高考數(shù)學一輪復習 熱點難點精講精析 8.3曲線與方程

1、PAGE PAGE 6 2014年高考一輪復習熱點難點精講精析：8.3曲線與方程（一）用直接法求軌跡方程相關(guān)鏈接1如果動點運動的條件就是一些幾何量的等量關(guān)系，這些條件簡單明確，易于表述成含、的等式，得到軌跡方程，這種方法稱之為直接法。用直接法求動點軌跡的方程一般有建系設點、列式、代換、化簡、證明五個步驟，但最后的證明可以省略。運用直接法應注意的問題 (1)在用直接法求軌跡方程時，在化簡的過程中，有時破壞了方程的同解性，此時就要補上遺漏的點或刪除多余的點，這是不能忽視的.（2）若方程的化簡過程是恒等變形，則最后的驗證可以省略. 例題解析例如圖所示，設動直線垂直于x軸，且與橢圓交于A、B兩點，P是

2、上滿足的點，求點P的軌跡方程。思路解析：設P點坐標為(x,y)求出A、B兩點坐標代入求P點軌跡標明x的范圍。解答：設P點的坐標為(x,y)，則由方程，得，A、B兩點的坐標分別為，又，即又直線與橢圓交于兩點，-2x2,點P的軌跡方程為（-2x|，動圓圓心M（x,y）到點（-3，0）和（3，0）的距離和是常數(shù)12，所以點M的軌跡是焦點為點（-3，0）、（3，0），長軸長等于12的橢圓。2c=6,2a=12,c=3,a=6圓心軌跡方程為，軌跡為橢圓。方法二：由方法一可得方程(x+3)2+y兩邊再平方得：，整理得所以圓心軌跡方程為，軌跡為橢圓。注：（1）平面向量知識融入解析幾何是高考命題的一大特點，實

3、際上平面向量的知識在這里只是表面上的現(xiàn)象，解析幾何的實質(zhì)是坐標法，就是用方程的思想研究曲線，用曲線的性質(zhì)研究方程，軌跡問題正是體現(xiàn)這一思想的重要表現(xiàn)形式，我們只要能把向量所表示的關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標的關(guān)系，這類問題就不難解決了。而與解析幾何有關(guān)的范圍問題也是高考常考的重點。求解參數(shù)問題主要是根據(jù)條件建立含參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，然后確定參數(shù)的值。（2）回歸定義是解圓錐曲線問題十分有效的方法，值得重視。（3）對于“是否存在型”探索性問題的求解，先假設結(jié)論存在，若推證無矛盾，則結(jié)論存在；若推證出矛盾，則結(jié)論不存在。（三）用相關(guān)點法（代入法）求軌跡方程相關(guān)鏈接1動點所滿足的條件不易表述或求出，但形成軌跡的動點P

4、（x,y）卻隨另一動點的運動而有規(guī)律的運動，且動點Q的軌跡方程為給定或容易求得，則可先將表示x、y的式子，再代入Q的軌跡方程，然后整理得P的軌跡方程，代入法也稱相關(guān)點法。2用代入法求軌跡方程的關(guān)鍵是尋求關(guān)系式：，然后代入已知曲線。而求對稱曲線（軸對稱、中心對稱）方程實質(zhì)上也是用代入法（相關(guān)點法）解題。注：用代入法求軌跡方程是將x、y表示成x、y的式子，同時注意x、y的限制條件.例題解析例已知A（-1，0），B（1，4），在平面上動點Q滿足，點P是點Q關(guān)于直線y=2(x-4)的對稱點，求動點P的軌跡方程。思路解析：由已知易得動點Q的軌跡方程，然后找出P點與Q點的坐標關(guān)系，代入即可。解答： 設Q（

5、x,y），則故由，即所以點Q的軌跡是以C（0，2）為圓心，以3為半徑的圓。點P是點Q關(guān)于直線y=2(x-4)的對稱點。動點P的軌跡是一個以為圓心，半徑為3的圓，其中是點C（0，2）關(guān)于直線y=2(x-4) 的對稱點，即直線y=2(x-4)過的中點，且與垂直，于是有，解得：故動點P的軌跡方程為。（四）用參數(shù)法求軌跡方程例設橢圓方程為，過點的直線交橢圓于點A、B，O是坐標原點，點P滿足點N的坐標為，當繞點M旋轉(zhuǎn)時，求：（1）動點P的軌跡方程；（2）的最小值與最大值。解析：（1）直線過點，當斜率存在時，設其斜率為，則的方程為記由題設可得點A、B的坐標是方程組的解，消去得于是，設點P的坐標為，則 消去