雙曲線中?？嫉氖鶙l焦點(diǎn)性質(zhì)及其證明

1、 雙曲線中?？嫉氖鶙l焦點(diǎn)性質(zhì)及其證明（一）雙曲線的焦點(diǎn)到一條漸近線的距離等于虛半軸長(zhǎng)22證法一（坐標(biāo)法）：設(shè)雙曲線x2占1（a0,b0）焦點(diǎn)為F（c,O），ab一條漸近線為l:ybx即bxay0，aF（c,0）到I的距離為d|bc2a022雙曲線占爲(wèi)22雙曲線占爲(wèi)1(a0,b0)的兩個(gè)頂點(diǎn)為A1(a,0),A2(a,0),ab與y軸平行的直線交雙曲線于P1、P2時(shí)A1P1與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程7a2b2c證法二（幾何法）：過(guò)實(shí)軸端點(diǎn)A作實(shí)軸垂線AD交漸近線于點(diǎn)D，則DAbab，又ODa2b2cOF，a所以F（c,0）到I的距離FHDAb。（等腰三角形兩腰上的高相等）（二）雙曲線中，PT平分

2、焦點(diǎn)厶PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角，則焦點(diǎn)在直線PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以實(shí)軸為直徑的圓，除去實(shí)軸的兩個(gè)端點(diǎn)證明：延長(zhǎng)FiH到M,交PF2于M,則PMPF,又|PF|PF2|2a,IF2M|2a又H、0為MF1、F1F2中點(diǎn)，1-OHF2M|OH|a2H點(diǎn)的軌跡是以實(shí)軸為直徑的圓，除去實(shí)軸的兩個(gè)端點(diǎn)（三）設(shè)A1、A2為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，則PF1F2的內(nèi)切圓,必與A1A2所在的直線切于A2（或A1）.證明：設(shè)AA2切X軸于點(diǎn)A，與PR切于M,PF2切于N|PF,|PF2|2a|PM|MFj|PN|NF2|2a/|PM|=|PN|,|MF1|,|NF2|=|AF2|-|FA|AF2|2a又|FA|A

3、F2|2c-|AF21ca|A，F(xiàn)2|,A與A重合注：可知，圓心在直線xa或直線xa上.雙曲線焦三角形中，以焦半徑為直徑的圓必與以雙曲線實(shí)軸為直徑的圓相外切(或內(nèi)切).證明：以焦半徑MF2為直徑的圓的半徑為ri，圓心為Oi;以MFi為直徑的圓的半徑為2，圓心為02,由雙曲線定義知|MF,|MF2|AB|.11|0。1I2IF1M|_(|MF2|AB|)1a,圓0i與圓0外切又IMFIIAB|IMF2I.11-I002IIF2MI(IMF1IIABI)qa,22ny22maXoannyoyony2222nymamaxny22maXoannyoyony2222nymamaxoax0aamXdama

4、x0a2又mra2nb72nb*2*2n2amb22?a2yo22Xoab22aXo2ayob22即X2ab2(六)若Fo(Xo,y。)在雙曲線2X2a2yb221(ao,bo)上,則過(guò)R的雙曲線的切線方程是X；yo2y1ab證明：求導(dǎo)可得：兮呼oyXob22,abyoa切線方程yyo2(XXo)XoX2yoy,21yoaab22(七)若P0(x),yo)在雙曲線abi(ao，b0)外，則過(guò)P0作雙曲線的兩條切線切點(diǎn)為Pl、P2，則切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是xoxyoy1a2b2證明：設(shè)P(x,y),巳區(qū)2)，則過(guò)PPa切線分別為ii：孚巴y1，abl：x2xy?y1TPo在h、I2上1二過(guò)P

5、P2方程TPo在h、I2上1二過(guò)PP2方程XoXyoy過(guò)原點(diǎn)的弦,M為AB的中點(diǎn)，貝VkoMkABb22.a證明：設(shè)A(XA,yA),B(Xb,yB)，則M(XAyXByA2*),KOMKAByAyByAXaXbXa2222又Xa2yA.2Xb2yB.2ababb2KomKab2ayB2yA2yB22XbXaXb2222XaXdyAyB2.2ab22(九)若F0(X),y0)在雙曲線-2-1(a0,bab0)內(nèi)，則過(guò)P0的2弦中點(diǎn)的軌跡方程是2a證明：設(shè)弦與雙曲線交于y2X0Xyy222.bab2X2屮2X22y2K(X1X2)b2mb2ny02,22,2KP1P、22KPOSabab(y1y

6、2)anamX02,2,22222m2nmyymbmbX0nanay。2.22,2?ababP(X,y1),F2(X2,y2)，中點(diǎn)S(m,n)2即X-2ay2b2X0X2ay0yb222Xya2b21（a0,b0）上任一點(diǎn)A（X0,y。）任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交雙曲線于B,C兩點(diǎn)，則直線BC有定向且b2X0（十）過(guò)雙曲線kBC2ay。（常數(shù)）k一y1y0X1X0b222X1y12X22y222xy2XX0屮y0孑孑2-a孑產(chǎn)kACy2y0X2X0b2X2X0y2y0a由題意得=一y1y0(X2X0)b2y2yXX）b2XX0y2y02,aX2X0屮y02a展開(kāi)(yyyy2y。22y)ab

7、2(x1x2X0X2X0X1X0(y2yy1yy2y：)a22b(X1X2X0X1X0X2X02)0*y2b2x2KBC（定值）XX2ay0證明：設(shè)兩直線與雙曲線交于點(diǎn)（心丫丿化?。瑒t22（十一）雙曲線x2y21（aab點(diǎn)P為雙曲線上異于頂點(diǎn)任意一點(diǎn)形的面積為|PF|pf2|2bcos0,b0）的左右焦點(diǎn)分別為Fi,F2,F1PF2SF1PF2，則雙曲線的焦點(diǎn)三角b2tan2證明：設(shè)|PR|m,|PF2|2n2mncosn,|m24cn|2a，24a4b22b2mn(cos1)|PFiIIPF2|(m2b222n)4b，1cos1SVF1PF2mn2sinb22sinbcos1.tan222

8、(十一)右P為雙曲線221(a0,b0)右(或左)支上除ab頂點(diǎn)外的任一點(diǎn),F1,F2是焦點(diǎn)，PF1F2cacatancot(或tancot).ca22ca22證明：設(shè)P在左支，|PF2|PF1|2a,|F1F212cPF2F1，則oF,02(十四)已知雙曲線；2kx中a2(十四)已知雙曲線；2kx中a2y中y中b2kb2y1(a0,b0),A、B是雙曲線上的兩點(diǎn),線段AB的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)P(x,0),則X)或x0兩點(diǎn),證明:設(shè)A為(x,yj,證明:設(shè)A為(x,yj,為區(qū)2)，由點(diǎn)差法得:0y中xx中x0ky中x中,由得ba2a或x0顯然或x0(十五)雙曲線離心率為e,其焦點(diǎn)三角形PF1F2的旁心為A，線段PA的延長(zhǎng)線交PA的延長(zhǎng)線交F1F2的延長(zhǎng)線于點(diǎn)B，則me|BAILFB1LFB!IF1BIIF2BIIF1PIIF2PI2ce2aykx2x1(a0,b0)和2aBIF1BIIF2BIIF1PIIF2PI2ce2aykx2x1(a0,b0)和2aB、C、D四點(diǎn),代入雙曲線方程2I(01),b則|ABI=|CDI.2km2kmx2mb*2(a22yb21視作1的特殊情況弦中點(diǎn)坐標(biāo)xDx1X22二D(x,yo)與無(wú)關(guān)，AD、BC的中點(diǎn)同為T(mén),|AT|DT|且|AB|