02教學(xué)設(shè)計與反思-正弦定理

1、PAGE PAGE 7教學(xué)設(shè)計與反思正弦定理瑞金第二中學(xué) 許保發(fā)一、教學(xué)內(nèi)容分析“正弦定理”是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書數(shù)學(xué)（必修5）（人教版）第一章第一節(jié)的主要內(nèi)容，它既是初中“解直角三角形”內(nèi)容的直接延拓，也是三角函數(shù)一般知識和平面向量等知識在三角形中的具體運(yùn)用，是解可轉(zhuǎn)化為三角形計算問題的其它數(shù)學(xué)問題及生產(chǎn)、生活實(shí)際問題的重要工具，因此具有廣泛的應(yīng)用價值。為什么要研究正弦定理？正弦定理是怎樣發(fā)現(xiàn)的？其證明方法是怎樣想到的？還有別的證法嗎？這些都是教材沒有回答，而確實(shí)又是學(xué)生所關(guān)心的問題。本節(jié)課是“正弦定理”教學(xué)的第一課時，其主要任務(wù)是引入并證明正弦定理，在課型上屬于“定理教學(xué)課”。因此，

2、做好“正弦定理”的教學(xué)，不僅能復(fù)習(xí)鞏固舊知識，使學(xué)生掌握新的有用的知識，體會聯(lián)系、發(fā)展等辯證觀點(diǎn)，而且通過對定理的探究，能使學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生提出問題、解決問題等研究性學(xué)習(xí)的能力。二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了解直角三角形的內(nèi)容，在必修4中，又學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識和平面向量的有關(guān)內(nèi)容，對解直角三角形、三角函數(shù)、平面向量已形成初步的知識框架，這不僅是學(xué)習(xí)正弦定理的認(rèn)知基礎(chǔ)，同時又是突破定理證明障礙的強(qiáng)有力的工具。正弦定理是關(guān)于任意三角形邊角關(guān)系的重要定理之一，課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)在教學(xué)中要重視定理的探究過程，并能運(yùn)用它解決一些實(shí)際問題，可以使學(xué)生進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)在實(shí)

3、際中的應(yīng)用，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，也為學(xué)習(xí)正弦定理提供一種親和力與認(rèn)同感。三、設(shè)計思想本節(jié)課采用探究式課堂教學(xué)模式，即在教學(xué)過程中，在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下，以學(xué)生獨(dú)立自主和合作交流為前提，以問題為導(dǎo)向設(shè)計教學(xué)情境，以“正弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明”為基本探究內(nèi)容，為學(xué)生提供充分自由表達(dá)、質(zhì)疑、探究、討論問題的機(jī)會，讓學(xué)生通過個人、小組、集體等多種解難釋疑的嘗試活動，在知識的形成、發(fā)展過程中展開思維，逐步培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、探索問題、解決問題的能力和創(chuàng)造性思維的能力。四、教學(xué)目標(biāo)1、讓學(xué)生從已有的幾何知識出發(fā), 通過對任意三角形邊角關(guān)系的探索，共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察，

4、實(shí)驗(yàn)，猜想，驗(yàn)證，證明，由特殊到一般歸納出正弦定理，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法，理解三角形面積公式，并學(xué)會運(yùn)用正弦定理解決解斜三角形的兩類基本問題。2、通過對實(shí)際問題的探索，培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，增強(qiáng)學(xué)生的協(xié)作能力和交流能力，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的能力。3、通過學(xué)生自主探索、合作交流，親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、善于發(fā)現(xiàn)、不畏艱辛的創(chuàng)新品質(zhì)，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的成功心理，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。4、培養(yǎng)學(xué)生合情合理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思想方法，通過平面幾何、三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。五、教

5、學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理的發(fā)現(xiàn)與證明；正弦定理的簡單應(yīng)用。教學(xué)難點(diǎn)：正弦定理的猜想提出過程。教學(xué)準(zhǔn)備：制作多媒體課件，學(xué)生準(zhǔn)備計算器，直尺，量角器。六、教學(xué)過程（一）結(jié)合實(shí)例，激發(fā)動機(jī)師生活動：教師：展示情景圖如圖1，船從港口B航行到港口C，測得BC的距離為，船在港口C卸貨后繼續(xù)向港口A航行，由于船員的疏忽沒有測得CA距離，如果船上有測角儀我們能否計算出A、B的距離？學(xué)生：思考提出測量角A，C 教師：若已知測得， ，（圖1）要計算A、B兩地距離，你有辦法解決嗎？學(xué)生：思考交流，畫一個三角形，使得為， ，量得距離約為，利用三角形相似性質(zhì)可知AB約為。老師：在初中，我們學(xué)過相似三角形，也學(xué)過

6、解直角三角形，大家還記得嗎？師生：共同回憶解直角三角形， = 1 * GB3 直角三角形中，已知兩邊，可以求第三邊及兩個角。 = 2 * GB3 直角三角形中，已知一邊和一角，可以求另兩邊及第三個角。教師：引導(dǎo)，是斜三角形，能否利用解直角三角形，精確計算AB呢？學(xué)生：思考，交流，得出過A作于，如圖2，把分為兩個直角三角形，解題過程，學(xué)生闡述，教師板書。解：過A作于D（圖2）在中，在中，教師：表示對學(xué)生贊賞，那么剛才解決問題的過程中，若，能否用B、b、C表示c呢？教師：引導(dǎo)學(xué)生再觀察剛才解題過程。學(xué)生：發(fā)現(xiàn)， 教師：引導(dǎo)，在剛才的推理過程中，你能想到什么？你能發(fā)現(xiàn)什么？學(xué)生：發(fā)現(xiàn)既然有，那么也有

7、，。教師：引導(dǎo)，我們習(xí)慣寫成對稱形式，因此我們可以發(fā)現(xiàn)，是否任意三角形都有這種邊角關(guān)系呢？設(shè)計意圖：興趣是最好的老師。如果一節(jié)課有良好的開頭，那就意味著成功的一半。因此，通過從學(xué)生日常生活中的實(shí)際問題引入，激發(fā)學(xué)生思維，激發(fā)學(xué)生的求知欲，引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，在解決問題后，對特殊問題一般化，得出一個猜測性的結(jié)論猜想，培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般思想意識，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維能力。（二）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證猜想教師：給學(xué)生指明一個方向，先通過特殊例子檢驗(yàn)=是否成立，舉出特例。（1）在ABC中，A，B，C分別為，對應(yīng)的邊長a：b：c為1：1：1，對應(yīng)角的正弦值分別為，引導(dǎo)學(xué)生考察，的關(guān)系。（學(xué)生回答它

8、們相等）（2）在ABC中，A，B，C分別為，對應(yīng)的邊長a：b：c為1：1：，對應(yīng)角的正弦值分別為，1；（學(xué)生回答它們相等）（3）在ABC中，A，B，C分別為，對應(yīng)的邊長a：b：c為1：2，對應(yīng)角的正弦值分別為，1。（學(xué)生回答它們相等）（圖3）BaACcb(圖4) （圖3）教師：對于呢？學(xué)生：思考交流得出，如圖4，在RtABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,則有，又，則，從而在直角三角形ABC中，教師：那么任意三角形是否有呢？學(xué)生：分組互動，每組畫一個三角形，度量出三邊和三個角度數(shù)值，通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)計算，比較、的近似值。 教師：借助多媒體演示隨著三角形任意變換，、值仍然保持相等。我們猜想：=設(shè)

9、計意圖：讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，激起學(xué)生的好奇心和求知欲望。學(xué)生自己進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，體會到數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的歸納和演繹推理的兩個側(cè)面。（三）證明猜想，得出定理師生活動：教師：我們雖然經(jīng)歷了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，多媒體技術(shù)支持，對任意的三角形，如何用數(shù)學(xué)的思想方法證明呢？前面探索過程對我們有沒有啟發(fā)？學(xué)生分組討論，每組派一個代表總結(jié)。（以下證明過程，根據(jù)學(xué)生回答情況進(jìn)行敘述）學(xué)生：思考得出 = 1 * GB3 在中，成立，如前面檢驗(yàn)。（圖5） = 2 * GB3 在銳角三角形中，如圖5設(shè)，作：，垂足為在中，在中， 同理，在中， （圖6） = 3 * GB3 在鈍角三角形中，如圖6設(shè)為鈍角，作交的延長線于在中，在中，同銳角三角

10、形證明可知 教師：我們把這條性質(zhì)稱為正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即還有其它證明方法嗎？學(xué)生：思考得出，分析圖形（圖7），對于任意ABC，由初中所學(xué)過的面積公式可以得出：，而由圖中可以看出：，=等式中均除以后可得， 即。教師邊分析邊引導(dǎo)學(xué)生，同時板書證明過程。(圖7)ABCDEFbac（圖7） 在剛才的證明過程中大家是否發(fā)現(xiàn)三角形高，三角形的面積：，能否得到新面積公式學(xué)生：得到三角形面積公式教師：大家還有其他的證明方法嗎？比如：、都等于同一個比值，那么它們也相等，這個到底有沒有什么特殊幾何意義呢？（圖8）學(xué)生：在前面的檢驗(yàn)中，中，恰為外接接圓的直徑，即，所以作的外接圓

11、，為圓心，連接并延長交圓于，把一般三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形。證明：連續(xù)并延長交圓于， 在中，即 同理可證：，教師：從剛才的證明過程中, ，顯示正弦定理的比值等于三角形外接圓的直徑，我們通過“作高法”、“等積法”、“外接圓法”等平面幾何方法證明正弦定理，能否利用其他知識來證明正弦定理？比如，在向量中，我也學(xué)過，這與邊的長度和三角函數(shù)值有較為密切的聯(lián)系，是否能夠利用向量積來證明正弦定理呢？學(xué)生：思考（聯(lián)系作高的思想）得出：在銳角三角形中，作單位向量垂直于，（圖9）即同理：對于鈍角三角形，直角三角形的情況作簡單交代。教師：由于時間有限，對正弦定理的證明到此為止，有興趣的同學(xué)課后再探索。設(shè)計意圖：經(jīng)歷證

12、明猜想的過程，進(jìn)一步引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生利用已有的數(shù)學(xué)知識論證猜想，力圖讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程。（四）利用定理，解決引例師生活動：教師：現(xiàn)在大家再用正弦定理解決引例中提出的問題。學(xué)生：馬上得出：在中，（五）了解解三角形概念設(shè)計意圖：讓學(xué)生了解解三角形概念，形成知識的完整性教師：一般地，把三角形的三個角、和它們的對邊、叫做三角形的元素，已知三角形的幾個元素，求其他元素的過程叫做解三角形。設(shè)計意圖：利用正弦定理，重新解決引例，讓學(xué)生體會用新的知識、新的定理解決問題更方便、更簡單，激發(fā)學(xué)生不斷探索新知識的欲望。（六）運(yùn)用定理，解決例題例1：在中，已知，解三角形。分析“已知三角形中兩角及一邊，求其他元素”，

13、第一步可由三角形內(nèi)角和為求出第三個角C，再由正弦定理求其他兩邊。學(xué)生：反饋練習(xí)（教科書第5頁的練習(xí)）設(shè)計意圖：自己解決問題，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情和動力，使學(xué)生體驗(yàn)到成功的愉悅感，變“要我學(xué)”為“我要學(xué)”，“我要研究”的主動學(xué)習(xí)。（七）嘗試小結(jié)教師：提示引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容。學(xué)生：思考交流，歸納總結(jié)。師生：讓學(xué)生嘗試小結(jié)，教師及時補(bǔ)充，要體現(xiàn)：（1）正弦定理的內(nèi)容（）及其證明思想方法。（2）正弦定理的應(yīng)用范圍：已知三角形中兩角及一邊，求其他元素；已知三角形中兩邊和其中一邊所對的角，求其他元素。設(shè)計意圖：通過學(xué)生的總結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生的歸納總結(jié)能力和語言表達(dá)能力。（八）作業(yè)設(shè)計作業(yè)：第10頁習(xí)題1

14、.1A組第1、2題。課外鏈接：課后通過查閱相關(guān)書籍，上網(wǎng)搜索，了解關(guān)于正弦定理的發(fā)展及應(yīng)用七、教學(xué)反思本節(jié)課，學(xué)生在不知正弦定理內(nèi)容和證明方法的前提下，在教師預(yù)設(shè)的思路中，學(xué)生積極主動參與一個個相關(guān)聯(lián)的探究活動過程，通過“觀察實(shí)驗(yàn)歸納猜想證明”的數(shù)學(xué)思想方法發(fā)現(xiàn)并證明定理，讓學(xué)生經(jīng)歷知識形成的過程，感受到創(chuàng)新的快樂，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。其次，以問題為導(dǎo)向設(shè)計教學(xué)情境，促使學(xué)生去思考問題，去發(fā)現(xiàn)問題，讓學(xué)生在“活動”中學(xué)習(xí)，在“主動”中發(fā)展，在“合作”中增知，在“探究”中創(chuàng)新。1、結(jié)合實(shí)例，激發(fā)動機(jī)數(shù)學(xué)源于現(xiàn)實(shí)，從學(xué)生日常生活中的實(shí)際問題引入，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生利用已有的知識解決新的問題，方法一通過相似三角形相似比相等進(jìn)行計算，方法二轉(zhuǎn)化解直