì)心平動(dòng)的動(dòng)能與繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能之和。13 14-3動(dòng)能定理一、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理因此微分形式的質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理兩邊點(diǎn)乘以，有動(dòng) 力 學(xué) 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理的微分形式質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的微分等于作用于質(zhì)點(diǎn)上的力的元

5、功。14動(dòng) 力 學(xué)將上式沿路徑積分， 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理的積分形式 積分形式的質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理得：在該路程上所作的功。二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的微分形式對(duì)質(zhì)點(diǎn)系中的一質(zhì)點(diǎn) ：在任一路程中，質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的變化，等于作用于質(zhì)點(diǎn)上的力15將上式沿路徑 積分，可得 積分形式的質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理對(duì)整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系，有動(dòng) 力 學(xué)即 微分形式的質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的微分，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系上所有力的元功之和。 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的積分形式 質(zhì)點(diǎn)系在某一段路程中始末位置動(dòng)能的改變量等于作用于質(zhì)點(diǎn)系上所有的力在相應(yīng)路程中所作功的和。16動(dòng) 力 學(xué) 在理想約束的條件下，質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理可寫(xiě)成以下的形式 理想約束條件下質(zhì)點(diǎn)系的

6、動(dòng)能定理 微分形式 積分形式 在理想約束的條件下，質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的微分，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系上所有主動(dòng)力的元功之和。 在理想約束的條件下，質(zhì)點(diǎn)系在某一段路程中始末位置動(dòng)能的改變量等于作用于質(zhì)點(diǎn)系上所有的主動(dòng)力在相應(yīng)路程中所作功的和。17 例14-5 已知：輪O的R1、m1,質(zhì)量分布在輪緣上; 均質(zhì)輪C的R2、m2純滾動(dòng), 初始靜止 ;, M為常力偶。求：輪心C走過(guò)路程S時(shí)的速度和加速度18輪C與輪O共同作為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系解：1920式(a)是函數(shù)關(guān)系式，兩端對(duì)t求導(dǎo)，得21 例 圖示的均質(zhì)桿OA的質(zhì)量為30kg，桿在鉛垂位置時(shí)彈簧處于自然狀態(tài)。設(shè)彈簧常數(shù)k =3kN/m，為使桿能由鉛直位置OA轉(zhuǎn)到水平位置

7、OA，在鉛直位置時(shí)的角速度至少應(yīng)為多大？解： 研究OA桿；由.03rad/s67=w動(dòng) 力 學(xué) 計(jì)算主動(dòng)力的功； 運(yùn)動(dòng)分析計(jì)算動(dòng)能； 根據(jù)動(dòng)能定理求解： 例 圖示系統(tǒng)中,均質(zhì)圓盤(pán)A、B各重P，半徑均為R, 兩盤(pán)中心線為水平線, 盤(pán)A上作用矩為M(常量)的一力偶；重物D重Q。問(wèn)下落距離h時(shí)重物的速度與加速度。(繩重不計(jì)，繩不可伸長(zhǎng)，盤(pán)B作純滾動(dòng)，初始時(shí)系統(tǒng)靜止)動(dòng) 力 學(xué)解： 取系統(tǒng)為研究對(duì)象； 計(jì)算主動(dòng)力的功； 運(yùn)動(dòng)分析計(jì)算動(dòng)能；23動(dòng) 力 學(xué) 根據(jù)動(dòng)能定理求解： 上式求導(dǎo)得：24動(dòng) 力 學(xué)例4兩根均質(zhì)直桿組成的機(jī)構(gòu)及尺寸如圖示；OA桿質(zhì)量是AB桿質(zhì)量的兩倍，各處摩擦不計(jì)，如機(jī)構(gòu)在圖示位置從靜

8、止釋放，求當(dāng)OA桿轉(zhuǎn)到鉛垂位置時(shí)，AB桿B 端的速度。解： 取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象 計(jì)算主動(dòng)力的功；25動(dòng) 力 學(xué) 運(yùn)動(dòng)分析計(jì)算動(dòng)能； 根據(jù)動(dòng)能定理求解： 2614-4機(jī)械能守恒定律 一勢(shì)力場(chǎng) 1力場(chǎng) 若質(zhì)點(diǎn)在某空間內(nèi)的任何位置都受到一個(gè)大小和方向完全由所在位置確定的力的作用，則此空間稱(chēng)為力場(chǎng)。 質(zhì)點(diǎn)在勢(shì)力場(chǎng)中受到的場(chǎng)力稱(chēng)為有勢(shì)力(保守力),如重力、彈性力等。 2勢(shì)力場(chǎng) 在力場(chǎng)中, 如果作用于質(zhì)點(diǎn)的場(chǎng)力作功只決定于質(zhì)點(diǎn)的始末位置，與運(yùn)動(dòng)路徑無(wú)關(guān)，這種力場(chǎng)稱(chēng)為勢(shì)力場(chǎng)(保守力場(chǎng)) 。重力場(chǎng)、萬(wàn)有引力場(chǎng)、彈性力場(chǎng)都是勢(shì)力場(chǎng)。 動(dòng) 力 學(xué)27二勢(shì)能 定義 在勢(shì)力場(chǎng)中, 質(zhì)點(diǎn)從位置M 運(yùn)動(dòng)到任選位置M0,

9、 有勢(shì)力所作的功稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)在位置M 相對(duì)于位置M0的勢(shì)能，用V 表示。 M0作為基準(zhǔn)位置，勢(shì)能為零，稱(chēng)為零勢(shì)能點(diǎn)。勢(shì)能具有相對(duì)性。是位置坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù)，稱(chēng)為勢(shì)能函數(shù)。將上式求微分，則有：動(dòng) 力 學(xué)281.重力場(chǎng) 質(zhì)點(diǎn)： 質(zhì)點(diǎn)系：質(zhì)點(diǎn)系的勢(shì)能： 即：有勢(shì)力在各坐標(biāo)軸上的投影等于勢(shì)能函數(shù)對(duì)于相應(yīng)坐標(biāo)偏導(dǎo)數(shù)的負(fù)值。 幾種勢(shì)能計(jì)算動(dòng) 力 學(xué)等勢(shì)面：質(zhì)點(diǎn)位于該面上任何地方，勢(shì)能都相等。29有勢(shì)力的功等于質(zhì)點(diǎn)系在運(yùn)動(dòng)中的始末位置的勢(shì)能之差。三有勢(shì)力的功在M1位置：M2位置：M1M2：動(dòng) 力 學(xué)2. 彈性力場(chǎng) 取彈簧的自然位置為零勢(shì)能點(diǎn)3. 萬(wàn)有引力場(chǎng) 取與引力中心相距無(wú)窮遠(yuǎn)處為零勢(shì)能位置30 設(shè)質(zhì)點(diǎn)系只

10、受到有勢(shì)力(或同時(shí)受到不作功的非有勢(shì)力) 作用，則對(duì)非保守系統(tǒng)，設(shè)非保守力的功為W12 , 則有 四機(jī)械能守恒定律機(jī)械能：系統(tǒng)的動(dòng)能與勢(shì)能的代數(shù)和。 質(zhì)點(diǎn)系只在有勢(shì)力作用下運(yùn)動(dòng)時(shí)，其機(jī)械能保持不變。這樣的系統(tǒng)稱(chēng)為保守系統(tǒng)。動(dòng) 力 學(xué) 機(jī)械能守恒定律有：31 例：已知：重物m=250kg, 以v=0.5m/s勻速下降，鋼索 k=3.35 N/m 求: 輪D突然卡住時(shí)，鋼索的最大張力32卡住前 卡住時(shí)：解：33得即由 有3414-6動(dòng)力學(xué)普遍定理及綜合應(yīng)用 動(dòng)力學(xué)普遍定理包括質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理和動(dòng)能定理。動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理是矢量形式，動(dòng)能定理是標(biāo)量形式，他們都可應(yīng)用研究機(jī)械運(yùn)動(dòng)，

11、而動(dòng)能定理還可以研究其它形式的運(yùn)動(dòng)能量轉(zhuǎn)化問(wèn)題。 動(dòng) 力 學(xué) 動(dòng)力學(xué)普遍定理提供了解決動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的一般方法。動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用，大體上包括兩方面的含義：一是能根據(jù)問(wèn)題的已知條件和待求量，選擇適當(dāng)?shù)亩ɡ砬蠼?，包括各種守恒情況的判斷，相應(yīng)守恒定理的應(yīng)用。避開(kāi)那些無(wú)關(guān)的未知量，直接求得需求的結(jié)果。二是對(duì)比較復(fù)雜的問(wèn)題，能根據(jù)需要選用兩、三個(gè)定理聯(lián)合求解。一動(dòng)力學(xué)普遍定理及綜合應(yīng)用含義35動(dòng) 力 學(xué)求解過(guò)程中,要正確進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析, 列出正確的運(yùn)動(dòng)學(xué)補(bǔ)充方程。已知主動(dòng)力和運(yùn)動(dòng)初始條件約束反力系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)約束反力系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)動(dòng)能定理；質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理；動(dòng)量定理；動(dòng)量矩定理；定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程；剛體平面運(yùn)動(dòng)微分

12、方程；各種守恒定理。質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理；動(dòng)量定理；動(dòng)量矩定理；剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程。二普遍定理綜合應(yīng)用三方面的問(wèn)題動(dòng)能定理；質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理；動(dòng)量定理；動(dòng)量矩定理；定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程；剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程；各種守恒定理。質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理；動(dòng)量定理；動(dòng)量矩定理；剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程。已知主動(dòng)力和運(yùn)動(dòng)初始條件36動(dòng)量、動(dòng)量矩 動(dòng)能矢量，有大小方向內(nèi)力不能使之改變只有外力能使之改變約束力是外力時(shí)對(duì)之有影響。不與能量相互轉(zhuǎn)化，應(yīng)用時(shí)不考慮能量的轉(zhuǎn)化與損失。當(dāng)外力主矢為零時(shí)，系統(tǒng)動(dòng)量 守恒當(dāng)外力對(duì)定點(diǎn)O或質(zhì)心的主矩為零時(shí)系統(tǒng)對(duì)定點(diǎn)或者質(zhì)心的動(dòng)量矩守恒。動(dòng)量定理描述質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)變化動(dòng)量矩定理描述繞質(zhì)心或繞定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)變化。非

13、負(fù)的標(biāo)量，與方向無(wú)關(guān)內(nèi)力作功時(shí)可以改變動(dòng)能理想約束不影響動(dòng)能只有作功能改變動(dòng)能可進(jìn)行能量轉(zhuǎn)化應(yīng)用時(shí)完全從功與能的觀點(diǎn)出發(fā)在保守系中，機(jī)械能守恒動(dòng)能定理描述質(zhì)心運(yùn)動(dòng)及相對(duì)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)中動(dòng)能的變化。37例：已知 l, m求：桿由鉛直倒下，剛到達(dá)地面時(shí)的角速度和地面約束力。動(dòng) 力 學(xué)38解：成 角時(shí)39（ a ）（ b）時(shí)40由（ a ）,（ b ）,（ c ） 得由其中： 鉛直 水平(c)41 三綜合應(yīng)用舉例 例1 兩根均質(zhì)桿AC和BC各重為P，長(zhǎng)為l，在C處光滑鉸接，置于光滑水平面上；設(shè)兩桿軸線始終在鉛垂面內(nèi)，初始靜止，C點(diǎn)高度為h，求鉸C到達(dá)地面時(shí)的速度。動(dòng) 力 學(xué)42解：由于不求系統(tǒng)的內(nèi)力，可以

14、不拆開(kāi)。 研究對(duì)象：整體； 分析受力如圖； 動(dòng) 力 學(xué) 計(jì)算主動(dòng)力的功； 運(yùn)動(dòng)分析計(jì)算動(dòng)能；43動(dòng) 力 學(xué)討論 動(dòng)量守恒定理動(dòng)能定理求解。 計(jì)算動(dòng)能時(shí)，利用平面運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系。 根據(jù)動(dòng)能定理求解： 例2 均質(zhì)圓盤(pán)A：m，r；滑塊B：m；桿AB：質(zhì)量不計(jì)，平行于斜面。斜面傾角 ，摩擦系數(shù)f ，圓盤(pán)作純滾動(dòng)，系統(tǒng)初始靜止。求：滑塊的加速度。44解： 選系統(tǒng)為研究對(duì)象運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：動(dòng) 力 學(xué) 計(jì)算主動(dòng)力的功； 運(yùn)動(dòng)分析計(jì)算動(dòng)能； 根據(jù)動(dòng)能定理求解： 45動(dòng) 力 學(xué)上式兩邊對(duì)求導(dǎo)，得：例3 重150N的均質(zhì)圓盤(pán)與重60N、長(zhǎng)24cm的均質(zhì)桿AB在B處用鉸鏈連接。 系統(tǒng)由圖示位置無(wú)初速地釋放。求系統(tǒng)經(jīng)過(guò)

15、最低位置B點(diǎn)時(shí)的速度及支座A的約束反力。解：（1）取圓盤(pán)為研究對(duì)象圓盤(pán)平動(dòng)。46代入數(shù)據(jù)，得動(dòng) 力 學(xué) 取系統(tǒng)研究。初始時(shí)T1=0 ， 最低位置時(shí)：（2）用動(dòng)能定理求速度。47（3）用動(dòng)量矩定理求桿的角加速度 。由于所以 0 。桿質(zhì)心 C的加速度：盤(pán)質(zhì)心加速度：（4）由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求支座反力。研究整個(gè)系統(tǒng)。代入數(shù)據(jù)，得動(dòng) 力 學(xué)48 相對(duì)質(zhì)心動(dòng)量矩守恒定理+動(dòng)能定理+動(dòng)量矩定理+質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理。 可用對(duì)積分形式的動(dòng)能定理求導(dǎo)計(jì)算，但要注意需取桿AB在 一般位置進(jìn)行分析。 例4 基本量計(jì)算 (動(dòng)量,動(dòng)量矩,動(dòng)能)動(dòng) 力 學(xué)49例 質(zhì)量為m 的桿置于兩個(gè)半徑為r ，質(zhì)量為的實(shí)心圓柱上，圓柱放在水平面上，求當(dāng)桿上加水平力時(shí)，桿