考研數(shù)學三真題及答案

1、2011年 考 研 數(shù) 學 三 真 題一、選擇題(18小題，每小題4分，共32分。下列媒體給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的。)(1)已知當？ 0時，？?？= 3?鋤？儂等價無窮小，貝U(A) ?= 1,? 4(B) ? 1,? -4(C)?= 3,? 4(D) ?= 3,? -4【答案】C?！窘馕觥俊痉椒ㄒ弧?:。.一?%?-?=?3?0?:。.一?= 3?琴等?(?落次達法則)一 1 /?Z? ?3?_ QX=?)?d，2? + ?f2? )( ?,一 )11=11=? 2 +92)= 1由此得？?= 4?！痉椒ǘ坑商├展街?。5 + ?(?= 3?Q等 +?(，?貝U?=

2、 3?33? ?3- 3?仔等 + ?(?= 4?+ ?)4?= 4?+ ?)4?(?- 0)故？?= 3,?= 4?！痉椒ㄈ??3? 3?3?+ 3?Q ?3?3?2 ?3?-?-0?1 Q6 (3?6?3?2 ?3?-?-0?1 Q6 (3?6?13(?+?，(). ?c 1 M=10?翦 6?)+ ?”. ?119=?- 2 + 2)(=?3)8=1 2?故？?= 4綜上所述，本題正確答案是C?！究键c】高等數(shù)學一函數(shù)、極限、連續(xù)一無窮小量的性質(zhì)及無窮小量的比較，極限的四則運算高等數(shù)學一一元函數(shù)微分學一洛必達(LHospital)法則(2)已知？?(?)？?= 0處可導，且?o)= 0,

3、則？?-2?(?3)二 ?fo?r3(A) -2? (B) -? (0)(C) ?(砌【答案】Bo【解析】【方法一】加項減項湊？?= 0處導數(shù)定義?- 2?(?) ?-?-0?- ?0) ?- 2?(?) ?-?-0?- ?0) - 2?) + 2?(0) ?-0?- ?0)- 2?:0?) - ?(0)?=?(0) - 2?(0) = -? (0)【方法二】拆項用導數(shù)定義?- 2?(?-?- 2?(?-?-0?)?- 2?-由于？?0) = 0,由導數(shù)定義知?= ?(0), ?-0 ?= ?(0), ?-0 ?)?7 =? (0)所以？?F?所以？?F?；?.) = ?(0) - 2?(0)

4、 = -?fo?【方法三】排除法：選擇符合條件的具體函數(shù)(0)? = ?測?- 2?(?？?-?- 2?(?？?-?- = ?2?fo?f ?=-1而對于？?？= ?(0) = 1,顯然選項(A)(C)(D)都是錯誤的，故應選(B)【方法四】由于?(?)?= 0處可導，則?= ?0) + ?(0)?+ ?= ?(0)?+ ?(?)?) = ?(0)?+ ?(?管個?- 2?(?個管管個?- 2?(?個管?!?)?仔？?(?) 2?(0)?+ ?(，?fo?fo?=?(0) - 2?(0) = -? (0)綜上所述，本題正確答案是B。【考點】高等數(shù)學一一元函數(shù)微分學一導數(shù)和微分的概念，導數(shù)和微

5、分的四則運算設?*是數(shù)列，則下列命題正確的是(A)若少=1?攵斂，則 少=1(?-1 + ?)收斂 (B)若少=1(?1 + ?)收斂，則 ?=1?攵斂 (C)若6=1?攵斂，則少=i(?-i - ?)收斂, (D)若5=i(?i -?)收斂，則方=1?攵斂 【答案】A?！窘馕觥咳羯?1?攵斂，則該級數(shù)加括號后得到的級數(shù)仍收斂綜上所述，本題正確答案是A【考點】高等數(shù)學一無窮級數(shù)一級數(shù)的基本性質(zhì)與收斂的必要條件?(4)設？ J04 ?,?!?物大小關系為(A) ? ?殳？犯)? ? ?(C) ? ?R ?D) ? ?及 ?【答案】Bo同一區(qū)間上定積分的大小比較最常用的思想就是比較被積函數(shù)大小,由

6、于當 0 V ? 的寸，0 ?!? ?又因為？?揶,+s)上的單調(diào)增函數(shù)，所以 ?2V :, , , , , , , , 4 4?故 J04 ?4?即？： ?0和 J ?(?)? = ? (?皤 J ？?(?)?？?(?麗？?(?初分布函數(shù)由于？?(?打？?(?為兩個分布函數(shù)，顯然？?(?)？?也是分布函數(shù)，?和？?(？為=?虱？?(？+ ?(?) ?)綜上所述，本題正確答案是 Do【考點】概率論與數(shù)理統(tǒng)計一多隨機變量及其分布一隨機變量分布函數(shù)的概念及其性質(zhì)，連續(xù)型隨機變量的概率密度(8)設總體？?勺服從參數(shù)為入(0)的泊松分布，？,？,？?42)為來自 該總體的簡單隨機樣本，則對于統(tǒng)計量 ？

7、=，丫?=1？笏口?？=？-1 里=11 ？+ ；？2有 TOC o 1-5 h z (A) ？ ？B)？、 1 1 1 1 2 , 1 .2 a 1 , 1 (C)？ ？D)？*？ / i , 1 t i 2 , 1 B【答案】Do【解析】？(？,斯以，？= ？= ？,？,？目互獨立均服從？(？) 可求得？?？= ？= ？= ？= ？而？= ? ?, ?=二？ + 2?2?-1?所以？?？? ? ?綜上所述，本題正確答案是 Do【考點】概率論與數(shù)理統(tǒng)計一數(shù)理統(tǒng)計的概念一常見隨機變量的分布，總體個體，簡單隨機樣本 二、填空題(914小題，每小題4分，共24分。)?(9)設？?？= lim ?(

8、1+ 3?歆則？?(?=。?fo【答案】?3?(1 + 3?)【解析】1?= lim ?1 + 3?)?3?3?= ?fo?(?= ?3?+ 3? = ?3?(1 + 3?)綜上所述，本題正確答案是？3?(1 + 3??！究键c】高等數(shù)學一一元函數(shù)微分學一導數(shù)和微分的四則運算一？ ? 一(10)設函數(shù) z= (1 + J?則？?(?,1)=?！敬鸢浮?2?21)d?+ (-2?2 1)?【解析】由z = (1 + ?)”可得? ?n?(1+ ? ?n?(1+ 各 ?n(1 +?+?1+ ?1+ ?1? 1=(1 + I?1?” (1 + ? + ?+ ? ?z?- ?n?(1+ ? 2? Z?,

9、X2? - ?ln( ? ?1?+ ? ?=-(1 +?字n(1 +?+ 中？ 所以？?(？1)=巧 ？?？? (2?21)d?+ (-2?2?(1,1)?(1,1)1)?綜上所述，本題正確答案是(2?21)d?+ (-2?2 1)?【考點】高等數(shù)學一多元函數(shù)微積分學一多元函數(shù)偏導數(shù)的概念與計算(11)曲線？?？+ ?+ 3=?在點(0,0)處的切線方程為 4【答案】？?= -2?。【解析】方程？?？?+ ?+?) = ?刑端對？家導得?(?+ ?+?-) (1 + ?) = ?將？?= 0,?= 0代入上式，？ = -2故所求切線方程為？?= -2?【考點】高等數(shù)學一一元函數(shù)微分學一復合函數(shù)

10、、反函數(shù)和隱函數(shù)的微分法，平面曲線的切線與法線(12)曲線？?= v7?)，直線？?= 2及?軸所圍成的平面圖形繞？軸旋轉(zhuǎn)所成 的旋轉(zhuǎn)體的體積為?！敬鸢浮?3)【解析】由旋轉(zhuǎn)體公式得 TOC o 1-5 h z c2 c1 o 24?= ?r ? ?f(?- 1)? ?(?- ?)i = , M M / /I11313綜上所述，本題正確答案是竺?。 3【考點】高等數(shù)學一一元函數(shù)積分學一定積分應用(13)設二次型？?,？?,？?)= ?磐?柏秩為1, ?)勺各行元素之和為3,則？?在正交變換？?= ?的標準形為?！敬鸢浮??【解析】?3 13?3 13?31 = 3?3 13?1 +?2 + ?

11、3 = 3 ?1?1 + ?2 + ?3 = 3 ?1?1 + ?2 + ?3 = 3 ?111?W1 = 31所以？?= 3是？勺一個特征值再由二次型？?？秩為1? = 1? ?= 0是？?勺2重特征值。因此正交變換下標準形為3?綜上所述，本題正確答案是3??！究键c】線性代數(shù)一二次型一二次型的秩，用正交變換和配方法化二次型為標準形（14）設二維隨機變量（?,?服從正態(tài)分布？?（?？; ？?？;0）,則？?）？=【答案】？?+ ?。（?服從正態(tài)分布？?（?？;？?？;0）所以？與？才目互獨立，且? ? ? ? ? = ?= ?+ （?2? = ?（9?+ ?）= ?+ ? 1 1mm ! 、/

12、_ I / 綜上所述，本題正確答案是？?+ ??！究键c】概率論與數(shù)理統(tǒng)計一隨機變量的數(shù)字特征一隨機變量的數(shù)學期望（均值）、方差、標準差及其性質(zhì)三、解答題：1523小題，共94分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。(15)求極限？?溺?-?-1 ?(1+?)【方法一】+2?-?4?夕?一?(1+?)-1+2?-?4?夕?一?(1+?)=?W.?(等價無窮小代換)?,-1=?y?;?（洛必達法則）1?：?限為非零常數(shù)的因子極限先求)cccccccc ?!?.?也氣洛必達法則)2?-01【方法二】以1+2?-?-14+2?-?-1一?以1+2?-?-14+2?-?-1一?也?（1+?）=寫吟:

13、（等價無窮小代換）=濟?胃-（?+2）（分子有理化）12? - 2?1?=-?=+ ?2 ?fo2?2?【考點】高等數(shù)學一函數(shù)、極限、連續(xù)一無窮小量的性質(zhì)及無窮小量的比較，極限的四則運算(16)已知函數(shù)？?(?？?具有二階連續(xù)偏導數(shù)，？?1,1) = 2是？?(?？?的極值,?2?= ?（? ?（?）求一一|, . ?夕?=1?=1?由鏈導法則，?= ?+ ? + ?4 其中？?= ?+ ?= ?（?）所以?2 ?, , 一， ，0”。= ?+ ? + （? ?+ ?*?+ ?*? r r r r由于？1,1)= 2是？?(?？,?的極值，貝U?以1,1） = ?1,1） = 0,?（1,1）

14、 = ?/） = 0,令？?= ?= 1 ,得=? ?2,2) + ?即=? ?2,2) + ?即2,2)? ?1,1)?=1?-1?=1=? ?2,2)+ ?(2,2)? ?1,1)【考點】高等數(shù)學一多元函數(shù)微積分學一多元函數(shù)偏導數(shù)的概念與計算，多元函數(shù)的極值(17)求不定積分/?【方法一】令?= ?則？?= ?,? 2?(17)求不定積分/?【方法一】令?= ?則？?= ?,? 2? 2(?2?)?J I f ?=2?2 / ( Vl- ?+ 2)?=2?+?/ ?(1- 閾-4? Vl- ?=2?2V1 - ?- 4?a ?=2v?(?+?2v7b- 4M ?【方法二】?+? V? 2(

15、?)?J1 =2v?(?鈍?2 /(1+ -1)?2 A/1 - ? A/?=2v?(?+?2V1 - ?Q 4v?仔?【考點】高等數(shù)學一一元函數(shù)積分學一不定積分的基本性質(zhì)，基本積分公式，不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法(18)證明4?毋?-卷=0恰有兩個實根。3【解析】令？?？= 4?堂-v3,本題也就是要證明？(?)有兩個 3零點3- ?(? =1 + ?1 = T?(? =1 + ?1 + ?令？?(?= 0得？?= 士V3,貝U當？?6 (-巴-通)時,?(? 0,?(?萼調(diào)增；當？?6 (送,+s)時，?(? 0?(?= ? V3= ? +00? f+003則？?= v3為？

16、?(?)一個零點，在(v3,+s)內(nèi)？?(?磔有一個零點故 4? v3 = 0 恰有兩個實根。3【考點】高等數(shù)學一一元函數(shù)微分學一基本初等函數(shù)的導數(shù)，函數(shù)單調(diào)性的判別(19)設函數(shù)？?(?彎0,1上有連續(xù)導數(shù)，？?0) = 1且? ?(?+ ? ?(?)?熨？小(?)|0 ? TOC o 1-5 h z ? /? / ,、| ?,?0 W?W ?(0 t W1).求？(?物表達式?！窘馕觥炕阎仁阶筮叺亩胤e分為二次積分計算?-? ?(?+ ?( r ? *?)? I ， e乂 J 、/，CC00?r? ?-?=/ ( / ? ?)?(?)? 00?=/ ?(? ?)?=? / ?)?- ?

17、(?)? 00?=?- r ?(?)? J% / 0等式右邊的二重積分化為二次積分? ?(?)?) 1? 、， ! ! TOC o 1-5 h z ?加?可知？1?域？?的面積，區(qū)域易得為三角形，面積為-? ? ?2所以？ ？(？)？?)1? /? 一一1c所以？?- f0 ? - ?(?)兩邊對徐導得(2 - ?(?= 2?(?)?解得？?)?= -y,由？?0) = 1 得？?= 4(2-?)所以？?)?=就T，(0 W?W 1)【考點】高等數(shù)學一多元函數(shù)微積分學一二重積分的概念、基本性質(zhì)和計算，二重積分的幾何意義高等數(shù)學常微分方程和差分方程齊次微分方程，一階線性微分方程(20) 設向量組

18、?1 = (1,0,1) ?， ?2 = (0,1,1) ?， ?3 = (1,3,5) ?高等數(shù)學常微分方程和差分方程齊次微分方程，一階線性微分方程(20) 設向量組?1 = (1,0,1) ?， ?2 = (0,1,1) ?， ?3 = (1,3,5) ?不能由向量組?1 = (1,1,1) ?， ?2 = (1,2,3) ?， ?3 = (3,4, ?)?線性表示求 ?的值；將 ?1 ,?2,?3用 ?1,?2,?3線性表示?！窘馕觥?I) 因為|?1,?2,?3| = |01 101113|= 1 #0,所以？,？,？線性無關。5那么？1 ,？2,？3不能由？1,？2,？3線性表示？1

19、 ,？2,？3線性相關，即1|？1 ,？2,？3| = | 11所以 ？= 513112 4| = |0 13 ？0 231 | = ？- 5 = 0？- 3如果方程組？1？1 + ？2？2 + ？3？3 = ？（？= 1,2,3）都有解，即？1 ,？2,？3可由？1 ,？2,？3線性表示，因為現(xiàn)在的三個方程組系數(shù)矩陣是相同的，故可拼在一起加減消元，然后再獨立的求解對 （？1,？2,？3？1 ,？2,？3）做初等行變換，有101110 1 3 ？1 21 1 51 31-0031040 15010111 3 ？10 1 -111133 ？1 2 4 402213102 4 0 10200020

20、 ？41 -1152 100 -2所以？1=2？1 +4？2 -？3，？2=？1+2？2？3 = 5？1 + 10？2 - 2？3【考點】線性代數(shù)一向量一向量的線性組合與線性表示，向量組的線性相關與線性無關 TOC o 1-5 h z 11-11(21) 設?為3 階實對稱矩陣，?的秩為2，且? 00= 00-1111求 ?的所有特征值與特征向量；求矩陣 ?【解析】因 ?(?) = 2知 |?| = 0，所以 ?= 0是 ?的特征值1-1111又 ? 0 = 0 = - 0 ， ?0 = 0-11-111所以按定義，?= 1是 ?的特征值，?1 = (1,0,1) ?是 ?屬于?= 1的特征向

21、量;?= -1 是 ?的特征值，?2 = (1,0, -1) ?是 ?屬于?= -1 的特征向量。?3 = (?1 , ?2 ,?3 )?是 ?屬于?= 0的特征向量，作為實對稱矩陣特征值不同特征向量相互正交，因此解出?3 = (0,1,0)?1 ?3 = ?1?+ ?3 = 0解出 ?2?3 = ?1解出?3 = (0,1,0)?故矩陣?的特征值為1, -1,0 ；特征向量依次為?1(1,0,1)?,?2(1,0,-1) ?,?3(0,1,0)?,其中?1,?2,?3均是不為0 的任意常數(shù)。0 110-100010 1-10由 ?(?1,?2,?3) = (?1,-?0 110-100010 1-101 -1?= (?1,-?2,0)(?1,?2,?3)-1 = 00110 0 1= 0 0 01 0 0【考點】線性代數(shù)一矩陣的特征值與特征向量一矩陣的特征值和特征向量的概念、性質(zhì)，實對稱矩陣的特征值和特征向量及相似對角矩陣(22)設隨機變量？?勺概率分布分別為X01P1233?-101P且？?？ = ? = i(I)求二維隨機變量(?？?羽概率分布;(II)求？?= ?概率分布;(III)求？?勺相關系數(shù)？?(I)由？?？ = ? = 1 得？?？ ? = 0而？?？?？? = ?