復(fù)數(shù)的知識點總結(jié)與題型歸納

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)復(fù)數(shù)的知識點總結(jié)與題型歸納一、知識要點1復(fù)數(shù)的有關(guān)概念我們把集合Ceq blcrc(avs4alco1(abi|a，bR)中的數(shù)，即形如abi(a，bR)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位全體復(fù)數(shù)所成的集合C叫做復(fù)數(shù)集復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即zabi(a，bR)，這一表示形式叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式對于復(fù)數(shù)zabi，以后不作特殊說明都有a，bR，其中的a與b分別叫做復(fù)數(shù)z的實部與虛部說明：(1)復(fù)數(shù)集是最大的數(shù)集，任何一個數(shù)都可以寫成abi(a，bR)的形式，其中000i.(2

2、)復(fù)數(shù)的虛部是實數(shù)b而非bi.(3)復(fù)數(shù)zabi只有在a，bR時才是復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，否則不是代數(shù)形式2復(fù)數(shù)相等在復(fù)數(shù)集Ceq blcrc(avs4alco1(abi|a，bR)中任取兩個數(shù)abi，cdi(a，b，c，dR)，我們規(guī)定：abi與cdi相等的充要條件是ac且bd.3復(fù)數(shù)的分類對于復(fù)數(shù)abi，當(dāng)且僅當(dāng)b0時，它是實數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)ab0時，它是實數(shù)0；當(dāng)b0時，叫做虛數(shù)；當(dāng)a0且b0時，叫做純虛數(shù)這樣，復(fù)數(shù)zabi可以分類如下：復(fù)數(shù)zeq blcrc (avs4alco1(實數(shù)(b0)，,虛數(shù)(b0)(當(dāng)a0時為純虛數(shù)).)說明：復(fù)數(shù)集、實數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關(guān)系4復(fù)數(shù)的幾何意義

3、(1)復(fù)數(shù)zabi(a，bR)eq o(,sup7(一一對應(yīng)) 復(fù)平面內(nèi)的點Z(a，b)(2)復(fù)數(shù)zabi(a，bR) eq o(,sup7(一一對應(yīng))平面向量eq o(OZ,sup7().5復(fù)數(shù)的模(1)定義：向量OZ的模r叫做復(fù)數(shù)zabi(a，bR)的模(2)記法：復(fù)數(shù)zabi的模記為|z|或|abi|.(3)公式：|z|abi|req r(a2b2)(r0，rR)說明：實軸、虛軸上的點與復(fù)數(shù)的對應(yīng)關(guān)系實軸上的點都表示實數(shù)；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)，原點對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對為(0,0)，它所確定的復(fù)數(shù)是z00i0，表示的是實數(shù)6復(fù)數(shù)的加、減法法則設(shè)z1abi，z2cdi(a，b，c，

4、dR)，則z1z2(ac)(bd)i，z1z2(ac)(bd)i.7復(fù)數(shù)加法運算律設(shè)z1，z2，z3C，有z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)8復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2對應(yīng)的向量為eq o(OZ1,sup7()，eq o(OZ2,sup7()，則復(fù)數(shù)z1z2是以eq o(OZ1,sup7()，eq o(OZ2,sup7()為鄰邊的平行四邊形的對角線eq o(OZ,sup7() 所對應(yīng)的復(fù)數(shù)，z1z2是連接向量eq o(OZ1,sup7()與eq o(OZ2,sup7()的終點并指向eq o(OZ1,sup7()的向量所對應(yīng)的復(fù)數(shù)它包含兩個方面：一方面是利用幾何意義可

5、以把幾何圖形的變換轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)運算去處理，另一方面對于一些復(fù)數(shù)的運算也可以給予幾何解釋，使復(fù)數(shù)作為工具運用于幾何之中9復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法法則設(shè)z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，則z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i.10復(fù)數(shù)乘法的運算律對任意復(fù)數(shù)z1，z2，z3C，有交換律z1z2z2z1結(jié)合律(z1z2)z3z1(z2z3)分配律z1(z2z3)z1z2z1z311.共軛復(fù)數(shù)已知z1abi，z2cdi，a，b，c，dR，則(1)z1，z2互為共軛復(fù)數(shù)的充要條件是ac且bd.(2)z1，z2互為共軛虛數(shù)的充要條件是ac且bd0.12復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法法則：(abi)(

6、cdi)eq f(abi,cdi)eq f(acbd,c2d2)eq f(bcad,c2d2)i(cdi0)說明：在進(jìn)行復(fù)數(shù)除法時，分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)cdi，化簡后即得結(jié)果，這個過程實際上就是把分母實數(shù)化，這與根式除法的分母“有理化”很類似二、題型總結(jié)題型一：復(fù)數(shù)的概念及分類典例實數(shù)x分別取什么值時，復(fù)數(shù)zeq f(x2x6,x3)(x22x15)i是(1)實數(shù)？(2)虛數(shù)？(3)純虛數(shù)？解(1)當(dāng)x滿足eq blcrc (avs4alco1(x22x150，,x30，)即x5時，z是實數(shù)(2)當(dāng)x滿足eq blcrc (avs4alco1(x22x150，,x30，)即x3且x5

7、時，z是虛數(shù)(3)當(dāng)x滿足eq blcrc (avs4alco1(f(x2x6,x3)0，,x22x150，,x30，)即x2或x3時，z是純虛數(shù)復(fù)數(shù)分類的關(guān)鍵(1)利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，對復(fù)數(shù)進(jìn)行分類，關(guān)鍵是根據(jù)分類標(biāo)準(zhǔn)列出實部、虛部應(yīng)滿足的關(guān)系式求解參數(shù)時，注意考慮問題要全面，當(dāng)條件不滿足代數(shù)形式zabi(a，bR)時應(yīng)先轉(zhuǎn)化形式.(2)注意分清復(fù)數(shù)分類中的條件設(shè)復(fù)數(shù)zabi(a，bR)，則z為實數(shù)b0，z為虛數(shù)b0，z為純虛數(shù)a0，b0.z0a0，且b0題型二、復(fù)數(shù)相等典例已知關(guān)于x的方程x2(12i)x(3mi)0有實數(shù)根，則實數(shù)m的值為_，方程的實根x為_解析設(shè)a是原方程的實根，則a2

8、(12i)a(3mi)0，即(a2a3m)(2a1)i00i，所以a2a3m0且2a10，所以aeq f(1,2)且eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)2eq f(1,2)3m0，所以meq f(1,12). 題型三：復(fù)數(shù)與點的對應(yīng)關(guān)系典例求實數(shù)a分別取何值時，復(fù)數(shù)zeq f(a2a6,a3)(a22a15)i(aR)對應(yīng)的點Z滿足下列條件：(1)在復(fù)平面的第二象限內(nèi)(2)在復(fù)平面內(nèi)的x軸上方解(1)點Z在復(fù)平面的第二象限內(nèi)，則eq blcrc (avs4alco1(f(a2a6,a3)0，,a22a150，)解得a3.(2)點Z在x軸上方，則eq blcrc (avs4al

9、co1(a22a150，,a30，)即(a3)(a5)0，解得a5或a3.題型四：復(fù)數(shù)的模典例(1)若復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在直線y2x上，且|z|eq r(5)，則復(fù)數(shù)z()A12iB12iC12i D12i或12i(2)設(shè)復(fù)數(shù)z1a2i，z22i，且|z1|z2|，則實數(shù)a的取值范圍是()A(，1)(1，) B(1,1)C(1，) D(0，)解析(1)依題意可設(shè)復(fù)數(shù)za2ai(aR)，由|z|eq r(5)得 eq r(a24a2)eq r(5)，解得a1，故z12i或z12i.(2)因為|z1| eq r(a24)，|z2|eq r(41)eq r(5)，所以eq r(a24)eq r(5)，即

10、a245，所以a21，即1a1.答案(1)D(2)B題型五：復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)向量的關(guān)系典例向量eq o(OZ1,sup7()對應(yīng)的復(fù)數(shù)是54i，向量eq o(OZ2,sup7()對應(yīng)的復(fù)數(shù)是54i，則eq o(OZ1,sup7()+eq o(OZ2,sup7()對應(yīng)的復(fù)數(shù)是()A108i B108iC0 D108i解析因為向量eq o(OZ1,sup7()對應(yīng)的復(fù)數(shù)是54i，向量eq o(OZ2,sup7()對應(yīng)的復(fù)數(shù)是54i，所以eq o(OZ1,sup7()(5, 4), eq o(OZ2,sup7()(5, 4)，所以eq o(OZ2,sup7()(5，4)(5,4)(0,0)，所以eq

11、o(OZ1,sup7()+eq o(OZ2,sup7()對應(yīng)的復(fù)數(shù)是0.答案C題型六：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運算典例(1)計算：(23i)(42i)_.(2)已知z1(3x4y)(y2x)i，z2(2xy)(x3y)i，x，y為實數(shù)，若z1z253i，則|z1z2|_.解析(1)(23i)(42i)(24)(32)i2i.(2)z1z2(3x4y)(y2x)i(2xy)(x3y)i(3x4y)(2xy)(y2x)(x3y)i(5x5y)(3x4y)i53i，所以eq blcrc (avs4alco1(5x5y5，,3x4y3，)解得x1，y0，所以z132i，z22i，則z1z21i，所以|z1

12、z2|eq r(2).答案(1)2i(2)eq r(2)題型七：復(fù)數(shù)加減運算的幾何意義典例如圖所示，平行四邊形OABC的頂點O，A，C分別表示0,3+2i，-2+4i.求：(1) eq o(AO,sup7()表示的復(fù)數(shù)；(2)對角線eq o(CA,sup7()表示的復(fù)數(shù)；(3)對角線eq o(OB,sup7()表示的復(fù)數(shù)解(1)因為eq o(AO,sup7()eq o(OA,sup7()，所以eq o(AO,sup7()表示的復(fù)數(shù)為32i.(2)因為eq o(CA,sup7()eq o(OA,sup7()eq o(OC,sup7()，所以對角線eq o(CA,sup7()表示的復(fù)數(shù)為(32i)

13、(24i)52i.(3)因為對角線eq o(OB,sup7()eq o(OA,sup7()eq o(OC,sup7()，所以對角線eq o(OB,sup7()表示的復(fù)數(shù)為(32i)(24i)16i.題型八：復(fù)數(shù)模的最值問題典例(1)如果復(fù)數(shù)z滿足|zi|zi|2，那么|zi1|的最小值是()A1B.eq f(1,2)C2 D.eq r(5)(2)若復(fù)數(shù)z滿足|zeq r(3)i|1，求|z|的最大值和最小值解析(1)設(shè)復(fù)數(shù)-i，i，-1-i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為Z1，Z2，Z3，因為|z+i|+|z-i|=2，|Z1Z2|=2，所以點Z的集合為線段Z1Z2.問題轉(zhuǎn)化為：動點Z在線段Z1Z2上

14、移動，求|ZZ3|的最小值，因為|Z1Z3|=1.所以|z+i+1|min=1.答案A(2)解：如圖所示， |eq o(OM,sup7()|eq r(r(3)2(1)2)2.所以|z|max213，|z|min211.題型九：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算典例(1)已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)(1ai)(2i)是純虛數(shù)，則實數(shù)a等于()A2B.eq f(1,2)Ceq f(1,2) D2(2)(江蘇高考)復(fù)數(shù)z(12i)(3i)，其中i為虛數(shù)單位，則z的實部是_解析(1)(1ai)(2i)2a(12a)i，要使復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以有2a0,12a0，解得a2.(2)(12i)(3i)3i6i2i255i，所

15、以z的實部是5.題型十：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算典例(1)若復(fù)數(shù)z滿足z(2i)117i(i是虛數(shù)單位)，則z為()A35i B35iC35i D35i(2)設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)eq f(1ai,2i)為純虛數(shù)，則實數(shù)a為()A2 B2Ceq f(1,2) D.eq f(1,2)解析(1)z(2i)117i，zeq f(117i,2i)eq f(117i)(2i),(2i)(2i)eq f(1525i,5)35i.(2)eq f(1ai,2i)eq f(1ai)(2i),(2i)(2i)eq f(2a,5)eq f(12a,5)i，由eq f(1ai,2i)是純虛數(shù)，則eq f(2a,5)0，eq f(12a,5)0，所以a2.答案(1)A(2)A題型十一：i的乘方的周期性及應(yīng)用典例(1)(湖北高考)i為虛數(shù)單位，i607的共軛復(fù)數(shù)為()Ai BiC1 D1(2)計算i1i2i3i2 016_.解析(1)因為i607i41513